D．ω1＝ω2，v1＝v2
3．[向心力来源的分析]如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在
匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服（ ）
A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供图1
D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
4．[对离心现象的理解]下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
5．[轻杆模型问题]如图3所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的
小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时
的速度v＝
，在这点时（ ）
A．小球对杆的拉力是
图3
B．小球对杆的压力是
C．小球对杆的拉力是
mg
D．小球对杆的压力是mg
6．[轻绳模型问题]如图4所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定
放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的
圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互
作用力．下列说法中正确的是（ ）
A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大图4
B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
例1
如图5所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正
确的是（ ）
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．b、c两点的线速度始终相同
C．b、c两点的角速度比a点的大图5
D．b、c两点的加速度比a点的大
突破训练1
如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，
A是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，
小轮的半径为2r，B点在小轮上，到小轮中心的距离为r，
C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过
程中，皮带不打滑，则（ ）图6
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与B点的角速度大小相等
C．A点与C点的线速度大小相等
D．A点与D点的向心加速度大小相等
例2
在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图7甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2（单位：
m）的规律变化，取g＝10m/s2.
图7
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；
（2）求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小；
（3）直升机在t＝5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
突破训练2
如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′
转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点
的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；图8
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
答案
（1）
（2）
解析
（1）物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.
由平衡条件有
Ff＝mgsinθ
FN＝mgcosθ
由图中几何关系有
cosθ＝
，sinθ＝
故有Ff＝
，FN＝
（2）分析此时物块受力如图所示，
由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2.
其中tanθ＝
，r＝
.
可得ω＝
.
20．用极限法分析圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
例3
如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量
为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，
母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面
内做匀速圆周运动．图9
（1）当v1＝
时，求线对小球的拉力；
（2）当v2＝
时，求线对小球的拉力．
突破训练3
如图10所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体
A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质
量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转
盘间的最大静摩擦力为Ff＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中
心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g＝10m/s2）图10
21．竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
例4
如图11所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，
木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定
在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球
C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时
速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通图11
过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），瞬时速度必须满足（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
突破训练4
一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，
使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图12所示，则下列
说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
图12
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
高考题组
1．（2012·广东·17）图13是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有（ ）
图13
A．N小于滑块重力B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大D．N越大表明h越小
2．（2011·安徽·17）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：
通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（ ）
图14
A.
B.
C.
D.
3．（2012·福建理综·20）如图15所示，置于圆形水平转台边缘的小物块
随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始
做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5m，离水平地面的高度H＝
0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m．设物块所受的图15
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2.求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数μ.
4．如图16所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道
最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能
过轨道最高点P，则下列说法中正确的是（ ）
A．轨道对小球不做功，小球通过P点的角速度小于通过Q点的角图16
速度
B．轨道对小球做正功，小球通过P点的线速度大于通过Q点的线速度
C．小球通过P点时的向心加速度大于通过Q点时的向心加速度
D．小球通过P点时对轨道的压力大于通过Q点时对轨道的压力
5．在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直
轴O连接，另一端与质量为m的小球连接，如图17所示．
当小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v1时，弹簧的
长度为1.5l；当它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v2
时，弹簧的长度为2.0l.求v1与v2的比值．
图17
（限时：
45分钟）
►题组1 匀速圆周运动的运动学分析
1．关于匀速圆周运动的说法，正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
2．如图1所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的
距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝RA/2，若在传动过程中，
皮带不打滑．则（ ）图1
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
3．下列说法正确的是（ ）
A．速度的变化量越大，加速度就越大
B．在匀变速直线运动中，速度方向与加速度方向不一定相同
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动的线速度、角速度、周期都不变
答案 BC
4．一对男女溜冰运动员质量分别为m男＝80kg和m女＝40kg，面对面
拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图2所示，两人相距0.9m，
弹簧秤的示数为9.2N，则两人（ ）
A．速度大小相同约为40m/s图2
B．运动半径分别为r男＝0.3m和r女＝0.6m
C．角速度相同为6rad/s
D．运动速率之比为v男∶v女＝2∶1
5．如图3所示，m为在水平传送带上被传送的小物体（可视为质点），
A为终端皮带轮，已知该皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间
不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的轮数最少是（ ）
A.
B.
图3
C.
D.
题组2 匀速圆周运动的动力学分析
6．如图4所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，
硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法
正确的是（ ）
A．受重力和台面的支持力图4
B．受重力、台面的支持力和向心力
C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
D．受重力、台面的支持力和静摩擦力
7．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图5所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于
（ ）
图5
A.
B.
C.
D.
8．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图6所示，
其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气
对飞机的作用力大小为（ ）
A．m
图6
B．mg
C．m
D．m
9．“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技
演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模
型如图7所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩
托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离
地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的图7
是（ ）
A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多
D．摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小
10．如图8所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个
质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内．A通过最高点
C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部
压力为0.75mg，求A、B两球落地点间的距离．
题组3 匀速圆周运动中的临界问题
11．如图9所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，
半径r＝0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给
小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道
运动，v0应满足（g＝10m/s2）（ ）图9
A．v0≥0B．v0≥4m/s
C．v0≥2
m/sD．v0≤2
m/s
12．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑
圆锥顶上，如图10所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动
的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是
下列选项中的（ ）
图10
13．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．
（1）如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？
（取g＝10m/s2）
14．如图11所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心
r＝20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相
互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5）．图11
（1）当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？
方向如何？
（2）欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？
（取g＝10m/s2）
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