画法几何及建筑制图第5章.docx

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画法几何及建筑制图第5章

第五章

概述

空间几何问题：

定位问题——求元素之间相对位置（交点交线等）；

度量问题——求元素本身及相互距离等。

我们知道：

1、几何元素

投影体系

一般位置时：

要求实际的元素情况（如大小等）

特殊位置时：

反映一实际情况

我们改变几何元素在投影体中的位置。

使几何元素处在有别解题的位置。

几何元素处于特殊位置时的解题情况

把空间几何元素对投影面的位置由一般位置变换成特殊位置，从而解决度量问题和定位问题的方法—投影变换法。

变换3法：

1、换面法——变换投影面。

“面”动“体”不动；

2、旋转法（换位法）——变换几何元素。

“体”动“面”不动；

3、换向法——变换投影方向。

§5-1直线与平面、平面与平面的平行关系

平行：

线面平行，面面平行

空间平行则投影平面上各元素一定平行，其投影元素平行则要判别。

一、直线与一般面平行

1、直线与一般面平行，则在该平面内有一条直线与已知直线对应平行。

此也是判断直线是否与平面平行的依据。

图中：

EF∥△ABC，∵EF∥DC（△ABC一条直线），

即e′f′∥d′c′；ef∥dc

2、已知直线平行平面，作直线。

图中：

e′f′∥a′c′；ef∥ac，则EF∥△ABC；

又：

e′g′∥a′d′；eg∥ad，则EG∥△ABC。

二、直线与投影面垂直面相互平行

投影面垂直面具有在垂直投影面中积聚成一线的特征。

若直线在该投影面上平行积聚线，则直线平行平面，否则反之。

只要de∥abc，则不论V面投影为何，

都有DE∥△ABC

三、两投影面垂直面互相平行

两投影面垂直面同时垂直某一投影面，在该面上投影反映为积聚的两条直线，只要两积聚线平行则两面平行，否则反之。

只要abc∥g（d）f（e），则不论V面投影为何，

又有△ABC∥□DEFG

四、一般面与一般面平行

两个一般面相互平行，则各个平面内总会有两条相交直线相互平行。

注意：

1、直线与一般面平行是讲平面内一条直线与已知直线平行，而两一般面相互平行要求是两条直线应平行。

2、面的问题，转化为直线问题。

（a）两平面（b）判定两（c）作平面平行

平行条件平行面于平面

A图：

AB∥A1B1B图：

∵a′h′∥n′f′C图：

1、平面ABCD

BC∥B1C1ah∥nf2、EF∥AB（CD）

则P∥Q∴AH∥NF3、作MN相交ABCD

又∵g′c′∥d′m′（平面内一直线）

gc∥dm4、GH∥MN

∴GC∥DM则平面ABCD平行

△ABC内AH和GC平面EGFH。

与△DEF内NF和DM

对应平行

∴△ABC∥△DEF

§5-2直线与平面、平面与平面的垂直关系

一、投影面垂直面的积聚投影

（一）投影面垂直面的特点：

1、投影面垂直面与该投影面垂成90°；

2、投影反映：

（1）在该投影面积聚为一直线；

（2）在另一投影面反映类似形。

3、面上的点、线：

（1）该投影面上均反映在积聚线上；

（2）另一投影通过长对正、高平齐、宽相等得到面上点、线的投影。

（二）重点：

利用积聚投影作图

（三）面上定点：

1、判断：

（1）点的投影在积聚上；

（2）点的投影在平面内。

（包括延长的平面上）。

2、举例

A点在2个积聚面上

B点在1个积聚面上

（四）设立投影面垂直面：

1、设立任意的投影面

（1）已知一类似面投影，作积聚投影

（2）已知积聚投影，作另一类似面投影

2、通过一点或一直线做投影面垂直面

二、直线与平面相互垂直

1、直线⊥平面，则直线⊥平面内任一直线；

2、作图上：

直线⊥平面内二条投影面平行线；

（a）（b）（c）

直线与平面垂直

3、要求垂足、可按直线与平面相交步骤进行；

4、应用的是直角投影定理。

三、直线与投影面垂直面相互垂直

1、投影面垂直面因为垂直某投影面，因此会积聚成一直线；

2、直线与该垂直面垂直，该直线就成为投影面的一条平行线；

3、直线⊥积聚线（ab⊥PH）。

直线垂直于投影面垂直面

四、两平面相互垂直

1、一条直线垂直一个平面，那么过此直线组成的平面垂直这个平面。

（过直线的平面可以是任意的）

AB⊥R；I过AB且⊥R

Ⅱ过AB且⊥R

2、过点作平面垂直某一平面

（1）作平面的垂直线：

①作V面的水平线a1，a′1′；

②作V面垂线d′e′⊥a′1′；

③作H面水平线a′2′，a2；

④作H面垂线de⊥a2

（2）过点D作任一直线DF（df、d′f′）由DEF组成的平面⊥△ABC

3、判别平面是否垂直

（1）作一平面的垂线

（2）该垂线是否属于另一平面

（3）属于另一平面则两平面垂直

（4）不属于另一平面，则两平面不垂直

两平面不互相垂直

4、换面法应用

（1）求点F至△ABC距离

①换面法将△ABC变换为投影面垂直面；

②在新面中f1′g1′即为所求。

（2）过A点作平面垂直△ABC

①换面法将△ABC变换为投影面垂直面；

②在新面中f′g′⊥积聚线a1′b1′f1′；

③返回H、V投影（注意fg∥x1）；

④过F点作H点（任意）；

⑤平面GFH即为所求。

§5-3直线与平面、平面与平面相交

相交问题：

1、直线与平面相交，有一个交点；

2、平面与平面相交，有一条交线。

交点、交线特点：

共有性，即属这一元素，也属另一元素。

注意：

求完交点、交线后，要判别可见性！

！

一、直线与投影面垂直面相交

1、投影面垂直面会积聚一直线；

2、已知直线与积聚线相交点——即为两元素交点；

3、按投影规律完成交点投影；

直线与铅垂线4、判别可见性：

△ABC相交

（1）AB与MN有一重影点1′2′；

（2）在H投影中1点y值大于2点y值；

（3）1点在V面可见，2点不可见（打括号）；

（4）意味V面投影，AB可见，m′k′在△a′b′c′内不可见（画虚线表示）。

二、两投影面垂直面相交

1、两投影面垂直某一投影面，在该投影面会积聚为二直线；

2、相交时，两积聚线会有一交点；

3、这个交点实际是两面相交，相交线的积聚点；

4、因此，相交线的特点为投影面垂直线！

5、判别可见性

三、平面与投影面垂直面相交

1、投影面垂直面有一投影为积聚线；

2、一般面与投影面垂直面相交，在积聚投影中直接反映相交线。

1）在H投影直接找到1（在DF）；2（在DE）；

2）返V投影1′（d′f′）；2′（e′f′）；

3）连1′，2′；

4）判别可见性。

四、直线与一般面相交

1、直线与一般面相交一个交点

2、

求直线与一般位置平面相交示意图

A：

直线与一般面B：

直线与平面内C：

由平面内直线MN，空间状况；直线相交（取MN）；和已知直线DE

可作一平面R

3、由以上，我们考虑作一辅助面，使直线、平面上直线、交点都在一起；

4、辅助平面法（一般为垂直面）；

2）过已知直线DE作一辅助平面R；

3）求R面与一般面△ABC的相交线MN；

4）求直线DE与相交线MN的相交点K（即为所求）；

注：

此法也是将“线面”问题转化为“线”问题。

5、判别可见性。

五、两一般面相交

两一般面相交其空间位置有：

全交、互交、远交。

全交：

一平面插互交：

一平面与远交：

二平面在远

入另一平面。

另一平面互相咬合。

处会合相交。

△相交线二点在一△相交线二点在2△相交线在远处2

平面的2条线上。

个平面的各一条线上。

点。

（一）辅助平行面法（求远交）：

求远交情况一般用辅助平行面法。

1、过平面作2辅助平行面R、S，并求其投影RV、SV和RH、SH。

2、求辅助平行面与两一般面的相交

1′、2′1、2

线，RV：

3′、4′，RH：

3、4，

5′、6′5、6

SV：

7′、8′，SH：

7、8

3、连1、2和3、4至K1，连5、6和7、8至K2。

4、返回V面R1′、R2′。

5、连k1k2（H）。

连k1′k2′（V）即相交线投影。

（二）线面交点法：

（全交、互交）

1、全交、互交一般用线面交点法。

2、线面交点法是按一直线与一般面相交情况处理，步骤同直线与一般面相交。

3、一般情况下组成平面的任一线条上都有可能存在交点，但我们考虑到公有性，可以公共区，排除不在公共区的线条，这样避免做无用功。

（1）先排除a′b′、e′f′、ef、bc不在公共区内，所以AB、EF、BC不存在交点，只要试作DE、DF和AC。

（2）按直线与一般面相交。

①DE和DF与△ABC相交；

②AC与△DEF相交；

③作DE与△ABC相交，求得1个交点M（在DE上）；

④作DF与△ABC相交，求得1个交点N（在DF上）；

⑤已求得2交点，所以AC上不可能再有交点。

⑥连MN。

⑦判别可见性。

（三）换面法：

换面法求面面相交问题是将一个面变换成投影面垂直面，这样，变两一般面相交问题为投影面垂直面与一般面相交问题。

六、用换面法解题

换面法解题的思路是将一般面变换为投影面垂直面，这将把直线与一般面相交问题转变为较简单的直线与投影面垂直的问题来解题。

§5-4投影变换

一、换面法

换面法：

保持空间几何元素位置不动，用新的投影面代替原来的一个投影面，组成新的投影体系，使空间几何元素处在有利解题的位置。

（一）确立新投影面的二个条件：

1、垂直条件：

新投影面必须垂直于原来一个投影面。

（使原来体系中一些参数不变，将点到某投影后距离）

换面法（a）（b）

点在V1面的新投影的作法

2、有利条件：

使空间元素处在有利了解的位置

（使空间元素对投影面的一般位置变成特殊位置）

（二）变换中的几个问题：

1、变换次数问题：

变换投影面可以变换多次，直至解决问题。

2、标注问题：

变换后必须加以标注，变换的次数，就是下标的次数，而对H、V、W的标记不变。

如：

①变换一次。

X1，V1，a1′。

变换二次。

X2，H2，a2。

②原V：

a′变换后a1′，a3′

即上标“′”不变。

3、距离问题：

因为新面垂直原有一个面，保持3点到新轴的距离可取自原体系取代的面中点到老轴的距离，简称“隔面取距”。

如：

a1′ax1=a′ax，a2′ax2=aax1

a3′ax3=a1′ax2

4、新老投影体系问题：

新老投影体系是相对的。

如原投影体系

（此为新投影体系）—→

（此为新投影体系，而

变为老投影体系）。

（三）几个基本作图问题：

1、一般位置直线经一次变换为投影面平行线。

2、一般位置直线经二次变换为投影面垂直线。

3、一般位置平面经一次变换为投影面垂直面。

4、一般位置平面经二次变换为投影面平行面。

一般位置直线

次↓（一次变换）

变投影面平行线

换↓（一次变换）

投影面垂直线

将一般位置直线变换为投影面垂直线

一般位置平面

次↓一次变换

变投影面垂直面

换↓一次变换

投影面平行面

将一般位置平面变换为投影面平行面

练习

点、直线、平面综合题

几何元素：

点、直线、平面

所学过的基本知识：

1、点的位置关系；

2、几何元素与投影面关系：

一般、平行、垂直。

3、从属性：

定此关系（点线问题）辅助线（点线面问题）。

4、实形、距离、夹角问题：

直角三角形法、换面法、最大斜度线。

5、平行（线线、线面、面面问题）。

6、相交

（1）交点：

（线线、线面）辅助平面法、换面法；

（2）交线：

（面、面）辅助平面法、换面法。

7、垂直：

直角投影定理：

（1）点到线、面距离；

（2）线面垂直；

（3）面面垂直。

解题：

1、点到直线距离。

（1）建立模型（BC⊥A所在的Q面）；

（2）作出BC垂直面ADE；

（3）求出垂足K；

（4）求出AK实长。

例2：

求点到平面距离

（a）（b）（c）

求点到平面的距离

（1）点到面距离是垂直距离；

（2）过点D作垂直线至△ABC；

（3）求垂直线与△ABC交点K；

（4）求DK实长。

例3：

过点E作直线与AB和CD相交

（a）（b）（c）

过点作直线与交叉二直线相交

（1）建立模型（B）图；

（2）过点E作△ABE；

（3）求CD与△ABE相交，交点N；

（4）作EN并延长交AB于M，到ENMF为所求直线。

例4：

作直线平行△BCD并与EF相交。

（a）（b）（c）

作直线平行于△BCD并与EF相交

（1）建立模型。

建立P平面∥△BCD，与EF相交；

（2）过A作平面平行△BCD，A1∥BC，A2∥BD；

（3）求EF与△A12相交交点K；

（4）连AK。

例5：

以直线AB为底边，作一等腰△ABC，使其顶点C落在直线DE上，作等腰三角形。

（a）（b）

作等腰三角形

（1）等腰三角形，CM⊥AB，M为AB中点；

（2）过M作AB垂直面MLN；

（3）求DE与平面MLN交点C点；

（4）连AC和BC。

例6：

已知矩形ABCD的一边AB的两个投影（a′b′、ab）及邻边BC的正面投影b′c′，求作此矩形。

（1）矩形ABCD，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD，AD⊥AB，且AB∥CD，AD∥CB；

（2）过B作AB的垂直面BNM，C在BNM内；

（3）过C′作平面BNM内辅助直线1′2′，C在12上；

（4）求12H投影；

（5）求12上的C点；

（6）平行AB作CD；

（7）平行AD作CB。