微分几何答案第二章.docx
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微分几何答案第二章
第二章曲面论
§1曲面的概念
1•求-正螺而产二{ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.
解u-曲线为r={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0）+u{cosv0,sinv0,0},为曲线的直母线：
V-曲线为f={z/0cosv,M0sinv,bv}为圆柱螺线.
2.证明双曲抛物面”={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证U-曲线为7二{a（u+v0）,b（u-v0）,2uv0}={av0>bv0>0}+u{a,bt2v0}表示过点{av0,bv0,0}l^{a,b,2v0}为方向向量的直线;
v-曲线为产二{a（w0+v）,b（u0-v）,2m0v）={a«0,bw0,0）+v{a,-b,2m0}表示过点（aw0,bw0,0）以{a,-b,2«0}为方向向量的直线。
3•求球而r={acos<9sin（p.acosi9sincp.asin<9}上任意点的切平而和法线方程。
解心二{一。
sin3cos0-dsini9sincp.acosG},和二{-acosDsin®dcosi9cos0,O}
x-acos3cos°y-acos3sin（p
任意点的切平而方程为一“sin<9cos0-asini9sin（p
即xcosi9cos（p+ycos9sin0+zsini9-a=0；
法线方程为
x-acosi9cos（py-acos<9sin（pz-asin9
ocos3cos0cosi9sin4.求椭圆柱而—+-^=1在任意点的切平而方程，并证明沿每一条直母线，此曲而只有cr\r
一个切平而。
0=0,即xbcos9+yasin3—ab=0
此方程与t无关，对于3的每一确泄的值，确左唯一一个切平面，而3的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5.证明曲而r={u,v,—}的切平而和三个坐标平面所构成的四而体的体积是常数。
IIV
证乙={1‘0,}»人.={0丄}。
切平面方程为：
—-—2=3«
irvu\^iiva
与三坐标轴的交点分別为（3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0,—）o于是，四而体的体积为：
UV
V=13lul3lvl—=-a3是常数。
6IiivI2
§2曲面的第一基本形式
1.求双曲抛物而7={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的第一基本形式.
解ru={a,bt2v},rv={a-b,2u},E=rJ=a2+b2+4v2,
F=乙・£=“2—，+4wv,G=rx2=a2+b2+4u2,
/.I=（a2+b2+4v2）du2+2（a2-b2+4uv）dudv+（a2+b2+4w2）dv2
2.求正螺而r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解rlt={cosx\siiiv,0},a;,={-wsinx\mcosv,Z?
）,E=r^=\,F=E・尺・=0,G=r；=u2+b\:
.I=du2+（u2+b2）dv29VF=0,A坐标曲线互相垂直。
3.在第一基本形式为I=du2+sinh$的曲而上，求方程为u=v的曲线的弧长。
解由条件ds2=J/?
+sinh2//Jv2,沿曲线u二v有du二dv,将其代入（川得ds2=chr4-sinh2i/Jv2=cosh2vJv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上,从片到冬的弧长为IJ~coshi^vl=lsinhv2一sinh片I。
4.设曲而的第一基本形式为I二dir+（u2+a2）dv2,求它上而两条曲线u+v二0,u-v=0的交角。
分析由于曲而上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变戢只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲而的第一类基本ME=1,Fv=0,G=u2+a\曲线u+v=0与u-v二0的交点为u二0,v二0,交点处的第一类基本量为E=1»Fv=0,G=a2o曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为fiu=6v,设两曲线的夹角为y,则有
_Edudii+Gdvdii_a'
ylEdu1+Gdv1ylEar+G^2l+
5.求曲面z=exy上坐标曲线x=x0,y二儿的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为r={xo,y,axoy},
其切向Mrv={0,bax0}：
坐标曲线y二儿的向量表示为7二{x.,axy0},其切向量人二{1,
6•求u-曲线和"曲线的正交轨线的方程.
解对于U-曲线dv二0,设其正交轨线的方向为Su：
Sv，则有
EduSu+F（du6v+dv6u）+GdvSv=0,将dv二0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为E6u+FSv=0.
同理可得V-曲线的正交轨线的微分方程为F6u+G5v=0・
7.在曲而上一点，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+RJv2=0,确定两个切方向（du:
dv）和（6u:
Sv）,证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=O.
证明因为du,dv不同时为零,
R二0,设其二根
_du£
E+F（
dv况
假泄dvHO,则所给二次方程可写成为P（—）2+2Q—-
dvdv
二兰，—+—=……①又根据二方向垂直的条件知
PdvP
…②将①代入②则得ER-2FQ+GP二0・
8・证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Ed沪二Gd於.
证用分别用§、d表示沿u—曲线，V-曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u
-曲线0,6v=0,沿v—曲线Fu=0,VvH0•沿二等分角轨线方向为du:
dj
根据题设条件，又交角公式得
展开并化简得E（EG-F2）J//2=G（EG-F2）6/v2t而EG-hX）.消去EG-F2得坐标曲线的二等分
角线的微分方程为Edu2=Gclv2.
aa
=2Jyjir+a2dujdv=2j（l-—）\/zr+a2du0w0a
a
/[A2+in（l+运）]。
10.求球而r={acost9sin©ncosOsintp.asin3}的面积。
解片二{-asin3cos0,-asin<9sin（p.i/cosi9},rp={-“cosDsin（p、acos9cos0,O}
E=r92=6/2,F=r5/^=0,G=对=a2cos2<9•球而的面积为:
11.证明螺而r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos$”tsin3,y/t2—1}
（t>L0分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲而可建立等距映射9二arctgu+v,t二厶2+1,可在一个曲而譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲而在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲而具有相同的第一基本形式.
证明螺而的第一基本形式为I=2J/r+2dudv+（w2+l）dv2,旋转曲而的第一基本形式为
I二（1+——）dt2+/2Ji9，在旋转曲而上作一参数变换3二arctgu+v,t二+1,则厂一1
其第一基本形式为：
2[2i
（1+?
）——du2+（u2+1）（du+dv）2
irir+1\+u：
“2+]]
二（"1+l）d"，+du2+2dudv+（zz2+l）Jv2=2dir^2dudv+（zr+l）t/v2=I・
所以螺而和旋转曲而之间可建立等距映射9二arctgu+v,t二、/宀1•
§3曲而的第二基本形式
1.il•算悬链而r={coshucosv,coshusinv,u）的第一基本形式，第二基本形式.
解rlt={sinhucosv,sinhusinv,1）,/;.={-coshusinv,coshucosv,0}
E山二{coshucosv,coshusinv,0},入二{-sinhusinv,sinhucosv,0},
^v={-coshucosv,-coshusinv,0},£*=斤:
二cosh2u,F=〒”・rv=0,G==cosh2u.
所以I二cosh*1uclu+cosh-\idv2・
n=*=；—{-coshwcosv,-coshwsinv,sinhwsinv},
JEG-F?
coslru
cosh"
所以II=-dir+dv2o
2.计算抛物而在原点的2x3=5卅+4xrv2+2卅第一基本形式，第二基本形式.
\={1Q5X]+2七}（0・0）={100},①={。
丄2“+2x2}（00）={0,1,0）,J={°A5）,rX[X：
={0,0,2},rx：
X2={0,0,2},E二1,F二0,G=1,L=5,M=2,N二2,1=dxj+dx；,11=dx2+2dx；・
3・证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-«>解rtl={cosv\sinv\0},吒={-wsincosv.b},^={0,0,0},
J;/v={-uucosv,cosv,0},/;.v={-ucosv,-usinv,0},E=rj=1>F=人・丘=0,
G=n2=ir+b2,L二0,M「,N=0•所以有EN-2FM+GL二0・
4.求岀抛物而2=丄@"+by‘）在（0,0）点沿方向（dx:
dy）的法曲率.
2
解rx={l,O,av}（oo）={1,0,0},ry={0,l,Z>y}（00）={0,1,0},rxx={0,0,。
},rxy={0,0,0}rvy={0,0"},E二1,F二0,G二1,L二a,M二0,N=b,沿方向dx：
dy的法曲率、竺.
dx^+dy-
5.已知平而兀到单位球而（S）的中心距离为d（0解设平面兀与（S）的交线为（C）,则（C）的半径为Jl—d?
，即（C）的曲率为
1一〃2
£=,1•又（C）的主法向量与球而的法向量的夹角的余弦等于土J1—,所以（C）的法曲
率为心=±£J]_〃2二±1■
6.利用法曲率公式ku=y,证明在球而上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
证明因为在球而上任一点处，沿任意方向的法截线为球而的大圆，其曲率为球而半径R的倒数1/R。
即在球面上,对于任何曲纹坐标（u,v）,沿任意方向du:
dv
fIILehr+2M（hulv+Ndv21p1
k=—==—咬——,
IEdu2+IFdudv+Gdv2R，R
基本量成比例。
7.求证在正螺而上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面产二{ucosv,usinv,bv},rlt={cos儿sinv\0},斤.={-usinv.ucosv.b],人側二{0,0,0},/；.v={-ucosv,-usinv,0}♦
L二⑴八包）二0,八J二0•所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而u族曲线是
Jeg-f?
Jeg-f?
直线，V族曲线是螺旋线。
8.求曲而z=xy2的渐近线.
解曲而的向量表示为r={x,>\xy2）,rx+{lQy'},几={0丄2小},入={0,0.0},
rxy={0Q2y},rvv={0^2x}.E=r；+\+4y\F=rxry=2xy\G=fv2=1+4x2y2.
渐近线的微分方程为曲+2Mdxdy+Ndy?
即4ydxdy+2xdy2=0.-族为dy=O,即y=C],C]为常数.另一族为2ydx=-xdy,即Inx2y=c2,或v2y=c,c为常数..
9.证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近线.
证在每一条曲线（C）的主法线曲面上，沿（C）的切平而是由（C）的切向量与（C）的主法向疑所确左的平面，与曲线（C）的密切平而重合，所以每一条曲线（C）在它的主法线曲而上是渐近线.
方法二：
任取曲线r：
r=r（s）,它的主法线曲而为S:
0=Q（£,r）=“s）+/p（£）,
ps=d（5）+tp（s}=a+t（-Ka+t/）=（1-tK）a+try,&=0,xpt=一/血+（1-比）歹
曲线r在它的主法线曲而上是渐近线.
10.证明在曲而z二f（x）+g（y）上曲线族x二常数，y二常数构成共轨网.
证曲面的向量表示为r=Uy,f（x）+g（y）},x=常数，尸常数是两族坐标曲线。
E={lQf},和0丄g）：
={0,0J}心={000}忑,={0,0,g},
因为M=rv-.=0,所以坐标曲线构成共轨网，即曲线族x二常数，y二常数构成共轨
乌Jeg-f?
网。
11.确泄螺旋而r=（ucosv,usinv,bv}±的曲率线.
解兀={cosv,sini^O},rv={-usinv,ucosv,b],^MM={0,0,0},/;.v={-ucosv,-usinv,0}
rliv={-sinv,cosv,0},E=r^=\.F=人・人=0,G=J;2=u2+h2,L=0,
贮占卫曲率线的微分方程"
V2-dudv
du2
10
u2+b2
-0,即小一+,d”，积分得两族曲率线方程:
n亠
0
y/u2+b2
ylu2+b2
v=ln（”+J”'+b?
）+c#|]y=]n（yjir+/?
2一u）+c2・
12.求双曲而z二axy上的曲率线.
解E=\+a2y\F=crx2y\G=\+a2x\L=^M=—a・
'L,亠2,~2.・2
clx2
\+a2x2=Q得（\+a2y2）dx2=（\+a2x2）dy2,分得
0
两族曲率线为In（心+Jl+a7）=±\n（ay+Jl+/天）+c.
13.求曲而r={-（u-y）,£（“+v）,^}上的曲率线的方程.
222
（6/2+b2+u2）dv2=（a2+b2+/）〃"[积分得:
ln（”+yla1+b2+U1）=±ln（v+\l（r+b2+v2）+c・
14•给出曲而上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲而在该点的法向量成左角，求证
L是一平而曲线.
证法一：
因L是曲率线,所以沿L有晰=-心石，又沿L有歹•匝二常数,求微商
得/•n+/•h=0,而丘//dn//与旺交，所以/•n=0,即一rp•n=0,则有t=0,或p•n-0.
若i■二0,则L是平而曲线；若p•亓二0,L又是曲面的渐近线，则沿L,K“二0,这时d«=O,兀为常向量，而当L是渐近线时，y=±n,所以歹为常向量，L是一平而曲线.
证法二：
若歹丄丘，则因斤丄历=IIa,所以并IIp，所以临"，由伏雷
内公式知d斤II（-加+帀）而1,是曲率线，所以沿L有航IId,所以有"0,从而曲线为平而曲线；
若歹不垂直于亓，则有歹•亓二常数，求微商得歹5+八亦=0,因为L是曲率线，所
以沿L有丽IId?
丄八所以f-n=O,所以y-n=O,即一「p•亓二0,若"0,则问题得证：
否则R・并二0,则因nd=O,有nW/,dnIIdyII（-rIId,矛盾。
15.如果一曲而的曲率线的密切平而与切平而成左角，则它是平面曲线。
11E曲线的密切平面与曲面的切平而成定角，即曲线的副法向量和曲而的法向量成立角，由上题结论知正确。
16.求正螺而的主曲率。
解设正螺而的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.
解兀={cosv,sinv,0},rv={-wsinv.wcos,^tt={0,0,0},
rvv={-ucosv,-usinv,0},rliv.={-sinv,cosv,0},E=r^=\,F=ru-ry=0>
G=rx2=u2L=0,M二“,N二0,代入主曲率公式
2
（EG-F2）灯-（LG-2FM+EN）kn+LN-M2=0得二/…（zr+cry
所以主曲率为耳=/
u+（r■//+（r
17・确泄抛物而z=a（x2+y2）/£（0,0）点的主曲率.
解曲面方程即乙>・={0,0,2"},r={x.y\a（x2+y2）},rv={L0,2«x）ry={0A,2ay}9rxx={0,0,2d）,©={0,0,0},©={0,0,2d}。
在（0,0）点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,
N=2a•所以恋一4火“+4/二0,两主曲率分别为心二2a,k2=2a・
18•证明在曲而上的给左点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证曲面上的给定点处两主曲率分别为勺.任给一方向3及与其正交的方向3+%，
则这两方向的法曲率分别为匕（$）=旳cos23+心sin23,
K”（9+%）=Xcos'（i9+%）+K2sin"i9+%）=K]sin'<9+«2cos'3,即
Kn（<9）+Kn（<9+%）=0+©为常数。
19.证明若曲而两族渐近线交于沱角，则主曲率之比为常数.
证由Kn=k}cos2<9+sin2<9得r^2l9=-—，即渐进方向为
数.
20.求证正螺而的平均曲率为零.
证由第3题或第16题可知.
21.求双曲面z=axy在点x=y=O的平均曲率和高斯曲率.
LG_2FM+NE证在点x二y二0,E=l,F=0,G=l,L=0,M=a,N二0,H二；=0,
2（EG-F2）
ZJV-M22
二w・
EG-F2
22.证明极小曲而上的点都是双曲点或平点.
证法一：
由肛仝：
；乞二0有勺二心二0或心二-心工0.
若勺二心二°，则沿任意方向0心（9）=心cos?
3+丘sin2<9=0,即对于任意的du:
dv,
=0,所以有L=M=N=0,对应的点为平点
IIUn2+2Mdudv+Ndv2
7"Edu2+IFdudv+Gdv2
若®二-心H0,则K=£心〈0，即LN-M2<0,对应的点为双曲点.
证法二：
取曲率网为坐标网，则F二M二0，因为极小曲面有H=0,
所以LG+EN=0,因E>0,G>0，所以LN<0.若ZJV-M?
二0,则L=M=N=0,曲而上的点是平点，若ln-m2<0,则曲而上的点是双曲点。
23.证明如果曲而的平均曲率为零，则渐近线构成正交网.
证法一：
如果曲而的平均曲率为零，由上题曲而上的点都是双曲点或平点.
若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.
若为双曲点，则曲而上存在渐近曲线网•由19题，渐近方向<9满足厲钻二-乞二1,
即$二兀/4,$二一兀/4,两渐近线的夹角为%，即渐近曲线网构成正交网.
证法二：
H=01G-2FM+NE=0渐近线方程为Lehr+IMdudv+Ndv2=0
Ci（..门kzdu加Ndudu2M片心
所以厶（——T+2M——+N=0,所以=—,——+——=一——，所以
dvdvdvdvLdvdvL
曲创+F（碍+泅）+酗皿隔[哙聲+F磅+警）+G]
N2M
=JvJv[E—+F（-——）+G]=O,所以渐近网为正交网。
LL
证法三：
MhO•.•//=丄（£+公）=0,所以高斯曲率•••K=wwSO,所以
2
LN-Mpo,所以曲面上的点是平点或双曲点。
所以曲而上存在两族渐近线。
取曲而上的两族渐近线为坐标网，则L=N=0,若M二0,曲而上的点是平点，若
MHO,则H=0LG-2FM+NE=0，所以MF二0,所以F二0,所以渐近网为正交网。
24・在xoz平而上去圆周y二0,（x-b）2+z2=a\b>a）f并令其绕轴旋转的圆环而,
参数方程为r={（b+acos^?
）cosi9,（b+acos0）sin9,asin^}t求圆环而上的椭圆点、双
曲点、抛物点。
解E-a1,F二0,G=（Z?
+acos^?
）2,L=a,M=0,N=cos。
（b+acos0）,
LN-M'=acos（p（b+acos0>,由/b>a>0,b+acos（p>0,所以LN-Af~的符号与cos0的符号一致，当0W0<%和辛9〈2兀时，LN-M2>0，曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点：
当-%<©<¥，曲而上的点为双曲点，即圆环而内侧的点为双曲点；当a
歼%或耳时，LN-M2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
2
25.若曲面的第一基本形式表示为Z=22（h,vX^2）的形式，则称这个曲而的坐标
曲线为等温网。
试证：
旋转曲而F={g（f）cos2ga）sin3J（/）}上存在等温网。
ilE旋转曲而F={g（/）cos9g（/）sinS/a）}的第一基本形式为
l=s2（t）^+;Zdr+d^1）,做参
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