法二 f′（x）＝
＝＝－.
当a>0时，f′（x）<0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a<0时，f′（x）>0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
考点二 求函数的最值
【例2】
（1）已知函数f（x）＝ax＋logax（a>0，且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为（ ）
A.B.C.2D.4
（2）已知函数f（x）＝则f[f（－3）]＝________，f（x）的最小值是________.
解析
（1）f（x）＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，
所以f
（1）＋f
（2）＝loga2＋6，
则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，
即（a－2）（a＋3）＝0，又a>0，所以a＝2.
（2）∵f（－3）＝lg[（－3）2＋1]＝lg10＝1，
∴f[f（－3）]＝f
（1）＝0，
当x≥1时，f（x）＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f（x）min＝2－3<0；
当x<1时，f（x）＝lg（x2＋1）≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f（x）min＝0.
∴f（x）的最小值为2－3.
答案
（1）C
（2）0 2－3
规律方法 求函数最值的四种常用方法
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
（2）图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
（3）基本不等式法：
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
（4）导数法：
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【训练2】
（1）（2019·烟台调研）函数f（x）＝－在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是（ ）
A.B.2C.D.
（2）（2019·湖南怀化质检）定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是（ ）
A.2B.3C.4D.6
解析
（1）易知f（x）＝－在[1，4]上是增函数，
∴M＝f（x）max＝f（4）＝2－＝，m＝f
（1）＝0.
因此M－m＝.
（2）画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图象（如图），由图可知，函数M在A（2，4）处取得最小值22＝6－2＝4，
故M的最小值为4.
答案
（1）A
（2）C
考点三 函数单调性的应用
多维探究
角度1 利用单调性比较大小
【例3－1】已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f，b＝f
（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c>a>bB.c>b>a
C.a>c>bD.b>a>c
解析 由于函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，
所以a＝f＝f.
当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0恒成立，等价于函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以b>a>c.
答案 D
角度2 求解函数不等式
【例3－2】（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝则满足f（x＋1）A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）
C.（－1，0）D.（－∞，0）
解析 当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.
作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象知，要使f（x＋1）＜f（2x），当且仅当或
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
答案 D
角度3 求参数的值或取值范围
【例3－3】已知f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
答案
规律方法 1.利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：
根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.
（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
（2）求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
【训练3】
（1）（2017·天津卷）已知奇函数f（x）在R上是增函数，若a＝－f，b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.aC.c（2）若函数f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A.（－1，0）∪（0，1）B.（－1，0）∪（0，1]
C.（0，1）D.（0，1]
解析
（1）由f（x）是奇函数，得a＝－f＝f（log25）.
又log25>log24.1>2>20.8，且y＝f（x）在R上是增函数，所以a>b>c.
（2）因为f（x）＝－x2＋2ax＝－（x－a）2＋a2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a≤1，g（x）＝，
g′（x）＝－，
要使g（x）在[1，2]上为减函数，需g′（x）<0在[1，2]上恒成立，
故有－a<0，因此a>0，综上可知0答案
（1）C
（2）D
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
（1）取值；
（2）作差；（3）定号；（4）判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：
定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：
单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：
“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f（x）在区间（－1，0）上是减函数，在（0，1）上是减函数，但在（－1，0）∪（0，1）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.函数f（x）＝－x＋在上的最大值是（ ）
A.B.－C.－2D.2
解析 易知f（x）在上是减函数，
∴f（x）max＝f（－2）＝2－＝.
答案 A
2.（2019·广州模拟）下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”的是（ ）
A.f（x）＝2xB.f（x）＝|x－1|
C.f（x）＝－xD.f（x）＝ln（x＋1）
解析 由（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0可知，f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A，D选项中，f（x）为增函数；B中，f（x）＝|x－1|在（0，＋∞）上不单调，对于f（x）＝－x，因为y＝与y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）在（0，＋∞）上是减函数.
答案 C
3.（2019·济宁一模）已知函数f（x）＝loga（－x2－2x＋3）（a>0且a≠1），若f（0）<0，则此函数的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，－1]B.[－1，＋∞）
C.[－1，1）D.（－3，－1]
解析 令g（x）＝－x2－2x＋3，由题意知g（x）>0，可得－3答案 C
4.函数y＝，x∈（m，n]的最小值为0，则m的取值范围是（ ）
A.（1，2）B.（－1，2）C.[1，2）D.[－1，2）
解析 函数y＝＝＝－1在区间（－1，＋∞）上是减函数，且f
（2）＝0，所以n＝2.
根据题意，x∈（m，n]时，ymin＝0.
∴m的取值范围是[－1，2）.
答案 D
5.（2019·蚌埠模拟）已知单调函数f（x），对任意的x∈R都有f[f（x）－2x]＝6，则f
（2）＝（ ）
A.2B.4C.6D.8
解析 设t＝f（x）－2x，则f（t）＝6，且f（x）＝2x＋t，令x＝t，则f（t）＝2t＋t＝6，∵f（x）是单调函数，f
（2）＝22＋2＝6，∴t＝2，即f（x）＝2x＋2，则f
（2）＝4＋2＝6.
答案 C
二、填空题
6.（2019·北京杨镇一中月考）已知f（x）和g（x）在定义域内均为增函数，但f（x）·g（x）不一定是增函数，请写出一对这样的函数：
例如当f（x）＝________，且g（x）＝________时，f（x）·g（x）不是增函数.
答案 此答案不唯一（参考答案：
x，x；x，x3；x，lnx；x，lgx；x，ex；……）
7.设函数f（x）＝在区间（－2，＋∞）上是增函数，那么a的取值范围是________.
解析 f（x）＝＝a－，
∵函数f（x）在区间（－2，＋∞）上是增函数，
∴即即a≥1.
答案 [1，＋∞）
8.（一题多解）（2019·天津河东区模拟）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________.
解析 法一 在同一坐标系中，作函数f（x），g（x）图象，
依题意，h（x）的图象如图所示的实线部分.
易知点A（2，1）为图象的最高点，
因此h（x）的最大值为h
（2）＝1.
法二 依题意，h（x）＝
当0当x>2时，h（x）＝3－x是减函数，
因此h（x）在x＝2时取得最大值h
（2）＝1.
答案 1
三、解答题
9.已知函数f（x）＝－（a>0，x>0）.
（1）求证：
f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值.
（1）证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f（x2）－f（x1）＝－＝－＝>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（2）解 ∵f（x）在上的值域是，
又由
（1）得f（x）在上是单调增函数，
∴f＝，f
（2）＝2，易得a＝.
10.函数f（x）＝loga（1－x）＋loga（x＋3）（0（1）求方程f（x）＝0的解.
（2）若函数f（x）的最小值为－1，求a的值.
解
（1）由得－3∴f（x）的定义域为（－3，1）.
则f（x）＝loga（－x2－2x＋3），x∈（－3，1），
令f（x）＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
检验，均满足原方程成立.
故f（x）＝0的解为x＝－1±.
（2）由
（1）得f（x）＝loga[－（x＋1）2＋4]，x∈（－3，1），
由于0<－（x＋1）2＋4≤4，且a∈（0，1），
∴loga[－（x＋1）2＋4]≥loga4，
由题意可得loga4＝－1，解得a＝，满足条件.
所以a的值为.
能力提升题组
（建议用时：
20分钟）
11.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f
（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]
解析 ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.
∵f
（1）＝－1，∴f（－1）＝－f
（1）＝1.
故由－1≤f（x－2）≤1，得f
（1）≤f（x－2）≤f（－1）.
又f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
答案 D
12.已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝在区间（1，＋∞）上一定（ ）
A.有最小值B.有最大值
C.是减函数D.是增函数
解析 因为函数f（x）＝x2－2ax＋a＝（x－a）2＋a－a2在区间（－∞，1）上有最小值，
所以函数f（x）的对称轴x＝a应当位于区间（－∞，1）内，
即a<1，又g（x）＝＝x＋－2a，
当a<0时，g（x）＝x＋－2a在区间（1，＋∞）上为增函数，此时，g（x）min>g
（1）＝1－a>0；
当a＝0时，g（x）＝x在区间（1，＋∞）上为增函数，此时，g（x）min>g
（1）＝1；
当01－a>0，
此时g（x）min>g
（1）＝1－a；
综上，g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增.
答案 D
13.已知f（x）＝不等式f（x＋a）>f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在（－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在（0，＋∞）上单调递减，所以－x2－2x＋3<3，所以f（x）在R上单调递减，所以由f（x＋a）>f（2a－x）得到x＋a<2a－x，即2x答案 （－∞，－2）
14.已知函数f（x）＝a－.
（1）求f（0）；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）（2）的x的范围.
解
（1）f（0）＝a－＝a－1.
（2）f（x）在R上单调递增.证明如下：
∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1则f（x1）－f（x2）＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）∴f（x）在R上单调递增.
（3）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
即a－＝－a＋，
解得a＝1（或用f（0）＝0去解）.
∴f（ax）（2）即为f（x）（2），
又∵f（x）在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是（－∞，2）.
新高考创新预测
15.（多填题）设函数f（x）＝若f[f
（1）]＝4a，则实数a＝________，函数f（x）的单调增区间为________.
解析 ∵f（x）＝∴f
（1）＝12＋1＝2，f[f
（1）]＝f
（2）＝22＋2a.由f[f
（1）]＝4a，∴22＋2a＝4a，∴a＝2.当x≤1时，f（x）在（－∞，0]上递减，在[0，1]上递增，且f
（1）＝2；当x>1时，f（x）＝2x＋2x在（1，＋∞）上递增，令x＝1时，2x＋2x＝2＋2＝4＞f
（1），故f（x）的单调增区间为[0，1]∪（1，＋∞）＝[0，＋∞）.
答案 2 [0，＋∞）
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