数学湖南师大附中学年高二上学期期中考试理.docx

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数学湖南师大附中学年高二上学期期中考试理

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期中考试（理）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．抛物线y2＝－12x的准线方程是（）

A．x＝3B．x＝－3C．y＝3D．y＝－3

2．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第6个红色球的编号为（）

4954435482　1737932378　8735209643　8426349164

5724550688　7704744767　2176335025　8392120676

A.23B．02C．09D．17

3．对于函数f（x）＝，下列结论正确的是（）

A.f（x）是增函数，其值域是[0，＋∞）

B.f（x）是增函数，其值域是[0，1）

C.f（x）是减函数，其值域是[0，＋∞）

D.f（x）是减函数，其值域是[0，1）

4．如图，在三棱锥A－BCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）

A.＝＋

B.＝－＋

C.＝－

D.＝－－

5．已知命题p：

x0＞0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）

A.（－∞，1）B.（－∞，1]C.（1，＋∞）D.[1，＋∞）

6．设条件p：

函数f（x）＝（2－a）x在R上单调递增；条件q：

方程＋y2＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则p是q的什么条件（）

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分且必要D．既不充分也不必要

7．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r（modm），例如10＝2（mod4）．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于（）

A．4B．8C．16D．32

8．在区间[0，1]内随机取两个数m、n，则关于x的方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为（）

A.B.C.D.

9．设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0<φ<），已知f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）

A．g（x）是奇函数，且在[0，3π]内单调递增

B．g（x）是奇函数，且在[0，3π]内单调递减

C．g（x）是偶函数，且在[0，3π]内单调递增

D．g（x）是偶函数，且在[0，3π]内单调递减

10．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）与椭圆＋＝1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线与椭圆的一个交点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的渐近线方程是（）

A.y＝±xB.y＝±x

C.y＝±xD.y＝±x

11．已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（）

A.2B.C.－2D.－

12．过抛物线x2＝4y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是（）

A.B.[1，＋∞）C．[，＋∞）D．[2，＋∞）

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位评委为某参赛选手给出的分数（满分：

100分）如下茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5个分数的方差是__________.

茎

叶

7

5

8

4　4　6　4　7

9

3

14.已知一个空间几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是________．

15．已知函数f（x）＝（m＋3）（x＋m＋1）（x＋m），g（x）＝2x－2，若对任意x∈R，有f（x）＞0或g（x）＞0成立，则实数m的取值范围是__________．

16．设点A（1，0），B（－1，0），M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值m（m≠0），若点M的轨迹是离心率为2的双曲线（除去点A、B），则m的值为________．

三、解答题：

本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，已知4S＝a2＋c2－b2.

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）设m＝（－1）a＋c，若b＝，求m的取值范围．

18.（本小题满分12分）

某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“初中学生”和“高中学生”，按学生的课外阅读时间（单位：

小时）各分为5组：

[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数约是多少；

（Ⅱ）从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．

（Ⅰ）求证：

MN⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．

20.（本小题满分12分）

设数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，已知4Sn＝a－4n－1（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若对任意给定的正整数m，集合{n|an＋t≥2m}中的最小元素为m＋2，求实数t的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B为椭圆长轴的两个端点，F为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为，且|AF|·|BF|＝2.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．

22.（本小题满分12分）

设函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a≠0），已知对任意x∈R，都有f（x）≥1－2x，且f（x）＝f（2－x）成立．令g（x）＝f（x）－|λx－1|，其中λ为常数．

（Ⅰ）当λ＝1时，求函数g（x）的所有零点；

（Ⅱ）当λ＞0时，求函数g（x）的最小值．

参考答案

一、选择题

1.A　【解析】因为抛物线开口向左，且p＝6，则准线方程为x＝＝3，选A.

2.B　【解析】从数字35开始，从左向右读数，选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，所以选出的第6个红色球的编号为02，选B.

3．D　【解析】由1－2x≥0，得2x≤1，即x≤0，所以f（x）的定义域是（－∞，0]．

因为y＝2x是增函数，则f（x）＝是减函数．又0<2x≤1，则0≤f（x）＜1，选D.

4．C　【解析】取AC的中点M，连结EM，FM.

因为E，F分别是AD，BC的中点，则＝，＝.

所以＝－＝－，选C.

5．D　【解析】因为p为假命题，则綈q为真命题，即x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.

6．B　【解析】f（x）＝（2－a）x在R上单调递增2－a＞1，即a＜1.

方程＋y2＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆0

所以pq，选B.

7．C　【解析】第一次执行循环体，得i＝2，N＝13，此时13≠2（mod3）．

第二次执行循环体，得i＝4，N＝17，此时17＝2（mod3），

但17≠1（mod5）．

第三次执行循环体，得i＝8，N＝25，此时25≠2（mod3）．

第四次执行循环体，得i＝16，N＝41，此时41＝2（mod3），

且41＝1（mod5），退出循环.所以输出i的值为16，选C.

8．A　【解析】方程x2－x＋m＝0有实数根Δ＝n－4m≥0.

如图，

不等式组表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求的概率，

即P＝＝＝，选A.

9．D　【解析】因为T＝6π，则＝6π，即ω＝.因为f＝2，则sin＝1，又0<φ<，则φ＝，所以f（x）＝2sin.由题设，g（x）＝f＝2sin

＝2sin＝2cos，则g（x）为偶函数，当x∈[0，3π]时，∈[0，π]，则g（x）单调递减，选D.

10．B　【解析】据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝6，又|PF1|＝2|PF2|，则|PF1|＝4，|PF2|＝2.

据双曲线定义，2a＝|PF1|－|PF2|＝2，则a＝1.由椭圆方程知，c＝2，从而b＝.

所以双曲线的渐近线方程是y＝±x，选B.

11．A　【解析】作可行域，如图.

据题意，当直线l：

y＝－ax＋z经过△AOB区域时，l在y轴上的最大截距为4，则点A（2，0）为最优解．

因为x＝2，y＝0，z＝4，则2a＝4，即a＝2，选A.

12．C　【解析】因为焦点F（0，1），设直线l的方程为y＝kx＋1（k＞0），代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1＋x2＝4k.

因为M为线段AB的中点，则x0＝＝2k.

因为点M在直线l上，则y0＝kx0＋1＝2k2＋1.

所以kOM＝＝＝k＋≥2＝，当且仅当k＝时取等号，选C.

二、填空题

13．1.6　【解析】因为x－＝85，

则方差s2＝＝＝1.6.

14．8π　【解析】由三视图可知，该空间几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的组合体．其中圆柱和圆锥的底半径为2，高为3.

所以V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－×π×22×3＝8π.

15．（－3，－2）　【解析】由g（x）＞0，得2x>2，即x＞1，则当x≤1时，f（x）＞0恒成立．

所以，即－3＜m＜－2.

16．3　【解析】设点M（x，y），则·＝m，

即y2＝m（x2－1），即x2－＝1（x≠±1）．

因为点M的轨迹是离心率为2的双曲线，

则m>0，且a2＝1，b2＝m，从而c2＝1＋m.

由＝2，得m＝3.

三、解答题

17．【解析】（Ⅰ）因为S＝acsinB，a2＋c2－b2＝2accosB，（2分）

则2acsinB＝2accosB，即sinB＝cosB，即tanB＝1.

又0＜B＜π，所以B＝.（4分）

（Ⅱ）因为b＝，B＝，则＝＝＝2，

得a＝2sinA，c＝2sinC，

且A＋C＝.（6分）

所以m＝2（－1）sinA＋2sinC

＝2（－1）sinA＋2sin

＝2（－1）sinA＋2

＝2sinA＋2cosA＝4sin.（8分）

因为A，B，C都为锐角，则0

所以

从而

所以m∈（2，4]．（10分）

18．【解析】（Ⅰ）由直方图可知，初中生中课外阅读时间在[30，40）小时内的学生人数的频率为

1－（0.005×2＋0.03＋0.04）×10＝0.2，则学生人数为1800×0.2＝360.（2分）

高中生中课外阅读时间在[30，40）小时内的学生人数的频率为

1－（0.005×2＋0.025＋0.035）×10＝0.3，则学生人数为1200×0.3＝360.（4分）

估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数约是720人.（5分）

（Ⅱ）因为抽样比例为＝，则初中生应抽取60人，高中生应抽取40人．（6分）

所以在课外阅读时间不足10小时的样本学生中，初中生有0.005×10×60＝3人，记为a1，a2，a3；

高中生有0.005×10×40＝2人，记为b1，b2.（8分）

从这5人中任取3人的所有可能结果为：

{a1，a2，a3}，{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a1，b1，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，{a2，b1，b2}，{a3，b1，b2}，共10个.（10分）

其中至少有2个初中生的结果有：

{a1，a2，a3}，{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，共7个．（11分）

所以至少有2个初中生的概率P＝.（12分）

19．【解析】解法一：

（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，

所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.（2分）

由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.（3分）

又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.（4分）

因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，

所以MN∥AC1.

故MN⊥平面A1BC.（6分）

（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．（9分）

设AC＝BC＝CC1＝2，则C1D＝，BC1＝2.（10分）

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，则∠C1BD＝30°.

所以直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.（12分）

解法二：

（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．

（1分）

设AC＝BC＝CC1＝2，则

点B（0，2，0），B1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2）．（3分）

因为M、N分别是A1B、B1C1的中点，则

点M（1，1，1），N（0，1，2）．（4分）

所以＝（2，－2，2），＝（2，0，2），＝（－1，0，1）．（5分）

于是·＝0，·＝0，则MN⊥BA1，MN⊥CA1.（6分）

又BA1∩CA1＝A1，所以MN⊥平面A1BC.（7分）

（Ⅱ）因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，

又＝（0，－2，2），（9分）

则cos，＝＝＝，

所以，＝60°.（11分）

故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.（12分）

20．【解析】（Ⅰ）因为4Sn＝a－4n－1，则4Sn－1＝a－4n＋3（n≥2），

两式相减，得4an＝a－a－4，即a＝（an＋2）2.（3分）

因为an＞0，则an＋1＝an＋2，

所以{an}是公差为2的等差数列．（4分）

又4S1＝a－5，则4a1＝（a1＋2）2－5，

即a＝1.因为a1＞0，则a1＝1，所以an＝2n－1.（6分）

（Ⅱ）由an＋t≥2m，得2n－1＋t≥2m，即n≥m＋.（8分）

据题意，区间内的最小正整数为m＋2，则m＋1

即1<≤2，所以－3≤t＜－1.

故实数t的取值范围是[－3，－1）．（12分）

21．【解析】（Ⅰ）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.

因为e＝，则＝，即a＝c，

所以a2＝2c2＝2（a2－b2），得a2＝2b2.（2分）

因为|AF|·|BF|＝2，则（a＋c）（a－c）＝2，即a2－c2＝2，即b2＝2.（4分）

所以椭圆的标准方程是＋＝1.（5分）

（Ⅱ）法一：

由题设，点A（－2，0），

设直线AM的方程为y＝k（x＋2）（k>0）．

联立x＝3，得点D（3，5k）．（6分）

将y＝k（x＋2）代入＋＝1，得x2＋2k2（x＋2）2＝4，即

（2k2＋1）x2＋8k2x＋8k2－4＝0.（7分）

设点M（x0，y0），则x0和－2是方程的两根，

所以－2x0＝，即x0＝，

从而y0＝k＝，

所以点M.（9分）

又点B（2，0），则直线BM的方程为＝，

即y＝－（x－2）．

联立x＝3，得点E.（10分）

所以|DE|＝5k＋≥2＝，

当且仅当5k＝>0，即k＝时取等号．

所以|DE|的最小值为.（12分）

法二：

由题设，点A（－2，0），点B（2，0），设点M（x0，y0），

则＋＝1，即x＋2y＝4.

所以（x0－2）（x0＋2）＝－2y，即·＝－，

所以kAM·kBM＝－.（8分）

设直线AM的方程为y＝k（x＋2）（k>0），

则直线BM的方程为y＝－（x－2）．

分别联立x＝3，得点D（3，5k），点E（3，－）．（10分）

所以|DE|＝5k＋≥2＝，当且仅当5k＝>0，

即k＝时取等号．

所以|DE|的最小值为.（12分）

22．【解析】（Ⅰ）因为f（x）≥1－2x恒成立，则ax2＋（b＋2）x≥0恒成立，所以，

即a＞0，b＝－2.（1分）

因为f（x）＝f（2－x），即f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以－＝1，

即a＝－＝1，所以f（x）＝x2－2x＋1.（3分）

当λ＝1时，g（x）＝x2－2x＋1－|x－1|＝.

由x2－3x＋2＝0（x≥1），得x＝1或x＝2；

由x2－x＝0（x<1），得x＝0.

所以g（x）的所有零点为x1＝1，x2＝2，x3＝0.（5分）

（Ⅱ）因为λ＞0，由λx－1≥0，得x≥，

所以g（x）＝.（6分）

因为－＝＝－＝－<0，

则<.（7分）

①若≤，即0<λ≤－1，则g（x）在上单调递减，在上单调递增，

所以g（x）min＝g＝＋（λ－2）·＝－.（8分）

②若>，即λ>－1，则在和上单调递减，在和上单调递增．

当x<时，g（x）min＝g＝－；

当x≥时，g（x）min＝g＝－（λ＋2）·＋2

＝2－.（10分）

因为2－＋＝2－2λ＝2（1－λ），则

当－1<λ≤1时，2－≥－，

所以g（x）min＝－；

当λ＞1时，2－<－，所以g（x）min＝2－.

综合①②知，当0＜λ≤1时，g（x）min＝－；

当λ＞1时，g（x）min＝2－.（12分）