LloydMAX算法的研究报告要点.docx

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LloydMAX算法的研究报告要点

Lloyd—Max算法的总结

摘要：

本文分析模拟—数字信号转变过程中抽象信号为离散时间，幅度连续，无记忆的

随机信号的最佳量化问题。

并对算法做了总结，应用MATLAB编写程序实现该算

法，最后给出了运用该程序进行计算的几个例子。

关键词：

非均匀量化，失真度，Lloyd—Max算法

一．引言

模数转换要经过抽样，量化和编码三个步骤。

如下图所示：

SCH

为带限的平稳随机过程，根据抽样理论，我们可以对此随机信号进行奈圭斯特抽样抽样的输出为。

它是与等效的离散抽样序列。

经过量化器以后，用L个电平值来表示次序列，然后对此L个电平进行编码（假设为2进制码）。

如果L为2的整数幂。

则每个量化电平需要的码长为：

如果L不是2的整数幂。

则上式为。

如果L个电平值不等概的情况下，我们可以用哈夫蔓编码（又叫熵编码）增加编码效率。

然而，量化过程用到数据的压缩，从而引进了信号的失真。

这种失真即为量化失真。

我们用量化误差来表示。

本文的重点就是讨论如何最大限度的减小量化误差。

二．信息论的解释

2．1．失真度D

假定抽样器的输出序列为，量化器的输出序列为。

为不同的量化值。

则两个量化值的失真为：

如果p=2；则此失真称为均方失真。

平均失真量为：

如果x（t）是服从概率密度函数为p（x）的随机信号，则：

失真度D：

如果用：

来表示。

量化噪声MSE：

量化信噪比SNR：

2．2．率失真函数R（D）：

我们假定信源为无记忆，连续幅度，它的幅度概率密度函数为p（x），则率失真函数R（D）的表示式为：

现在分析一下失真函数R（D）的意义。

给定允许的失真度D的情况下，寻求平均互

信息量的最小值。

在信源编码过程中，该最小值的意义即为：

给定一定的失真度D，存在最小的编码码长R。

即可寻求最小的量化电平数L。

因此，进行最佳量化设计的目标可以看成以下问题：

A：

给定量化电平数L，寻求一种方法使得失真度D最小。

B：

对于允许的失真度D，怎样减少量化电平数L。

本文章将讨论问题A，即怎样寻择量化方法使D最小。

量化的方法有很多，如权量化，自适应量化，矢量量化和标量量化。

下面将对标量量化进行讨论。

三．标量量化的最佳量化问题

在信源量化中，如果我们知道量化器的输入信号为概率密度函数为p（x），则量化器可以进行优化。

同样的，设输入的信号概率密度函数为p（x），量化电平数设为L。

误差函数设为

量化失真度为D。

最佳量化器的目的即为减小D，为此，必须正确选取最佳量化电平值和量化区间。

Lloyd-Max算法就是最佳量化的好的实现方法。

我们称用Lloyd-Max算法的量化器为Lloyd-Max最佳量化器。

为讨论该算法，我们先介绍均匀量化

对于均匀量化，设量化电平为：

，其中，Δ为量化台阶

当（k-1）Δ≤x

假设均匀量化器的输出为对称的偶数个电平，则平均失真为：

对Δ求导，即可得到最小的量化失真Ｄ。

对上式求导为：

给定一个p（x），可以通过计算机编程设计得到最佳量化的矢量步长。

Max首先对输入信号为均值为0，单位方差的高斯信号进行了计算。

四．Lloyd—Max算法

对于输入信号分布函数p（x），量化输出电平　　，量化电平数为Ｌ，量化区间端点值为　　　

当　　　　　　时则量化为　　．　　　　　，　　　　　.

则失真度为：

对和进行优化以减小D，同时对和分别求导，得到下面两个等式：

采用均方误差则，所以可以得出：

这两个式子可以通过计算机编程进行连续的迭代计算，求出最佳的和，以尽可能达到最小的D。

五．MATALB的编程实现

给定量化电平L和输入信号概率密度函数p（x）和信号可能的最大值，最小值进行迭代，求出最佳量化电平和量化范围。

并给出了一个结果。

其中的失真度D的绝对值过大，仅仅是为了说明情况，具体的计算可以根据需要的值进行设置两次迭带中的D值之差，进而计算出比较精确的结果。

（程序清单和计算结果见附录）

六．结束语

Lloyd—Max算法的特点是：

量化电平集中在信号概率大的区域。

在量化电平极小的情况下，均匀量化和非均匀量化的性能差不多。

但是随着量化电平数的增加，非均匀量化产生的失真度明显比均匀量化小。

根据信号的概率密度函数进行量化，将时间离散，幅度连续的信号量化到各个离散的电平上，它们对应了相应的概率。

可以据此进行熵编码，以期在相同的失真度条件下得到最小的码长R。

非均匀量化简单有效的实现且应用在商业电话的对数量化器，根据人的语音特点，在低幅度时用比较多的量化电平（量化台阶小），而在信号不常发生的大幅度电平值时，量化电平就大，常用的技术有美国的

律压缩和欧洲的A-律压缩。

参考文献：

[1]：

John..G.ProakisDigitalCommunication，电子工业出版社影印版

[2]：

Theodore.S.RappaportWirelesscommunication,电子工业出版社影印版

[3]：

傅祖芸信息论基础，电子工业出版社

[4]：

沈振元，聂志泉，区雪荷通信系统原理西安电子科技大学出版社

附录：

源程序清单：

1：

MAIN

functionmain

clearall;

string1=input（'Pleaseinputthepdfofthesignal:

'）;

string2=string1;

disp（'Pleaseinputthemaxamplitudeofthesignal:

'）;

xmax=input（''）;

disp（'Pleaseinputtheminamplitudeofthesignal:

'）;

xmin=input（''）;

disp（'Pleaseinputthenumberofthequantizationlevels:

'）;

qsteps=input（''）;

lloyedmax（string2,xmax,xmin,qsteps）

2：

Lloyd—Max

functiond=lloyedmax（pdf,xmax,xmin,qsteps）

g=inline（pdf）;

step=abs（（xmax-xmin））/qsteps;

fori=1:

qsteps

xvalue（i）=xmin+（i-0.5）*step;

end;

dold=1;

dsum=0;

j=0;

whileabs（dold-dsum）>0.01

j=j+1;

x（j）=dsum;

dold=dsum;

xdomin

（1）=xmin;xdomin（qsteps+1）=xmax;

fori=2:

qsteps

xdomin（i）=（xvalue（i-1）+xvalue（i））./2;

end

dsum=0;

fori=2:

qsteps+1

xstemp=xdomin（i-1）:

abs（xdomin（i）-xdomin（i-1））/100:

xdomin（i）;

y=（（xvalue（i-1）-xstemp）.^2）.*g（xstemp）;

d=trapz（xstemp,y）;

dsum=dsum+d;

end

fori=2:

qsteps+1

xstemp=xdomin（i-1）:

abs（xdomin（i）-xdomin（i-1））/100:

xdomin（i）;

y1=xstemp.*g（xstemp）;

y2=g（xstemp）;

d1=trapz（xstemp,y1）;

d2=trapz（xstemp,y2）;

xvalue（i-1）=d1/d2;

figure（j）;

plot（xvalue,1:

1:

qsteps,'*',xdomin,1:

1:

qsteps+1,'x'）

ylabel（'thecomputenumbers'）

xlabel（'regions（x）andoutputlevels（*）'）

end

outputlevel=xvalue

regions=xdomin

distortion=dsum

end

j=j+1;

x（j）=dsum

outputlevel=xvalue

regions==xdomin

figure（j）;

ylabel（'thecomputenumbers'）

xlabel（'regions（x）andoutputlevels（*）'）

plot（xvalue,1:

1:

qsteps,'*',xdomin,1:

1:

qsteps+1,'x'）

figure（j+1）

clearc;

fori=2:

j

c（i-1）=x（i）;

end

plot（1:

1:

j-1,c,'*'）

xlabel（'thecomputenumbers'）

ylabel（'everyonedistortion'）

附录：

计算举例：

例子：

1．当时，量化电平数L=16；=2。

输入[-20，+20]

过程参数与图示：

说明：

main为主函数，outputlevel为量化输出电平值，regions为量化区域，distortion为量化失真度,x为每次迭代得出的量化失真度

main

Pleaseinputthepdfofthesignal:

'exp（（-x.^2）/（2*4））/sqrt（2*pi*4）'

Pleaseinputthemaxamplitudeofthesignal:

20

Pleaseinputtheminamplitudeofthesignal:

-20

Pleaseinputthenumberofthequantizationlevels:

16

outputlevel=

-17.7225-15.2575-12.8047-10.3710-7.9677-5.6117

-3.3209-1.09691.09693.32095.61177.9677

10.371012.804715.257517.7225

regions=

-20.0000-17.5000-15.0000-12.5000-10.0000-7.5000

-5.0000-2.500002.50005.00007.5000

10.000012.500015.000017.500020.0000

distortion=0.5209

outputlevel=

-16.7250-14.3051-11.9139-9.5678-7.2895-5.1032

-3.0152-0.99730.99733.01525.10327.2895

9.567811.913914.305116.7250

regions=

-20.0000-16.4900-14.0311-11.5878-9.1694-6.7897

-4.4663-2.208902.20894.46636.7897

9.169411.587814.031116.490020.0000

distortion=0.4092

outputlevel=

-15.7636-13.4011-11.0891-8.8534-6.7213-4.7050

-2.7849-0.92210.92212.78494.70506.7213

8.853411.089113.401115.7636

regions=

-20.0000-15.5151-13.1095-10.7408-8.4286-6.1963

-4.0592-2.00630.00002.00634.05926.1963

8.428610.740813.109515.515120.0000

distortion=0.3390

F4

F6

F8

F10

F12

outputlevel=

-9.8274-8.3387-6.9523-5.6241-4.3372-3.0791

-1.8402-0.61220.61221.84023.07914.3372

5.62416.95238.33879.8274

regions=

-20.0000-9.4395-7.9327-6.5133-5.1524-3.8325

-2.5406-1.26610.00001.26612.54063.8325

5.15246.51337.93279.439520.0000

distortion=0.1354

x=0.52090.40920.33900.29000.25360.2254

0.20290.18450.16920.15620.14510.1354

2．同样条件，输入为[-60，60]时的情况。

outputlevel=

-10.1614-8.5297-7.0115-5.6234-4.3137-3.0524-1.8207

-0.60520.60521.82073.05244.31375.62347.0115

8.529710.1614

regions=

-60.0000-9.8716-8.1112-6.5563-5.1407-3.8037-2.5136

-1.25060.00001.25062.51363.80375.14076.5563

8.11129.871660.0000

distortion=0.1332

3．同样函数，输入为[-20，20]，L=8时

outputlevel=

-4.9505-3.3100-1.9443-0.64360.64361.94433.3100

4.9505

regions=

-20.0000-4.2345-2.7073-1.33600.00001.33602.7073

4.234520.0000

distortion=0.1651

4．同样函数，输入为[-60，60]，L=32时

outputlevel=-31.8333-28.4797-25.0944-21.8405-18.7849-16.0125-13.5971

-11.5539-9.8169-8.2835-6.8751-5.5461-4.2694-3.0277

-1.8083-0.60140.60141.80833.02774.26945.5461

6.87518.28359.816911.553913.597116.012518.7849

21.840525.094428.479731.8333

regions=-60.0000-31.7736-28.3413-24.9372-21.6598-18.5750-15.7669

-13.3094-11.2202-9.4397-7.8702-6.4306-5.0723-3.7663

-2.4941-1.24220.00001.24222.49413.76635.0723

6.43067.87029.439711.220213.309415.766918.5750

21.659824.937228.341331.773660.0000

distortion=0.1308

5．输入为[-20，20]，L=16时

outputlevel=

-18.7500-16.2500-13.7500-11.2500-8.7500-6.2500-3.7500

-1.25001.25003.75006.25008.750011.250013.7500

16.250018.7500

regions=

-20.0000-17.5000-15.0000-12.5000-10.0000-7.5000-5.0000

-2.50000.00002.50005.00007.500010.000012.5000

15.000017.500020.0000

distortion=0.5209

6．

（Laplacian函数），=4，

输入为[-20，20]，L=16；

outputlevel=-17.6367-14.4158-11.6987-9.1889-6.8127-4.5851-2.5525

-0.76080.76082.55254.58516.81279.188911.6987

14.415817.6367

regions=-20.0000-16.1299-13.1992-10.5930-8.1362-5.8057-3.6387

-1.68870.00001.68873.63875.80578.136210.5930

13.199216.129920.0000

7．和1。

相同的条件：

当时，量化电平数L=16；=2。

输入[-20，+20]；改变迭代终止条件，即ΔD<0.01,改为ΔD<0.001的情况。

outputlevel=

-6.3968-5.1605-4.2401-3.4217-2.6430-1.8811-1.1266

-0.37520.37521.12661.88112.64303.42174.2401

5.16056.3968

regions=

-20.0000-5.8227-4.7440-3.8704-3.0654-2.2875-1.5210

-0.75950.00000.75951.52102.28753.06543.8704

4.74405.822720.0000

distortion=0.0509