中考数学题型研究函数图象性质探究题.docx
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中考数学题型研究函数图象性质探究题
题型七 函数图象性质探究题
类型一 新函数性质探究题
（2016.21）
例 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法探究分段函数y＝
的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
m
1
0
1
2
1
n
…
其中，m＝________，n＝________；
【思维教练】当x＝－3时，∵－3<1，∴代入y＝|x＋1|中，即可得出m的值；当x＝3时，∵3＞1，∴代入y＝
中，即可得出n的值．
（2）描点：
在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标．描出相应的点，如图所示请画出函数的图象；
例题图
【思维教练】结合函数图象性质与所描出的点进行连线即可．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①当x≤－1时，y随x的增大而________；
②当－1＜x≤1时，y随x的增大而________；
③当x＞1时，y随x的增大而________；
④当x＝______时，y取得最小值，最小值为______；
⑤点A（
，y1），B（5，y2），C（x1，
），D（x2，6）在函数图象上，则y1________y2，x1________x2；（填“＞”，“＜”或“＝”）
⑥当函数值y＝1时，求自变量x的值；
【思维教练】①②③④⑤根据所给出的点坐标判断在哪个象限内，再根据对应函数的图象特征即可判断求解；⑥当y＝1时，求自变量的取值，需要分x≤1和x＞1时两种情况来讨论，求解即可．
（4）若直线y＝－x＋b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【思维教练】观察直线与函数图象有且只有一个交点时的图象位置，据此可确定b的取值范围，即可求解．
【自主作答】
满分技法
解决函数图象性质探究题时，注意以下问题：
1.求函数自变量的取值范围时，注意要考虑实际情况（自变量x能不能为负数，是否可以为0，要根据题目定）；
2.描点时，根据点（x，y）的横坐标由小到大描点，避免遗漏；
3.画函数图象时，用平滑的曲线按照点的顺序把所有点连接起来；
4.写函数的性质或结论时，可以考虑从以下方向入手：
①自变量的取值范围；②函数值的取值范围；③函数的最值（最大或最小）；④函数图象的增减性；⑤函数图象与x轴、y轴的交点情况、交点坐标；⑥函数图象的对称性、对称轴；⑦函数图象的最高或最低点等．
河南10年中招真题精选
1.（2016河南21题10分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
－3
－
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
－1
0
－1
0
3
…
其中，m＝________；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．
第1题图
针对训练
1.（2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝
|x|（x2－x＋1）（x≥－2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当－2≤x＜0时，
对于函数y1＝|x|，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的增大而________，且y1＞0；
对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而________，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而________．
（2）当x≥0时，
对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
第1题图
（3）过点（0，m）（m>0）作平行于x轴的直线l，结合
（1）
（2）的分析，解决问题：
若直线l与函数y＝
|x|（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点，则m的最大值是________．
2.（2020重庆B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝－
的图象并探究该函数的性质．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－
a
－2
－4
b
－4
－2
－
－
…
（1）列表，写出表中a，b的值：
a＝_______，b＝_______；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“”作答）．
①函数y＝－
的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y＝－
有最小值，最小值为－6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小；
（3）已知函数y＝－
x－
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式－
＜－
x－
的解集．
第2题图
3.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，小武根据学习函数的过程与方法，对函数y＝－
x
＋b（a＜0）的图象与性质进行了探究．已知该函数图象经过点（－3，5），且与y轴交于点（0，－
）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出该函数的一条性质；
（3）若方程－
x
＋b＝m有2个解，直接写出m的值．
第3题图
类型二 分析几何问题、探究函数图象与性质
（2020.22）
例
例题图①
如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP.已知AB＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51
0.00
请补全表格；
【思维教练】用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5时，y的值即可．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
例题图②
【思维教练】描点连线即可画出函数图象．
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①y1随x的增大而________；
②y2随x的增大而________；
③当AP＞BP时，线段BD的取值范围为________；
④当AP＝2BD时，AP的长度约为________cm；
⑤当△APB是等腰三角形时，线段BD的长度约为________cm；
⑥当BP平分∠ABC时，BD的长度约为______cm.
【思维教练】①和②观察函数图象即可得出结论；③要求AP＞BP时线段BD的取值范围，根据图象y2在y1上方时即可确定；④当AP＝2BD时，即y2＝2x，在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2的交点即为所求；⑤和⑥从表格数据看，当x＝3时，y1＝y2＝3.25，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D为AB的中点，即可求解．
河南10年中招真题精选
1.（2020河南22题10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
第1题图①
如图①，点D是
上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在
上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值.
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点D为
的中点时，BD＝5.0cm”，则上表中a的值是________；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图②所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：
当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．
第1题图②
针对训练
1.如图①，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交
于点F，连接FD.
小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
第1题图①
（1）对于点C在
上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC
/cm
0.1
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD
/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD
/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5
在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的函数的图象：
第1题图②
（3）结合函数图象，解答问题：
当CD>FD时，AC的长度的取值范围是________．
2.（2020达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm.P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表①：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC＝8cm时，得表②：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：
根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，________的长度为自变量，________的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
第2题图
3.（2020北京延庆区模拟）如图①，AB是⊙O的弦，AB＝5cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是
上的一个动点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AC.
第3题图①
小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程：
（1）对于点C在
上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AC
/cm
0
0.37
1.00
1.82
2.10
3.00
3.50
3.91
5.00
PC
/cm
1.00
0.81
0.69
0.75
1.26
2.11
2.50
3.00
4.00
PD
/cm
4.00
5.00
5.80
6.00
3.00
1.90
1.50
1.32
1.00
在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；
（2）请你在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的两个函数的图象；
第3题图②
（3）结合函数图象，解决问题：
①当PC＝PD时，AC的长度约为________cm；
②当△APC为等腰三角形时，PC的长度约为________cm.
4.（2020北京东城区模拟）如图①，在△ABC中，AB＝6cm，P是AB上的动点，D是BC延长线上的定点，连接DP交AC于点Q.
第4题图①
小明根据学习函数的经验，对线段AP，DP，DQ的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，DP，DQ的长度（单位：
cm）的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AP/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
DP/cm
4.99
4.56
4.33
4.32
4.53
4.95
5.51
DQ/cm
4.99
3.95
3.31
2.95
2.80
2.79
2.86
在AP，DP，DQ的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的函数的图象；
第4题图②
（3）结合函数图象，解决问题：
当AP＝
（DP＋DQ）时，线段AP的长度约为________cm.
5.（2020北京石景山模拟）如图①，C是
上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q.
第5题图①
小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm）
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
PC
/cm
4.07
3.10
2.14
1.68
1.26
0.89
0.76
1.26
2.14
PA
/cm
0.00
1.00
2.00
2.50
3.00
3.54
4.00
5.00
6.00
AQ
/cm
0.00
0.25
0.71
1.13
1.82
3.03
4.00
3.03
2.14
在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定___________的长度是自变量，_______________的长度和_______________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的函数的图象；
第5题图②
（3）结合函数图象，解决问题：
当AQ＝PC时，PA的长度约为_____________cm.（结果保留一位小数）
类型三 分析几何问题、探究函数解析式与性质
例 背景介绍
某中学校园里有一个如图①所示的三角形花坛．已知AC⊥BC，∠A＝30°，欲在点C和P之间修建一条便捷通道PC，测得BC＝40m.
例题图①
初步感知
（1）设BP＝xm，PC＝ym，
①如图①，过点C作CD⊥AB于点D，当点D与点P不重合时，用含x的关系式表示：
DP2＝________；
②y与x的函数关系式是________，自变量x的取值范围为________；
【思维教练】①要用含x的关系式表示DP2，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半的性质即可得出结论；②根据勾股定理即可表示出y与x之间的关系式．
深入思考
（2）①列表：
根据
（1）中所求函数关系式计算并补全表格；
x（m）
0
10
20
30
40
50
60
70
80
y（m）
__
36.1
34.6
36.1
__
45.8
52.9
60.8
69.2
【思维教练】将x＝0和x＝40代入函数关系式求解即可．
②描点：
根据表中数据，继续描出①中剩余两个点（x，y）；
例题图②
③在图②中连接：
在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；
（3）请结合函数图象，写出函数图象性质或结论．
①y的取值范围为________；
②当0≤x≤20时，y随x的增大而________；
③当20＜x≤80时，y随x的增大而________；
④该函数图象与x轴无交点，与y轴有交点，交点为________；
⑤当x＝________时，y取得最小值，最小值为________；当x＝________时，y有最大值，最大值为________；
⑥函数图象有最低点，最低点的坐标为________；函数图象有最高点，最高点的坐标为________．
【思维教练】观察函数图象即可得出结论．
针对训练
1.（2020益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH.
【提示：
平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0,5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
…
（3）点C关于x轴的对称点为C′，当点P在直线C′F下方时，求线段PF长度的取值范围．
第1题图
2.（2020北京海淀区模拟）如图①，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC－AB＝1.为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y.
第2题图①
（1）由题意可得
＝
（在括号内填入图①中相应的线段），y关于x的函数表达式为y＝________；
（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中，根据
（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________；
②估计AB＋AD的最小值为________．（结果精确到0.1）
第2题图②
类型四 分析实际问题、探究函数
（2019.21）
例 小刚的爷爷准备在院内用篱笆围建一个边长不小于1m，且面积为4m2的矩形花圃，让小刚帮忙设计：
怎样围才能使所用篱笆最短？
最短篱笆是多少？
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
建立函数模型
（1）设矩形的一边长为xm，所用篱笆是ym，则y关于x的函数解析式为________；
【思维教练】要写出解析式，需要先根据其面积表示出篱笆的另一边，再根据其周长的公式即可表示出解析式．
画出函数图象
（2）列表：
根据函数解析式，得到了x与y的几组对应值，如下表：
x
1
2
3
4
y
10
a
b
10
表中a＝________，b＝________；
【思维教练】将其对应的横坐标代入到函数解析式中，即可求出其纵坐标.
（3）描点、画图：
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的大致图象；
例题图
【思维教练】根据（3）中的点进行连线，即可画出该函数图象．
解决问题
（4）请结合函数图象，写出函数图象性质或结论．
①y的取值范围为________；
②当1≤x≤2时，y随x的增大而________；
③当2＜x＜4时，y随x的增大而________；
④当x取何值时，所用篱笆最短？
最短是多少？
【思维教练】①②③观察函数的图象即可得出结论；④根据函数图象的性质判断其最小值，即可求解．
拓展应用
（5）结合函数图象，请直接写出方程
＝5的解．
【思维教练】根据函数图象的性质解方程即可．
【自主作答】
河南10年中招真题精选
1.（2019河南21题10分）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y.由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝
；由周长为m，得2（x＋y）＝m，即y＝
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