创新设计一轮复习 第四章 第2节.docx
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创新设计一轮复习第四章第2节
第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用定义推导出诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cosα
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tanα
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）sin（π＋α）＝－sinα成立的条件是α为锐角.（ ）
（2）六组诱导公式中的角α可以是任意角.（ ）
（3）若α∈R，则tanα＝恒成立.（ ）
（4）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sinα＝.（ ）
解析
（1）中对于任意α∈R，恒有sin（π＋α）＝－sinα.
（3）中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.
（4）当k为奇数时，sinα＝，
当k为偶数时，sinα＝－.
答案
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2.（必修4P21A12改编）已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝（ ）
A.B.－C.D.－
解析 由同角三角函数关系得
cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
答案 B
3.（必修4P29B2改编）已知α为锐角，且sinα＝，则cos（π＋α）＝（ ）
A.－B.C.－D.
解析 因为α为锐角，所以cosα＝＝，
故cos（π＋α）＝－cosα＝－.
答案 A
4.（2017·全国Ⅲ卷）已知sinα－cosα＝，则sin2α＝（ ）
A.－B.－C.D.
解析 ∵（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，
∴sin2α＝1－＝－.
答案 A
5.（2019·济南质检）若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα＝（ ）
A.B.－C.D.－
解析 ∵sinα＝－，α为第四象限角，
∴cosα＝＝，因此tanα＝＝－.
答案 D
6.（2018·上海嘉定区月考）化简：
＝________.
解析 原式＝＝＝1.
答案 1
考点一 同角三角函数基本关系式
多维探究
角度1 公式的直接运用
【例1－1】（2018·延安模拟）已知α∈，且sinα＝－，则cosα＝（ ）
A.－B.C.±D.
解析 因为α∈，且sinα＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－.
答案 A
角度2 关于sinα，cosα的齐次式问题
【例1－2】已知＝－1，求下列各式的值.
（1）；
（2）sin2α＋sinαcosα＋2.
解 由已知得tanα＝.
（1）＝＝－.
（2）sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
角度3 “sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系
【例1－3】已知x∈（－π，0），sinx＋cosx＝.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值.
解
（1）由sinx＋cosx＝，
平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，
整理得2sinxcosx＝－.
所以（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.
由x∈（－π，0），知sinx<0，又sinx＋cosx>0，
所以cosx>0，则sinx－cosx<0，
故sinx－cosx＝－.
（2）＝
＝＝＝－.
规律方法 1.同角三角函数关系的用途：
根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.
（2）利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：
对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：
1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【训练1】
（1）（2019·烟台测试）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为（ ）
A.－B.C.－D.
（2）已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是（ ）
A.B.－C.－3D.3
解析
（1）∵<α<，
∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，
∴cosα－sinα>0.
又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
∴cosα－sinα＝.
（2）由＝5得＝5，可得tanα＝2，
则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.
答案
（1）B
（2）A
考点二 诱导公式的应用
【例2】
（1）设f（α）＝（1＋2sinα≠0），则f＝________.
（2）已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
解析
（1）∵f（α）＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝.
（2）∵cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
答案
（1）
（2）0
规律方法 1.诱导公式的两个应用
（1）求值：
负化正，大化小，化到锐角为终了.
（2）化简：
统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos（5π－α）＝cos（π－α）＝－cosα.
【训练2】
（1）（2019·衡水中学调研）若cos＝，则cos（π－2α）＝（ ）
A.B.C.－D.－
（2）（2017·北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________.
解析
（1）由cos＝，得sinα＝.
∴cos（π－2α）＝－cos2α＝－（1－2sin2α）＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
（2）α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sinβ＝sin（π－α＋2kπ）＝sinα＝.
答案
（1）D
（2）
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】
（1）（2019·菏泽联考）已知α∈，sin＝，则tan（π＋2α）＝（ ）
A.B.±C.±D.
（2）（2019·福建四地六校联考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα的值是（ ）
A.B.C.D.
解析
（1）∵α∈，sin＝，
∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝＝－2.
∴tan（π＋2α）＝tan2α＝＝＝.
（2）由已知得
消去sinβ，得tanα＝3，
∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sinα＝（α为锐角）.
答案
（1）A
（2）C
（3）已知－π①求sinx－cosx的值；
②求的值.
解 ①由已知，得sinx＋cosx＝，
两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，
整理得2sinxcosx＝－.
∵（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝，
由－π又sinxcosx＝－<0，
∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，
故sinx－cosx＝－.
②＝
＝
＝＝－.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.
（1）注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
（2）熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
【训练3】
（1）（2019·湖北七州市联考）已知α∈（0，π），且cosα＝－，则sin·tanα＝（ ）
A.－B.－C.D.
（2）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析
（1）∵α∈（0，π），且cosα＝－，∴sinα＝，
因此sin·tanα＝cosα·＝sinα＝.
（2）由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
答案
（1）C
（2）－
[思维升华]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法：
（1）弦切互化法：
主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.
（2）和积转换法：
如利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
（3）巧用“1”的变换：
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝sin2θ（1＋）＝tan等.
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：
去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
基础巩固题组
（建议用时：
35分钟）
一、选择题
1.sin600°的值为（ ）
A.－B.－C.D.
解析 sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°
＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－.
答案 B
2.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin2α－2cos2α＝（ ）
A.B.－C.－D.－
解析 由题意知tanα＝2，
∴sin2α－2cos2α＝＝＝.
答案 A
3.＝（ ）
A.sin2－cos2B.sin2＋cos2
C.±（sin2－cos2）D.cos2－sin2
解析 ＝
＝＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.
答案 A
4.已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，则θ等于（ ）
A.－B.－C.D.
解析 ∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），
∴－sinθ＝－cosθ，
∴tanθ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.
答案 D
5.已知sin＝，则cos＝（ ）
A.B.C.－D.－
解析 因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.
答案 B
6.（2019·兰州质检）向量a＝，b＝（cosα，1），且a∥b，则cos＝（ ）
A.－B.C.－D.－
解析 ∵a＝，b＝（cosα，1），且a∥b，
∴×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝，
∴cos＝－sinα＝－.
答案 A
7.已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2020）的值为（ ）
A.－1B.1C.3D.－3
解析 ∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）
＝asinα＋bcosβ＝3，
∴f（2020）＝asin（2020π＋α）＋bcos（2020π＋β）
＝asinα＋bcosβ＝3.
答案 C
二、填空题
8.（2019·广东七校联考）已知sinα＝－，且α为第三象限的角，则tanα＝________.
解析 ∵sinα＝－，且α为第三象限的角，
∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝.
答案
9.已知tan＝，则tan＝________.
解析 ∵＋＝π，
∴tan＝tan
＝－tan＝－.
答案 －
10.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为________.
解析 ∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.
又∵（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝，
又∵θ∈，∴sinθ－cosθ＝－.
答案 －
11.已知tanθ＝3，则cos＝________.
解析 ∵tanθ＝3，∴cos＝sin2θ＝＝＝＝.
答案
12.（2019·邯郸一模）若sin（α＋β）＝3sin（π－α＋β），且α，β∈，则＝________.
解析 由条件，得sin（α＋β）＝3sin（α－β），
∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，则tanα＝2tanβ，
因此＝2.
答案 2
能力提升题组
（建议用时：
15分钟）
13.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（ ）
A.1＋B.1－
C.1±D.－1－
解析 由题意知sinθ＋cosθ＝－，sinθ·cosθ＝.
又＝1＋2sinθcosθ，
∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案 B
14.已知sincos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________.
解析 sincos＝－cosα·（－sinα）＝sinαcosα＝.
∵0<α<，∴0又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝.
答案
15.已知k∈Z，化简：
＝________.
解析 当k＝2n（n∈Z）时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
答案 －1
16.是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？
若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cosβ＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cosβ＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
新高考创新预测
17.（多填题）已知sinα＝，α∈，则cos（π－α）＝________，cos2α＝________.
解析 cos（π－α）＝－cosα＝－＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝.
答案 －
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