切线长定理和三角形的内切圆练习题.docx
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切线长定理和三角形的内切圆练习题
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
知识点1切线长定理
1.如图24-2-34,PA切OO于点A,PB切OO于点B,OP交OO于点C,下列结论中，错误的是（
图24-2-34
B.PA=PB
2.如图24-2-35所示，从OO外一点P引OO的两条切线PA,PB,切点分别为A,
那么弦AB的长是（）
B.如果/APB=60°,PA=8,
图24-2-35
A.4B.8C.4
图24-2-36
4.如图24—2—37,PA,PB是OO的两条切线，A,B是切点，若/APB=60°,PO=2,则OO的半径等于.
图24-2-37
知识点2三角形的内切圆
图24—2—38
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.
三条高的交点
E.
图24—2—39
图24-2-40
8.如图24-2-41所示，0是^ABC的内心，过点0作EF//AB,与AC,BC分别交于点E,F,则（）
图24-2-41
EF>AE+BFB.EFC.
EF=AE+BFD.EF9.
2016孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：
“今有勾八步，股一十
五步，问勾中容圆径几何•”其意思为：
“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长
直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是
步.
10.如图24—2-42,在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与OO相
切于E,F,G三点，过点D作OO的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为.
图24-2-42
11.如图24-2-43,O0是Rt△ABC的外接圆，/ABC=90°,P是O0外一点，PA切OO于点A,且FA=PB.
⑴求证：
PB是OO的切线;
⑵已知"=寸3,/ACB=60°,求OO的半径.
图24-2-43
12.如图24—2-44,已知在△ABC中，/A=90°.
（1）请用圆规和直尺作出OP,使圆心P在AC边上，且与AB,BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）;
⑵若/B=60°,AB=3,求OP的面积.
图24-2-44
13.如图24-2-45所示，PA,PB是OO的切线，CD切OO于点E,△PCD的周长为12,/APB=60°.
求：
（1）PA的长;
⑵/COD的度数.
图24-2-45
14.如图24-2-46所示，正方形ABCD的边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F,与CD交于点E,求△ADE的面积.
图24-2-46
拓广探究创新练
15.如图24—2-47所示，P为OO外一点，PA,PB为OO的切线，A,B为切点，AC为OO的直径，PO交OO于点E,交AB于点F.
⑴试判断/APB与/BAC的数量关系，并说明理由.
（2）若OO的半径为4,P是OO外一动点，是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?
若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由.
教师详解详析
1.D
2.B［解析］根据切线长定理，得PA=PB.
又•••/APB=60°,•••△ABP为等边三角形，
aB=PA=8.故选B.
3.A［解析］•••PA,PB是OO的切线，•••OA丄AP,OB丄BP，•/OAP=/OBP=90°
•••/AOB=2/C=130°,•••/P=360°-（90°+90°+130°）=50°.故选A.
4.1［解析］•••PA,PB是OO的两条切线，
1
•••/APO=/BPO=2/APB,/PAO=90°
•//APB=60°,•••/APO=30
•/PO=2,•••AO=1.
5.B
6.A［解析］•••点O是^ABC的内切圆的圆心，
•••/OBC=2/ABC,/OCB=2/ACB,
11
•/BOC=180°—（/OBC+/OCB）=180°—*180°—/A）=90°+；/A=90°+
40°=130°
7.解：
根据切线长定理，得AE=AF,BF=BD,CE=CD.
设AF=AE=Xcm,贝UCE=CD=（26—x）cm,BF=BD=（18—x）cm.
•/BC=28cm,•••BD+CD=28cm,
即（18—X）+（26—X）=28,解得x=8,
则18—X=10,26—x=18,
•••AF的长为8cm,BD的长为10cm,CE的长为18cm.
8.C［解析］如图，连接OA,OB,贝yOA,OB分别是/CAB与/CBA的平分线，
•••/EAO=/OAB.
•/EF//AB,•••/EOA=/OAB,
•••/EOA=/EAO,•••AE=EO.
同理可得：
FO=BF,•••EF=AE+BF.故选C.
9.6［解析］根据勾股定理，得斜边长为782+152=17,
=3（步）,即直径为6步.
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15—17
10.13［解析］连接OE,OF,ON,OG,如图.
设MN=x,DN=y,根据切线长定理可得GM=MN=x,ED=DN=y,AE=AF=5—
2222
y,FB=BG=y—1,CM=6-（x+y）.在RtADMC中，DM=CM+CD,即（x+y）=[6
221313
—（x+y）]2+42，解得X+y=等，即DM=13.
11.解：
⑴证明：
如图，连接OB.
•/OA=OB,•••/OAB=/OBA.
•/PA=PB,•••/PAB=/PBA,
•••/OAB+上PAB=/OBA+/PBA,
即/PAO=/PBO.
•••PA是OO的切线，
•••/PAO=90°,•••/PBO=90°,即OB丄PB.
又•••OB是OO的半径，•••PB是OO的切线.
（2）如图，连接
•/OA=OB,
•••OP垂直平分线段AB.
又•••BC丄AB,
•••PO//BC,•••/AOP=/ACB=60
•••Pa=V3,
12.解：
（1）如图所示，则OP为所求作的圆.
⑵•//ABC=60°,BP平分/ABC,•••/ABP=30°,•••BP=2AP.
设AP=x,贝UBP=2x.
由勾股定理
得AB=pBP—AP2=寸（2x）2—X2=/3x
•/AB=3,
13.解：
⑴•/CA,CE都是OO的切线，
•••CA=CE.同理DE=DB,PA=PB,
•••△PCD的周长=PD+CD+PC=PD+BD+PC+CA=PB+PA=2PA=12,••PA=6,
即PA的长为6.
⑵•//P=60°,•••/PCE+/PDE=120
•••/ACD+/CDB=360°—120°=240°.
•/CA,CE,DB,DE是OO的切线，
1
•••/OCE=/OCA=2/ACD.
在RtAADE中，AE2=ad2+DE2,
即（8—x）2=42+x2,解得x=3.
•••Saade=2aD.de=2X4X3=6（cm2）.
15.解：
⑴/APB=2/BAC.
理由：
•••PA,PB为OO的切线，
•PA=PB,/APO=/BPO=2/APB.
在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF丄AB,
•••/PFA=/PFB=90
•••/APO+/PAB=90°
•••PA切OO于点A,
•••PA丄OA,•••/BAC+/PAB=90°
•••/APO=/BAC,
•••/APB=2/BAC.
⑵存在•当四边形PAOB是正方形时，
PA=AO=OB=PB=4,PO丄AB且PO=AB,
•^POAB=PAPB,
即1pO2=Pa2,2pO2=16，•-PO=4V2.
这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4亚
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