切线长定理和三角形的内切圆练习题.docx

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切线长定理和三角形的内切圆练习题

第3课时　切线长定理和三角形的内切圆

知识点1　切线长定理

1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是（　　）

图24－2－34

A．∠1＝∠2B．PA＝PB

C．AB⊥OPD．∠PAB＝2∠1

2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（　　）

图24－2－35

A．4B．8C．4

D．8

3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）

图24－2－36

A．50°B．65°C．100°D．130°

4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．

图24－2－37

知识点2　三角形的内切圆

5．2017·广州如图24－2－38，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

图24－2－38

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

6．如图24－2－39，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为（　　）

图24－2－39

A．130°B．120°C．100°D．90°

7．如图24－2－40，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF，BD，CE的长．

图24－2－40

8．如图24－2－41所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则（　　）

图24－2－41

A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BF

C．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF

9．2016·孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：

“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：

“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．

10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．

图24－2－42

11．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）已知PA＝

，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．

图24－2－43

12．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.

（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．

图24－2－44

13．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.

求：

（1）PA的长；

（2）∠COD的度数．

图24－2－45

14．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．

图24－2－46

15．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.

（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．

（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？

若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．

图24－2－47

教师详解详析

1．D

2．B　[解析]根据切线长定理，得PA＝PB.

又∵∠APB＝60°，∴△ABP为等边三角形，

∴AB＝PA＝8.故选B.

3．A　[解析]∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.

∵∠AOB＝2∠C＝130°，∴∠P＝360°－（90°＋90°＋130°）＝50°.故选A.

4．1　[解析]∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴∠APO＝∠BPO＝

∠APB，∠PAO＝90°.

∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°.

∵PO＝2，∴AO＝1.

5．B

6．A　[解析]∵点O是△ABC的内切圆的圆心，

∴∠OBC＝

∠ABC，∠OCB＝

∠ACB，

∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－

（180°－∠A）＝90°＋

∠A＝90°＋40°＝130°.

7．解：

根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.

设AF＝AE＝xcm，则CE＝CD＝（26－x）cm，BF＝BD＝（18－x）cm.

∵BC＝28cm，∴BD＋CD＝28cm，

即（18－x）＋（26－x）＝28，解得x＝8，

则18－x＝10，26－x＝18，

∴AF的长为8cm，BD的长为10cm，CE的长为18cm.

8．C　[解析]如图，连接OA，OB，则OA，OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，∴∠EAO＝∠OAB.

∵EF∥AB，∴∠EOA＝∠OAB，

∴∠EOA＝∠EAO，∴AE＝EO.

同理可得：

FO＝BF，∴EF＝AE＋BF.故选C.

9．6　[解析]根据勾股定理，得斜边长为

＝17，

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝

＝3（步），即直径为6步．

10．

　[解析]连接OE，OF，ON，OG，如图．

设MN＝x，DN＝y，根据切线长定理可得GM＝MN＝x，ED＝DN＝y，AE＝AF＝5－y，FB＝BG＝y－1，CM＝6－（x＋y）．在Rt△DMC中，DM2＝CM2＋CD2，即（x＋y）2＝[6－（x＋y）]2＋42，解得x＋y＝

，即DM＝

.

11．解：

（1）证明：

如图，连接OB.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，

∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，

即∠PAO＝∠PBO.

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB.

又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．

（2）如图，连接OP.∵PA＝PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

∵OA＝OB，

∴点O在线段AB的垂直平分线上，

∴OP垂直平分线段AB.

又∵BC⊥AB，

∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°，

∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA.

∵PA＝

，

根据勾股定理，得AO＝1，

∴⊙O的半径为1.

12．解：

（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．

（2）∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP.

设AP＝x，则BP＝2x.

由勾股定理，得AB＝

＝

＝

x.

∵AB＝3，∴

x＝3，解得x＝

.

∴AP＝

，∴S⊙P＝3π.

13．解：

（1）∵CA，CE都是⊙O的切线，

∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，

∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋BD＋PC＋CA＝PB＋PA＝2PA＝12，∴PA＝6，

即PA的长为6.

（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，

∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.

∵CA，CE，DB，DE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝∠OCA＝

∠ACD.

∠ODE＝∠ODB＝

∠CDB，

∴∠OCE＋∠ODE＝

（∠ACD＋∠CDB）＝120°，

∴∠COD＝180°－120°＝60°.

14．解：

设DE＝xcm，则CE＝（4－x）cm.

∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，

∴EF＝CE＝（4－x）cm，AF＝AB＝4cm，

∴AE＝AF＋EF＝（8－x）cm.

在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，

即（8－x）2＝42＋x2，解得x＝3.

∴S△ADE＝

AD·DE＝

×4×3＝6（cm2）．

15．解：

（1）∠APB＝2∠BAC.

理由：

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝

∠APB.

在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF⊥AB，

∴∠PFA＝∠PFB＝90°，

∴∠APO＋∠PAB＝90°.

∵PA切⊙O于点A，

∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°，

∴∠APO＝∠BAC，

∴∠APB＝2∠BAC.

（2）存在．当四边形PAOB是正方形时，

PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB，

∴

PO·AB＝PA·PB，

即

PO2＝PA2，

PO2＝16，∴PO＝4

.

这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4

.