计算方法实验报告doc.docx

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计算方法实验报告doc

计算方法实验报告

实验报告

一、求方程fxx3-sinx-12x1的全部根,ε1e-61、用一般迭代法;2、用牛顿迭代法;并比较两种迭代的收敛速度。

一、首先，由题可求得.其次，分析得到其根所在的区间。

①令，可得到.②用一阶导数分析得到和两个函数的增减区间；再用二阶导数分析得到两个函数的拐点以及凹凸区间.③在直角坐标轴上描摹出和的图，在图上可以看到他们的交点，然后估计交点所在的区间，即是所要求的根的区间。

经过估计，得到根所在的区间为，和.1、一般迭代法

（1）算法步骤设为给定的允许精度，迭代法的计算步骤为①选定初值.由确定函数，得等价形式.②计算.由迭代公式得.③如果，则迭代结束，取为解的近似值；否则，用代替，重复步骤②和步骤③.

（2）程序代码①在区间内，代码clcx0-3.5;初值iter_max100;迭代的最大次数ep1e-6;允许精度k0;whilekiter_maxk从0开始到iter_max循环x1sinx012*x0-1.1/3;代入，算出的值ifabsx1-x0ep与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endx0x1;条件不成立，用代替kk1;k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数运行结果x_star-3.4101；iter14②在区间内，代码clcx00.5;初值iter_max100;迭代的最大次数ep1e-6;允许精度k0;whilekiter_maxk从0开始到iter_max循环x11/12*x0.3-sinx01;代入，算出的值ifabsx1-x0ep与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endx0x1;条件不成立，用代替kk1;k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数结果x_star0.07696；iter6③在区间内，代码clcx03.5;初值iter_max100;迭代的最大次数ep1e-6;允许精度k0;whilekiter_maxk从0开始到iter_max循环x1sinx012*x0-1.1/3;代入，算出的值ifabsx1-x0ep与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endx0x1;条件不成立，用代替kk1;k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数运行结果x_star3.4101；iter102、牛顿迭代法

（1）算法步骤①选定初值，计算，.②按公式迭代，得新的近似值，并计算，.③对于给定的允许精度，如果，则终止迭代，取；否则，，在转回步骤②计算.

（2）程序代码①在区间内，clcx1-3.5;初值k0;whilek100k从0开始到100循环x0x1;将初值赋给f0x0.3-sinx0-12*x01;计算f13*x0.2-cosx0-12;计算x1x0-f0/f1;计算得到新的近似值ifabsx1-x01.0e-6与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endkk1;条件不成立，k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数运行结果x_star-3.4911；iter2②在区间内，clcx10.5;初值k0;whilek100k从0开始到100循环x0x1;将初值赋给f0x0.3-sinx0-12*x01;计算f13*x0.2-cosx0-12;计算x1x0-f0/f1;计算得到新的近似值ifabsx1-x01.0e-6与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endkk1;条件不成立，k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数运行结果x_star0.07696；iter3③在区间内，clcx13.5;初值k0;whilek100k从0开始到100循环x0x1;将初值赋给f0x0.3-sinx0-12*x01;计算f13*x0.2-cosx0-12;计算x1x0-f0/f1;计算得到新的近似值ifabsx1-x01.0e-6与允许精度作比较break;条件成立，跳出循环endkk1;条件不成立，k加1endx_starx1,iterk为解的近似值，iter为迭代次数运行结果x_star3.4101；iter33、运行结果x_stariterx_stariterx_stariter一般迭代3.4101140.769663.410110牛顿法3.491120.7069633.410134、结果分析从这题的结果可以看出，牛顿迭代法的迭代速度比一般迭代法的速度要快，牛顿法的迭代次数比较少。

例如，求在的根时，一般迭代法迭代了14次（iter14），而牛顿法只用了2次（iter2）。

总而言之，一般迭代法是一种逐次逼近的方法，具有原理简单、编制程序方便等优点，但存在是否收敛和收敛速度的快慢等问题。

牛顿迭代法是一种特殊的迭代法，用于求方程的单根时具有2阶收敛。

因此是一种求非线性方程解的好方法，还可以用于求重根和复根，而且可以推广到求非线性方程组的解.

二、解方程组直接法1、已知对矩阵A做LU分解。

2、用追赶法解下述方程组，并给出n10的结果，其中，1、杜利特尔分解法（直接三角分解法）设方程组的系数矩阵的各阶主子式，则可知该方程组存在唯一的杜利特尔分解，其中，.我们记矩阵的第行第列元素为，则矩阵的第一行和的第一列可由公式（1.1）求出（2.1）再由公式（2.2）求出的第行、的第列元素（2.2）

（1）算法步骤由于系数矩阵的各阶主子式，则可知该方程组存在唯一的杜利特尔分解。

①利用公式（2.1）和（2.2）求出和的元素和。

②求解单位下三角形方程组，即按公式（2.3）求出。

④求解上三角形方程组，即按公式（2.4）可求得方程组的解。

（2）程序代码function[L,U]LUAA[n,n]sizeA;定义为阶矩阵Lzerosn,n;矩阵初始化Uzerosn,n;矩阵初始化fori1nLi,i1;矩阵的对角线元素为1endfork1nforjknUk,jAk,j-sumLk,1k-1.*U1k-1,j;求出元素endforik1nLi,kAi,k-sumLi,1k-1.*U1k-1,k/Uk,k;求出的元素endendA[4215;87210;4836;1261120];矩阵[L,U]LUA2、追赶法设所求方程组为，（2.5）

（1）算法步骤①由方程组的第1个方程，将未知元用表示为记，，得。

①以此类推，用表示，用表示。

我们可以得到一般式（其中记）（2.6）（2.7）②将代入方程组（2.5）的第n个方程，并解出得，上式右端恰好是式（2.6）的。

于是，可由式（2.7）求出三对角方程组的解，即，（2.8）

（2）程序代码clca[0111111111];b[2222222222];c[1111111110];r[-7-5-5-5-5-5-5-5-5-5];u[0000000000];v[0000000000];x[0000000000];u1r1/b1;计算v1c1/b1;计算fork210ukrk-uk-1*ak/bk-vk-1*ak;计算vkck/bk-vk-1*ak;计算endx10u10;fork19xkuk-vk*xk1;由，解出endx运行结果x[-3.5000-1.0000-3.0000-1.6000-2.8333-1.8571-2.7500-2.0000-0.8182-2.0909]3、运行结果

（1）杜利特尔分解法

（2）追赶法。

4、结果分析

（1）杜利特尔分解法在实现分解后，解具有相同系数矩阵的方程组，非常方便，每解一个方程只需用式（2.3）和式（2.4）解两个三角形方程组即可，大大减少了运算工作量。

另外，矩阵和的元素可采用紧凑格式存放在系数矩阵的相应元素位置上，节省了存储单元。

（2）追赶法追赶法仅适用于三对角方程组的求解。

我们由式（2.6）和式（2.8）可以算出，追赶法的乘、除运算次数仅为，加、减运算次数仅为。

故追赶法具有运算量小和存储量小的优势。

三、解方程组迭代法1、用迭代法解Axb，其中b5，5，，5T，给定误差，用Jacobi和SOR两种迭代法计算，并给出n10的结果。

对于阶方程组，假定系数矩阵的对角元时，可得雅可比迭代格式为，（3.1）记为方程组的系数矩阵的对角元组成的对角阵，和分别为由的元素组成的严格下三角阵和上三角阵，则系数矩阵可分解为.1、Jacobi（雅可比）迭代法

（1）算法步骤①根据矩阵，算出矩阵、和，即，，。

②计算雅可比迭代矩阵.③计算矩阵.④代入给出的初值，得到雅可比迭代公式（3.1）的矩阵形式.3.2由式（3.2）就可以得到向量序列.

（2）程序代码clcA[3-1/2-1/40000000;-1/23-1/2-1/4000000;-1/4-1/23-1/2-1/400000;0-1/4-1/23-1/2-1/40000;00-1/4-1/23-1/2-1/4000;000-1/4-1/23-1/2-1/400;0000-1/4-1/23-1/2-1/40;00000-1/4-1/23-1/2-1/4;000000-1/4-1/23-1/2;0000000-1/4-1/23];x0[0000000000];初值b[5555555555];L[0000000000;1/2000000000;1/41/200000000;01/41/20000000;001/41/2000000;0001/41/200000;00001/41/20000;000001/41/2000;0000001/41/200;00000001/41/20];U[01/21/40000000;001/21/4000000;0001/21/400000;00001/21/40000;000001/21/4000;0000001/21/400;00000001/21/40;000000001/21/4;0000000001/2;0000000000];D[3000000000;0300000000;0030000000;0003000000;0000300000;0000030000;0000003000;0000000300;0000000030;0000000003];BJinvD*LU;计算雅可比迭代矩阵FJinvD*b;计算矩阵N1000;ep1e-10;误差k0;whilekiter_maxk从0开始到iter_max循环x1BJ*x0fJ;计算ifnormx1-x0,infep与误差做比较break;满足，跳出循环endx0x1;不满足，将赋给kk1;k加1endx_starx1,iterk2、SOR（超松弛）迭代法

（1）算法步骤①根据矩阵，算出矩阵、和，即，，。

②计算超松弛迭代矩阵.其中，为松弛因子，。

③计算矩阵.其中，为松弛因子，。

④代入给出的初值，得到超松弛迭代公式的矩阵形式.由式（3.2）就可以得到向量序列.

（2）程序代码clcA[3-1/2-1/40000000;-1/23-1/2-1/4000000;-1/4-1/23-1/2-1/400000;0-1/4-1/23-1/2-1/40000;00-1/4-1/23-1/2-1/4000;000-1/4-1/23-1/2-1/400;0000-1/4-1/23-1/2-1/40;00000-1/4-1/23-1/2-1/4;000000-1/4-1/23-1/2;0000000-1/4-1/23];x0[0000000000];b[5555555555];L[0000000000;1/2000000000;1/41/200000000;01/41/20000000;001/41/2000000;0001/41/200000;00001/41/20000;000001/41/2000;0000001/41/200;00000001/41/20];U[01/21/40000000;001/21/4000000;0001/21/400000;00001/21/40000;000001/21/4000;0000001/21/400;00000001/21/40;000000001/21/4;0000000001/2;0000000000];D[3000000000;0300000000;0030000000;0003000000;0000300000;0000030000;0000003000;0000000300;0000000030;0000000003];w1.3;超松弛因子BwinvD-w*L*1-w*Dw*U;计算超松弛迭代矩阵Fww*invD-w*L*b;计算矩阵iter_max1000;ep1e-10;误差k0;whilekiter_maxx1Bw*x0fw;ifnormx1-x0,infep与误差做比较break;endx0x1;kk1;endx_starx1,iterk3、运行结果

（1）雅可比迭代法迭代次数iter31

（2）超松弛迭代法迭代次数iter254、结果分析雅可比迭代法和超松弛迭代法从迭代次数上比较，可以看出超松弛迭代比雅可比迭代的次数少，表明超松弛迭代法比雅可比迭代法的收敛速度快。

四、插值逼近题目，将10等分，作Lagrange插值，将插值函数的图形与的图形比较，并给出结论。

1、算法步骤已知，①求出各个节点的拉格朗日插值基函数多项式，就称为以为节点的拉格朗日插值基多项式。

②利用基函数的线性组合得到插值多项式。

2、程序代码functionylagrangex0,y0,xnlengthx0;mlengthx;fori1mzxi;s0.0;fork1np1.0;forj1nifjkpp*z-x0j/x0k-x0j;求出，p即为endendsp*y0ks;计算，s即为endyis;endx[-515];y1./1x.2;插值函数x0[-50.15];y0lagrangex,y,x0;y11./1x0.2;绘制图形plotx0,y0,--r插值曲线holdonplotx0,y1,-b原曲线3、运行结果插值曲线为红色，原曲线为蓝色4、结果分析当很大时，在内能很好的逼近，而在这个区间外，误差反而很大。

由图像我们可以看出，在内部，与偏差小；而在端点附近，偏差大。

这就是龙格现象。

五、复化求积题目分别用复化梯形公式、复化辛卜生公式计算,其中.用区间逐步分半递推算法1、复化梯形公式

（1）算法步骤①将区间分成等分，步长为，分点为.其中，我们又题意已知。

②建立与的递推公式。

③给定误差，当时，停止计算，取为所给积分的近似值。

（2）程序代码clca1;b2;m1;h0.5;ep0.5e-7;faexp1;fb2*exp2;x0h*fafb;iter_max100;i0;whileiiter_maxk1;F0;whilek2m-1FFa2*k-1*h*expa2*k-1*h;kk1;endx10.5*x0h*F;ifabsx1-x0epbreak;endmm1;hh/2;x0x1;ii1;endx1i2、复化辛卜生公式

（1）算法步骤①将区间分成等分，为偶数，步长为，分点为.其中，我们又题意已知。

②在每个小区间上用辛卜生公式，即。

③再将各个小区间的积分相加，即。

④给定误差，当时，停止计算，取为所给积分的近似值.

（2）程序代码clca1;b2;n2;hb-a/n;f1exp1;f22*exp2;f6.7225;S1b-a/6*[f14*ff2];i0;ep0.5e-7;whilei100;Pah*expah;Q0;j2;whilejnPPaj1*h*expaj1*h;QQaj*h*expaj*h;jj2;endSh/3*[f14*P2*Qf2];ifabsS1-Sepbreak;endhh/2;n2*n;S1S;ii1;endSi3、运行结果

（1）复化梯形法x17.3891；i13

（2）复化辛卜生法S7.3891；i64、结果分析从结果上我们可以看出，为了达到相同的精度，用复化梯形公式时，需将[1,2]分成；用复化辛卜生公式时，需将[1,2]分成等分。

说明了复化辛卜生公式的计算量比复化梯形公式的计算量要小。