小学数学课外学习材料五年级上期.docx

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小学数学课外学习材料五年级上期

小学数学课外学习材料

五年级上期

第一讲小数的速算与巧算

（一）

例l用简便方法计算0.125×0.25×0.5×64。

解：

因为0.125×8＝1，0.25×4＝l，0.5×2＝1，而64＝8×4×2，所以，根据乘法交换律和结合律

　　　　　　　0.125×0.25×0.5×64

＝0.125×0.25×0.5×（8×4×2）

＝（0.125×8）×（0.25×4）×（0.5×2）

＝l×l×l

＝1

例2用简便方法计算45×3.8＋4.5×62。

观察发现：

第一个积的因数45是第二个积的因数4.5的10倍，如果把45缩小10倍，变成4.5，就可以运用乘法分配律。

再根据“一个因数缩小10倍，要使积不变，另一个因数必须扩大10倍”，得到

4.5×3.8＋4.5×62

＝（45÷10）×（3.8×10）＋4.5×62

＝4.5×38＋4.5×62

＝4.2×（38＋62）

＝4.5×100

＝450

你是不是已经想到了另一种方法？

练习　一

带“*”的是选做题。

1．用简便方法计算下面各题。

（1）1.25×0.75×8×4　　　　　

（2）64×（0.125＋12.5）

（3）3.14×99＋3.14　　　　（4）70.1×9.9

（5）12.5×2.4　　　　　　　　　（6）4.8×4.9＋4.8×5.1

（7）81.2×9.8＋8.12×2（8）4.4×12＋13×5.6＋4.4

*2．计算　（2×4×8×16×32）×（25×6.25×1.25×0.25）。

（陈省身小学数学邀请赛试题）

*　3．计算　1.65×56＋4.4×18＋0.56×15。

（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）

*　4．计算　1.2345×1.2345＋0.7655×0.7655＋2.469×0.7655。

（2004年浙江省小学数学竞赛试题）

第二讲小数的速算与巧算

（二）

例1用简便方法计算0.459×246＋0.153×262。

解：

（1）初看起来两个积没有相同因数,似乎不能用乘法分配律,但是,认真观察以后发现,0.459恰好是0.153的3倍,于是

0.459×246＋0.153×262

＝（0.459÷3）×（246×3）＋0.153×262

＝0.153×738＋0.153×262

＝0.153×（738＋262）

＝0.153×1000

＝153

例2用简便方法计算下面各题。

（1）86×3.5

（2）254×1.5

（3）328×0.25（4）472×0.125

解：

（1）观察发现，3.5的末位数字是5,于是想到，如果把3.5先扩大2倍变成7,同时把86缩小2倍变成42，可能会比较简便。

86×3.5＝（86÷2）×（3.5×2）＝43×7＝301。

（2）一个数乘以1.5就是求这个数的1.5倍是多少,换句话说就是求这个数的一倍半是多少,于是

254×1.5＝254＋254÷2＝254＋127＝381。

（3）一个数乘以0.25,因为0.25×4＝1，于是想到，如果先把0.25扩大4倍,同时把另一个因数缩小4倍,可能会比较简便。

328×0.25＝（328÷4）×（0.25×4）＝81×1＝81。

（4）一个数乘以1.25,因为1.25×8＝1，于是想到，如果先把1.25扩大8倍,同时把另一个因数缩小8倍,可能会比较简便。

472×1.25＝（472÷8）×（1.25×8）＝59×1＝59。

练习二

1.用简便方法计算下面各题。

（1）4.8×7＋2.4×6

（2）0.18×36＋0.72×91

2.用简便方法计算下面各题。

（1）4.2×3.5

（2）7.8×35

（3）4.5×6.8（4）0.45×218

（5）28×1.5（6）436×1.5

（7）72×0.25（8）64×1.25

（9）1.25×824（10）0.5×396

3.用简便方法计算下面各题。

（1）28×11.1＋99.9×8

（2）1.3×83＋0.26×85

（3）3.6×58＋1.8×96－7.2×53（4）4.5×0.46＋4.6×0.45

第三讲小数乘、除法趣题

例1　已知：

A÷1＝B×0.2＝C÷0.3＝D×0.4＝E÷0.5＝F×0.6

比较A、B、C、D、E、F的大小。

解法一：

先把乘法和除法分开。

（1）B×0.2＝D×0.4＝F×0.6，根据“积一定，一个因数越大，另一个因为越小”，因为0.6＞0.4＞0.2，所以F＜D＜B；

（2）A÷1＝C÷0.3＝E÷0.5，根据“商一定，除数越大，被除数也越大”，因为1＞0.5＞0.3，所以A＞E＞C；

（3）现在来比较F和A。

F乘一个小于1的数会缩小，A除以1不变。

F缩小以后才与A相等，说明F＞A；

（4）把F＜D＜B、A＞E＞C、F＞A综合起来，得到，B＞D＞F＞A＞E＞C。

解法二：

设原式等于a。

A＝a，B＝a÷0.2＝5a，C＝0.3a，D＝a÷0.4＝2.5a，E＝0.5a，F＝a÷0.6＝1.

a。

因为，5＞2.5＞1.

＞1＞0.5＞0.3，所以，B＞D＞F＞A＞E＞C。

两种方法都是对小数乘、除法知识的综合运用，并且各有所长。

你喜欢哪种方法？

例2一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，得27.6。

原来的小数是多少？

解：

当原来的小数与4相乘时，所得的积里面包括，这个小数整数部分的4倍和小数部分的4倍。

所以，27.6就相当于这个小数整数部分的4＋1＝5倍，再加上小数部分的4倍。

这个小数的小数部分的4倍，肯定小于或等于4，所以，这个小数的整数部分的5倍就一定大于或等于27.6－4＝23.6。

而23.6÷5＝4.72，于是，这个小数的整数部分就只能是5，小数部分是（27.6－5×5）÷4＝0.65，原来的小数是5.65。

　　答：

原来的小数是5.65。

练习三

1．在○里填入“>”、“<”、“＝”。

（1）A÷0.1＝1A○1　　　

（2）1.2÷B＝1B○1

（3）C×0.08＝1C○1　　　（4）160×D＝1D○1

2.已知A、B都是小数,并且A>1,B<1,下面五个算式中,哪个算式的结果一定大于1?

在算式的后面打“√”。

A＋B　　A－B　　A×B　　A÷B

3.比较A、B、C、D的大小,并用“<”把它们连接起来。

A＝10＋1＋0.1＋0.01＋0.001＋0.0001

B＝10－1－0.1－0.01－0.001－0.0001

C＝10×1×0.1×0.01×0.001×0.0001

D＝10÷1÷0.1÷0.01÷0.001÷0.0001

（）<（）<（）<（）

4.甲数除以乙数,商1.2没有余数,已知被除数加上除数与商的积等于5.76,甲、乙两数各是多少?

5.两个数相除,被除数、除数、商、余数的和是18.5,如果把被除数和除数都扩大10倍,那么,商是2,余数是3。

求这两个数。

6．小马虎在计算一道小数除法式题的时候，把被除数88.8看成了8.88，结果，所得的商比正确的商少了3.33，那么，正确的商应该是多少？

第四讲循环小数趣题

　例1在循环小数2.71828

.的某一位上再添一个循环点,使所得的循环小数尽可能大,写出新的循环小数。

　解：

为了使所得的循环小数尽可能大,另一个循环点应该添在数字8上面。

2.71

28

>2.7182

，新的循环小数应该是2.71

28

。

　例2算式V÷C＝0.EFABCDEFABCD……中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

请破译这个“密码”算式。

　解：

观察发现：

商是循环小数,循环节“EFABCD”有六个数字。

显然除数C不是1、2、4、5、8，否则商就是有限小数。

如果C是3、6、9,试算发现虽然商是循环小数,但是循环节只有一个数字,所以C也不是3、6、9。

因此C只能是7，V只能是1、2、3、4、5、6。

由此得到：

1÷7＝0.

4285

2÷7＝0.

8571

3÷7＝0.

2857

4÷7＝0.

7142

5÷7＝0.

1428

6÷7＝0.

5714

商都是循环小数，并且循环节都是由1、4、2、8、5、7六个数字组成的,排列顺序也相同,只是起始数字不同罢了。

把这些循环小数与“密码”算式仔细对照后发现，循环节第五个数字与除数相同的只有3÷7＝0.

2857

。

所以“密码”算式是3÷7＝0.428571428571……

为了发现循环小数更多的秘密，不妨从一些比较简单的情况入手。

我们知道：

1÷11＝0.

，2÷11＝0.

，3÷11＝0.

，4÷11＝0.

，5÷11＝0.

，6÷11＝0.

，7÷11＝0.

，8÷11＝0.

，9÷11＝0.

，10÷11＝0.

。

观察发现：

得数都是循环小数,循环节都是两个数字，并且就是被除数乘9的结果（不够两个数字的前面添一个0）。

根据商不变性质,1÷11＝9÷99。

这就引发一个猜想：

是不是用99去除任何一个小于99的整数，商一定是循环小数，并且循环节和被除数一模一样呢？

随便想几个两位数试试看：

12÷99＝0.1212……28÷99＝0.2828……

75÷99＝0.7575……90÷99＝0.9090……

　　22÷99＝0.2222……　　　　　　55÷99＝0.5555……

果然让我们猜对了!

不过，最后两个算式的情况有点例外，循环节变成了一个数字，这是很容易理解的，因为被除数的两个数字本来就相同嘛！

成功给了我们进一步试验的勇气，如果除数是999、9999、……呢?

123÷999＝0.123123……1234÷1234＝0.12341234……

　　　　12345÷12345＝0.1234512345……

果然，商也是循环小数,并且循环节和被除数一模一样,真是奇妙无比!

如果除数是9又会怎样呢?

相信同学们早就胸有成竹了。

那就试试吧!

练习四

　1.把下面这些小数中的循环小数，用简便方法表示出来。

（1）0.287287287

（2）0.243423432……（3）2.16216……

（4）0.1010010001……（5）7.548548……（6）9.06464……

2．

（1）把下面各数按照从大到小的顺序排列起来。

4.954.

4.9

4.964.

0

（2）给下面的四个小数添上循环点,使不等式成立。

0.1998<0.1998<0.1998<0.1998

3.在循环小数7.14161

的某一位上再添一个循环点,使新的循环小数尽可能大。

写出这个新的循环小数。

4.G÷E＝0.CDEFABCDEFAB……所表示的数字算式是什么？

5.直接写出下面各题的商。

4÷9＝7÷9＝8÷99＝523÷999＝

61÷999＝27÷33＝72÷111＝100÷99＝

*6.6÷7商的小数部分第100位上的数字是几?

第五讲小数的速算与巧算（三）

我们在学习整数四则混合运算时,已经体验到四则混合运算的许多性质,运用这些运算性质,有时可以使计算简便。

这些运算性质主要有：

1.加减混合运算,加数、减数可以带着运算符号交换位置。

2.乘除混合运算,乘数、除数可以带着运算符号交换位置。

3.连续减去两个数,可以减去这两个数的和。

4.连续除以两个数,可以除以这两个数的积。

5.加减混合运算,括号前边是加号,去掉括号时里边的运算符号不变；括号前边是减号,去掉括号时里边的加号要变减号,减号要变加号。

6.乘除混合运算,括号前边是乘号,去掉括号时里边的运算符号不变；括号前边是除号,去掉括号时里边的乘号要变除号,除号要变乘号。

7.两个数的和除以一个数,可以用这两个数先分别除以那个数,再相加；两个数的差除以一个数,可以用这两个数先分别除以那个数,再相减。

整数的这些四则混合运算性质,对于小数四则混合运算也同样适用。

　例1用简便方法计算12.5÷（2.5÷0.8）。

解：

1.25÷（2.5÷0.8）

＝1.25÷2.5×0.8

＝1.25×0.8÷2.5

＝1÷2.5

＝0.4

例2计算12.9÷1.3－3.8÷1.3。

解：

12.9÷1.3－3.8÷1.3

＝（12.9－3.8）÷1.3

＝9.1÷1.3

＝7

练习五

带“☆”的是往届小学数学奥林匹克竞赛题。

1.不必算出得数,直接在○里填上>、<或＝号。

（1）7.1－3.8＋2.9○7.1＋2.9－3.8

（2）6.4×8.9÷0.32○6.4÷0.32×8.9

（3）0.95－0.27－0.43○0.95－（0.27＋0.43）

（4）0.6÷0.5÷0.2○0.6÷（0.5×0.2）

（5）5.8＋（4.2－1.7）○5.8＋4.2－1.7

（6）1.56－（0.56＋0.39）○1.56－0.56＋0.39

（7）12.5×（0.8÷0.2）○12.5×0.8÷0.2

（8）4.5÷（0.3×0.5）○4.5÷0.3×0.5

（9）3.8÷（3.8÷1.2）○3.8÷3.8÷1.2

（10）（1.2＋3.6）÷0.6○1.2÷0.6＋3.6÷0.6

2.用简便方法计算。

（1）3.6×2.5÷0.9

（2）1.25÷1.6×8

（3）8.4÷0.4÷2.5（4）0.04×1.38×25÷0.46

　　3．用简便方法计算。

（1）12.5×0.8÷12.5×0.8

（2）1.74－（9.5－8.26）

（3）0.9＋0.1－0.9＋0.1（4）0.8÷（0.5÷1.25）

*4．计算　0.96－0.92＋0.88－0.84＋0.80－0.76＋0.72－0.68＋0.64－0.60。

（2004年浙江省小学数学竞赛试题）

*5．计算　155.29＋38.46－196.5＋114.71＋121.54－213.5。

（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）

☆6.计算（111×58－148×16）÷37。

第六讲解决问题

（一）

　例1一辆小汽车和一辆摩托车,同时从甲城开往相距425千米的乙城。

当摩托车到达乙城时,小汽车离乙城还有50千米。

已知小汽车每小时行60千米,摩托车每小时比汽车快多少千米?

解：

从小汽车行了425－50＝375（千米）,可以求出小汽车已经行了375÷60＝6.25（小时）。

摩托车行的时间与小汽车相同,因此摩托车每小时行425÷6.25＝68（千米）。

摩托车每小时比小汽车快68－60＝8（千米）。

综合算式：

425÷[（425-50）÷60]－60

＝425÷[375÷60]－60

＝425÷6.25－60

＝68－60

＝8（千米）

答：

摩托车比小汽车每小时快8千米。

实际上,解这道题并不需要四步,只要三步就够了。

算式是：

50÷[（425－50）÷60]，你能解释它的算理吗?

　例2一架飞机,原定以560千米／时的速度从甲地飞往乙地,如果把速度提高到600千米／时,就可以提前0.2小时到达,甲乙两地相距多少千米?

解：

速度提高后比原来早到0.2小时,也就是说,如果还按原定的时间飞行,就会多飞行600×0.2＝120（千米）。

因为每小时比原来多飞600－560＝40（千米）,所以,原定的飞行时间是120÷40＝3（小时）。

因此,甲乙两地相距560×3＝1680（千米）。

　　综合算式：

　560×[600×0.2÷（600－560）]

＝560×[120÷40]

＝560×3

＝1680（千米）

答：

甲乙两相距1680千米。

想想看,还能怎样解?

练习六

1.一辆汽车0.25小时行驶9千米。

这辆汽车上午7:

30从甲城出发,下午13:

30到达乙城,甲乙两城相距多少千米?

2.甲、乙两地相距180千米,张师傅从甲地到乙地共用了6小时,其中乘汽车3.5小时,每小时行40千米,其余的路程坐船,每小时行多少千米?

　3.甲、乙二人同时从A城到B城去办事。

甲每小时走5.2千米,乙每小时走3.9千米,结果甲比乙早到了2小时,甲、乙两城的距离是多少千米?

4.两辆汽车同时从某仓库出发,将一批物资运到离仓库96千米远的工地,甲车比乙车早到0.5小时,当甲车到达时,乙车离工地还有24千米,甲车行驶全程用了多少小时?

5.两辆汽车同时从A城出发到B城去送货。

甲车的速度是50千米／时,乙车的速度是40千米／时。

途中,甲车发生故障停车1小时,结果两车同时到达B城。

A、B两城相距多少千米?

*6.猎狗发现离它150米有一只兔子正在逃跑,于是拔腿就追。

在兔子前方500处有一片灌木丛,如果兔子每秒跑14米,猎狗每秒跑18米,猎狗能在兔子钻入灌木丛前抓住它吗?

第七讲解决问题

（二）

例1一辆快车和一辆慢车,同时从甲乙两地出发相向而行,5小时相遇。

相遇后,快车继续行驶3小时到达乙地。

已知慢车的速度是40.5千米／时,甲乙两地相距多少千米?

解：

在已知两车的相遇时间和慢车速度的条件下,解题的关键显然是要求出快车的速度。

已知快车在相遇后继续行驶到达乙地的时间,解题的关键就转化为必须先求出这一段路程。

细想一下,这段路程不就是两车相遇时慢车走过的路程吗?

于是,问题迎刃而解。

（1）相遇时慢车行了40.5×5＝202.5（千米）

（2）快车每小时行202.5÷3＝67.5（千米）

（3）甲乙两地相距（67.5＋40.5）×5＝540（千米）

综合算式：

（40.5×5÷3＋40.5）×5＝540（千米）

答：

甲乙两地相距540千米。

例2在一条笔直的公路上,小明和小刚同时骑车从相距500米的两地出发,小明每分钟行200米,小刚每分钟行300米,多少分钟后两人相距5000米?

解：

由于题中没有说明二人骑行的方向,所以可能出现下面四种情况：

（1）同向而行,小刚在小明后面,小刚先追上小明,再超过小明。

小刚要比小明多行500＋5000＝5500（米）,需要5500÷（300－200）＝55（分钟）；

（2）同向而行,小刚在小明前面,小刚只需再比小明多行5000－500＝4500（米）,需要4500÷（300－200）＝45（分钟）；

（3）相背而行,他们俩只需再行5000－500＝4500（米）,需要4500÷（300＋200）＝9（分钟）；

（4）相向而行,他们俩将会先相遇再离开,需行5000＋500＝5500（米）,需要5500÷（300＋200）＝11（分钟）。

练习七

1.解放军某部进行野营训练,排成一支1200米长的队伍,以80米／分的速度行进。

一名联络员从队首到队尾传达命令,用了6分钟。

求联络员的速度。

2.两只轮船,同时从相距654千米的两个码头相向出发,8小时后还相距390千米。

已知甲船的速度是15千米／时,乙船的速度是多少千米／时？

3.两列火车分别从两站相对开出,甲车每小时行48千米,乙车每小时行45千米,如果在相遇时,甲车比乙车多行了12千米,那么,两站相距多少千米?

4.慢车从甲地开往乙地,开出1小时后,离甲地40千米,这时,快车从乙地出发开往甲地,快车开出2.5小时后,两车相遇。

已知甲乙两地相距265千米,求快车的速度。

5.甲乙两队学生从相距17千米的两地同时出发相向而行。

同时,一个同学骑车以每小时14千米的速度在两队之间往返联络。

已知甲队每小时走4.5千米,乙队每小时走4千米,两队相遇时,骑车的同学行了多少千米?

6.甲乙在一条长400米的林荫道上散步。

同时从两端出发相向而行,每当到达另一端后便立即折返。

甲每分钟甲走80米,乙走70米，从出发到第二次相遇已经走了多少分钟?

第八讲解决问题（三）

例1上学期数学期末考试,五一班21名男同学的平均成绩是82分,19名女同学的平均成绩是87分,全班同学的平均成绩是多少分?

解法一：

先分别求出男女同学的总分,再求出全班同学的总分,除以男女同学的总人数,就得到全班同学的平均成绩。

（82×21＋87×19）÷（21＋19）＝（1722＋1653）÷40＝3375÷40

≈84.4（分）

解法二：

按照“移多补少”的思路，以男同学的平均成绩为基数,把女同学比男同学多的分数平均分摊给全班,这样一来，男同学的平均成绩加上分摊来的分数,就是全班的平均成绩。

82＋（87－82）×19÷（21＋19）＝82＋5×19÷40＝82＋2.375≈84.4（分）

例2有三个数,甲、乙的平均数是21.5,乙、丙的平均数是22.5,甲、丙的平均数是16,求这三个数的平均数。

解法一：

先分别求出三个数,再求它们的平均数。

因为甲、乙的和是21.5×2＝43,乙、丙的和是22.5×2＝45,甲、丙的和是16×2＝32,所以43＋45＋32＝120里就包含有两个甲、两个乙、两个丙,这样就能求出甲、乙、丙的和是120÷2＝60,再从三个数的和里面减去任意两个数的和,就可以得到另一个数。

所以，

三个数的和是（21.5×2＋22.5×2＋16×2）÷2＝60。

甲数是60－22.5×2＝15。

乙数是60－16×2＝28。

丙数是60－21.5×2＝17。

三个数的平均数是（15＋28＋17）÷3＝20。

解法二：

甲、乙的平均数,也可以理解为甲的一半与乙的一半的和；乙、丙的平均数,也可以理解为乙的一半与丙的一半的和；甲、丙的平均数,也可以理解为甲的一半与丙的一半的和。

所以,这三个平均数的和,就是这三个数的和。

因此,三个数的平均数是

（21.5＋22.5＋16）÷3＝20。

比较一下两种解题思路,各有什么优点和缺点。

练习八

1.兴华小学足球队有10名队员，其中3人平均身高是1.66m,其余7人平均身高是1.59m,全队的平均身高是多少米?

（用两种方法解）

2.五一班第一、二、三组分别有7人、8人、5人。

一次数学测验,第一组平均88分,第二组