北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理及其应用 专题培优练习.docx

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理及其应用专题培优练习

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理及其应用专题培优练习

勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：

“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．

勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．

例题1：

在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

练习1

1.如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900求这块草地的面积．

2．已知：

长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．

3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）

A．1：

2：

4B．1：

3：

5C．3：

4：

7D．5：

12：

13

例2如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

2-2

练习2

1．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

2-4

3．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）

A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77

例3试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？

分析先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．

练习3

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形

2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=

BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．

2-6

3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．

B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．

C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．

D．△ABC不是直角三角形．

例4已知：

如图所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．

求证：

△ABC是直角三角形．

分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有△BDE≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．

练习4

1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．

先阅读下列解题过程：

解：

∵a2c2-b2c2=a4-b4，①

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②

∴c2=a2+b2．③

∴△ABC为直角三角形．④

问：

（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；

（2）本题的正确结论是________．

2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．

例5如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt△ADC的直角边．

∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．

解：

作AE⊥BC于E．

2-10

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=

BC=

×32=16．

在Rt△AEC中，

AE2=AC2-CE2=202-162=144，

∴AE=12．

2-11

设DE=x，

则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，

在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．

∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．

∴BD=BE-DE=16-9=7．

例题6：

如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．

（1）求港口A到海岛B的距离；

（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？

练习5

1．如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．

求证：

AD2=AC2+BD2．

2．如图，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

参考答案:

练习1

1．24（提示：

利用勾股定理即可求出）

2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：

（1）以A、B为对称点（如图）

∵S=AB×BC，AB=2，

∴BC=AD=

．

根据对称性得DF=

AB=1．

由于∠D=90°，据勾股定理得：

AF=

=

（2）以A、D为对称点（如图）

∴BF=

BC=

．

由∠B=90°，据勾股定理得：

AF=

=

．

3．D

练习2

1．

（提示：

利用Rt△ABE的勾股定理即可求出）

2．0.8m3．B

练习3

1．B

2．AF⊥EF（提示：

连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=

，EC=

，在Rt△ADF中，由勾股定理得：

AF2=AD2+DF2=a2+（

）2=

a2．

同理：

在Rt△ECF中，EF2=（

）2+（

）2=

a2，

在Rt△ABE中，BE=

a，则AE2=a2+

a2=

a2．

∵

a2+

a2=

a2，

∴AF2+EF2=AE2．

∴∠AFE=90°．

∴AF⊥EF．

3．A（点拨：

利用勾股定理的逆定理来判定）

练习4

1．

（1）③、④

（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形．

2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，

∴∠C=90°．

将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）

∴CD=DE，AC=AE=5．

则△ACD≌△AED．

又BE=AB-AE=8．

设CD为x，则x2+82=（12-x）2．

解之得x=

．

∴AD2=52+（

）2．

∴AD=

．

3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图）

∵∠ACB=∠PCE=90°，

∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB．

即∠ACP=∠BCE．

∴△PCA≌△ECB（SAS）．

∴BE=AP=3．

在Rt△PCE中，

PE2=PC2+CE2=8．

又∵BP2=1，BE2=9，

∴BE2=BP2+PE2．

∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°

在Rt△PCE中，PC=CE，

∴∠CPE=∠CEP=45°．

∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．