第一章 11集合的概念与运算.docx

第一章 11集合的概念与运算.docx

《第一章 11集合的概念与运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 11集合的概念与运算.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第一章11集合的概念与运算

§1.1　集合的概念与运算

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

符号

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．

（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（2）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（3）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

（5）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.（　√　）

（6）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁UP＝{2}．（　√　）

1．（2014·课标全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于（　　）

A．[－2，－1]B．[－1,2）

C．[－1,1]D．[1,2）

答案　A

解析　∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，

∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.

2．（2014·四川）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1}D．{－1,0}

答案　A

解析　因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.

3．（2013·山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

答案　C

解析　x－y∈

.

4．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，

因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f（0）＝－1<0，

根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，

则这个整数为2，

所以有f

（2）≤0且f（3）>0，

即

所以

即

≤a<

.

题型一　集合的基本概念

例1　

（1）（2013·江西）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

思维点拨　不要忽视集合中元素的互异性．

答案　

（1）A　

（2）2

解析　

（1）当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.

（2）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，得

＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　

（1）B　

（2）－

解析　

（1）因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.

当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.

所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.

即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．

（2）因为3∈A，

所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，

解得m＝－

或m＝1（舍去），

此时当m＝－

时，m＋2＝

≠3符合题意，

所以m＝－

.

题型二　集合间的基本关系

例2　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　

（1）D　

（2）（－∞，4]

解析　

（1）由x2－3x＋2＝0得A＝{1,2}．

又B＝{1,2,3,4}．

∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

，解得2

综上，m的取值范围为m≤4.

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．

（1）设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（1，＋∞）

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8（个），集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6（个）．

（2）A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c），因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

题型三　集合的基本运算

例3　

（1）（2014·辽宁）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）等于（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

（2）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．

答案　

（1）D　

（2）1或2

解析　

（1）∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

在数轴上表示如图．

∴∁U（A∪B）＝{x|0

（2）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

（1）（2014·浙江）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}

（2）设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y

A．－1≤a<2B．a≤2

C．a≥－1D．a>－1

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

（2）∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可．

题型四　集合中的新定义问题

例4　若集合A具有以下性质：

（Ⅰ）0∈A,1∈A；

（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，

∈A.

则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（　　）

（1）集合B＝{－1,0,1}是“好集”；

（2）有理数集Q是“好集”；

（3）设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　

（1）集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为

－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．

（2）有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，

∈Q，所以有理数集Q是“好集”．（3）因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A.

思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

　设U为全集，对集合X，Y，定义运算“

”，满足X

Y＝（∁UX）∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X

（Y

Z）等于（　　）

A．（X∪Y）∪（∁UZ）

B．（X∩Y）∪（∁UZ）

C．[（∁UX）∪（∁UY）]∩Z

D．（∁UX）∪（∁UY）∪Z

答案　D

解析　因为X

Y＝（∁UX）∪Y，

所以Y

Z＝（∁UY）∪Z，

所以X

（Y

Z）＝（∁UX）∪（Y

Z）

＝（∁UX）∪（∁UY）∪Z，故选D.

遗忘空集致误

典例：

设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

易错分析　集合B为方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.

答案　（－∞，－1]∪{1}

温馨提醒　

（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．

（2）已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.

方法与技巧

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

失误与防范

1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1．下列集合中表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}

B．M＝{2,3}，N＝{3,2}

C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}

答案　B

解析　选项A中的集合M表示由点（3,2）所组成的单点集，集合N表示由点（2,3）所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．

2．（2014·课标全国Ⅱ）设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于（　　）

A．{1}B．{2}C．{0,1}D．{1,2}

答案　D

解析　由x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）≤0，

解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1,2}．

3．已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于（　　）

A．0或2B．0

C．1或2D．2

答案　D

解析　由题意，知

则a＝2.

4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个

C．6个D．8个

答案　B

解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，

∴M∩N＝{1,3}．

∴M∩N的子集共有22＝4个．

5．（2013·辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于（　　）

A．（0,1）B．（0,2]

C．（1,2）D．（1,2]

答案　D

解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，

∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．

6.

设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝

}，B＝{x∈Z|－1

A．3B．4C．7D．8

答案　C

解析　因为A＝{x∈N|y＝

}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，

由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有：

∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．

7．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B等于（　　）

A．{x|x>0}B．{x|x>1}

C．{x|1

答案　A

解析　由x2－2x<0，得00}．

8．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图）

由A⊆B得a≥0.

9．（2014·重庆）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则（∁UA）∩B＝________.

答案　{7,9}

解析　U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即（∁UA）∩B＝{7,9}．

10．已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|y＝

}，B＝{x|x>5}，则A∩（∁UB）＝________.

答案　{3,4,5}

解析　∵A＝{x∈Z|x≥3}，∁UB＝{x|x≤5}，

∴A∩（∁UB）＝{3,4,5}．

11．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1，2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝__________.

答案　{（0,1），（－1,2）}

解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

12．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

答案　（－∞，－1]

解析　因为C∩A＝C，所以C⊆A.

①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－

；

②当C≠∅时，要使C⊆A，则

解得－

综上，a的取值范围是（－∞，－1]．

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

13．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（　　）

A．57B．56C．49D．8

答案　B

解析　集合S的个数为26－23＝64－8＝56.

14．（2014·山东）设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于（　　）

A．[0,2]B．（1,3）

C．[1,3）D．（1,4）

答案　C

解析　由|x－1|<2，解得－1

15．若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝{y|

∈N*}，则A∩B中元素个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　D

解析　由A得x2－9x<0，x∈N*，所以0

∈N*，即y＝1、2、4，得B＝{1,2,4}，故A∩B＝{1,2,4}．

16．（2013·福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f（x）满足：

（1）T＝{f（x）|x∈S}；

（2）对任意x1，x2∈S，当x1

A．A＝N*，B＝N

B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0

C．A＝{x|0

D．A＝Z，B＝Q

答案　D

解析　对选项A，取f（x）＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”的，应排除A；对选项B，取f（x）＝

所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0

）（0

17．若x，y∈R，A＝{（x，y）|（x＋1）2＋y2＝2}，B＝{（x，y）|x＋y＋a＝0}，当A∩B≠∅时，则实数a的取值范围是________；当A∩B＝∅时，则实数a的取值范围是__________________．

答案　[－1,3]　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　观察得集合A表示的是以（－1,0）为圆心，

为半径的圆上的点，B表示的是直线x＋y＋a＝0上的点，若满足A∩B≠∅，只需直线与圆相切或相交，

即满足不等式

≤

，|a－1|≤2，－2≤a－1≤2，

即－1≤a≤3；

若满足A∩B＝∅时，只需直线与圆相离，

即满足不等式

>

，即a<－1或a>3.

18．已知集合A＝{（x，y）|y＝a}，B＝{（x，y）|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．

答案　（1，＋∞）

解析　由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1（b>0，b≠1）与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是（1，＋∞）．