高斯平面直角坐标系地建立.docx
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高斯平面直角坐标系地建立
空间数据的地理参照系和控制基础
4、高斯—克吕格投影
高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。
它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影（图3-2-5）。
将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。
高斯投影的条件为：
（1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；
（2）等角投影；
（3）中央经线上没有长度变形。
根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：
式中：
X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；
φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算；
S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长；
N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；
其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。
高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。
对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：
由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：
（1）中央经线上无变形；
（2）同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；
（3）同一条经线上，纬度越低，变形越大；
由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差（6°或3°）划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。
1：
2.5万至1：
50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。
我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带（13带～22带）。
1：
1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。
图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。
为了制作地图和使用地图的方便，通常在地图上都绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。
经纬线网——即指由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。
在1：
1万——1：
20万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。
为了在用图时加密成网，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线（图式中称“分度带”），必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。
1：
25万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。
我国的1：
50万——1：
100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。
方里网——是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。
因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。
直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。
这样，坐标系中就出现了四个象限。
纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。
我国位于北半球，全部X值都是正值。
在每个投影带中则有一半的Y坐标值为负。
为了避免Y坐标出现负值，规定纵坐标轴向西平移500km（半个投影带的最大宽度不超过500km）。
这样，全部坐标值都表现为正值了。
1绪论
坐标系统的选择对一项工程来说是一项首先必须进行的工作，同时坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题，因此对坐标系统的研究是一项非常重要和必须的工作。
我国《规范》规定：
所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在
带内的平面直角坐标……。
在1：
1万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在
带内的直角坐标系。
我们通常将这种控制点在
带或
带内的坐标系称为国家统一坐标系统。
在实际应用中，国家统一坐标系统往往不能满足工程建设的需要，所以必须针对不同的工程采用适合它的独立坐标系统。
线路独立坐标系的建立方法研究主要是研究线路工程中如何建立坐标系统而使其精度能满足工程需要。
由于线路测量的特点是跨度较长，当采用国家统一坐标系时往往会因为离开中央子午线较远而使变形量超限，因此必须采用独立坐标系统。
由于线路工程的不同，因此需采用的独立坐标系统也不尽相同。
所以针对不同的线路工程应采用不同的独立坐标系统。
当线路工程是南北走向时由于线路基本上位于中央子午线上,因此不必要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。
当线路工程是东西走向时由于线路跨度较长而往往需要建立多个独立坐标系统，因此需要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。
公路、铁路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。
一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。
为达此目的，必须进行反复地实践和比较。
线路在勘测设计阶段首先要进行控制测量工作，由于在线路控制测量过程中，每条线路所在测区的位置不同且距离不可能很短,有的可能跨越一个投影带,二个投影带甚至更多,所以,在线路控制测量中,投影长度变形很容易超限，这就需要我们采取一定的措施来使投影长度变形减弱，将投影长度变形控制在允许的范围之内。
最有效的方法就是建立与测区相适应的坐标系统。
坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其上的,因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题。
对于线路工程而言，使投影长度变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此，独立坐标系统的建立主要是根据线路的长度和所在测区的不同而建立与本测区和本线路相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。
本文以线路控制测量为例，详细论述了线路独立坐标系统的建立方法。
2高斯平面直角坐标系的建立
我们已经知道，大地坐标系是以椭球面为基准面的坐标系，它可以用来确定地面点在椭球面上的位置，但是如果用于大比例尺测图控制网以及工程控制网则不适应。
因此通常是将椭球面上的元素，如大地坐标、长度、方向等转化至平面上，采用平面直角坐标系进行计算，本章就高斯平面直角坐标系的建立及相关问题进行了讨论。
2.1.1地球椭球的基本几何参数
参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素如图1
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
a为长半轴；
b为短半轴；
子午圈（或径圈或子午椭圆）；
平行圈（或纬圈）；
赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）（图1：
椭球参数示意图）
来决定的，即：
椭圆的长半轴：
a
椭圆的短半轴：
b
椭圆的扁率：
（2-1）
椭圆的第一偏心率：
（2-2）
椭圆的第二偏心率：
（2-3）
其中：
a、b称为长度元素；
扁率
反映了椭球体的扁平程度，如
=0时，椭球变为球体；
=1时，则为平面。
e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于用
和
表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：
（2-4）
式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）。
两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。
（2-5）
传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
长半经变化于6378135m～6378145m之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精度已很高。
比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的如表1示：
（表1：
椭球参数表）
椭球参数
年代
长半径m
扁率分母
采用国家、地区
海福特
1906
6378283
297.8
美、阿根廷、比利时、大洋洲
克拉索夫斯基
1940
6378245
298.3
苏、东欧、中、朝鲜等
1975年大地坐标系
1975
6378140
298.257
1975年国际第三个推荐值
WGS-84
1984
6378137
298.25722
GPS定位系统
我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。
2.1.2地球椭球参数间的相互关系
由（2-2）和（2-3）式得：
并得：
（2-6）
推得：
同理可得：
（2-8）
。
2.2.1高斯投影与高斯平面直角坐标
地球投影所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。
（2-9）
式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而
是该点投影后的平面（投影面）直角坐标。
式（2-9）表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。
投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。
投影的方法很多，如高斯投影、兰勃脱投影等。
我国采用高斯投影。
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。
实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。
想象有一椭圆柱面横套
（图2：
横轴椭圆柱等角投影示意图）
在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
我国规定按经差
和
度进行投影分带，大比例尺测图和工程测量一般采用
带投影。
特殊情况下工程测量控制网也可用
带或任意带。
高斯投影
带自
子午线起每隔经差
自西向东分带，依次编号1,2,3,…。
我国
带中央子午线的经度，由
起每隔
而至
，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用
表示，则
与n的关系为
。
（图3：
高斯投影分带示意图）
高斯投影
带是自
子午线每隔经差
自西向东分带，它的中央子午线一部分同
带中央子午线重合，一部分同
带分界子午线重合，带号用n/表示，
带中央子午线用L表示，关系是：
。
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。
在我国
坐标均为正，
坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。
为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。
此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。
如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：
首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。
由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一
带向东加宽
，向西加宽
，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。
由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。
2.2.2高斯投影坐标正反算公式
2.2.2.1高斯投影坐标正算公式：
B,
x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即
式中，x为
的偶函数，y为
的奇函数；
，即
，如展开为
的级数，收敛。
（2-10）
式中
是待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：
分别对
和q求偏导数并代入上式
（2-11）
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂
前的系数应相等，即
（2-12）
（2-12）是一种递推公式，只要确定了
就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:
位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即（2-10）式第一式中，当
时有：
（2-13）
顾及（对于中央子午线）
得：
（2-14,15）
（2-16）
依次求得
并代入（2-10）式，得到高斯投影正算公式
（2-17）
2.2.2.2高斯投影坐标反算公式
x,y
B,
投影方程：
（2-18）
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
⑴由x求底点纬度（垂足纬度）
对应的有底点处的等量纬度
，求x,y与
的关系式，仿照
式有，
由于y和椭球半径相比较小（1/16.37），可将
展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，
必是y的奇函数。
（2-19）
是待定系数，它们都是x的函数.
由第三条件知：
，
，（2-20）
（2-19）式分别对x和y求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度
，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为
。
也就是在底点展开为y的幂级数。
由（2-19）1式
依次求得其它各系数
（2-21）
（2-21）1
…………
将
代入（2-19）1式得
（2-22）1
（2-22）
将
代入（2-19）2式得（2-23）2式。
（最后表达式）
⑵求
与
的关系。
由式
知：
（2-23）
（2-24）
按台劳级数在
展开
（2-25）
（2-25）
由
式可求出各阶导数：
（2-26）
（2-27）1
（2-27）2
…………………
将式（2-22）1（2-22）（2-26）（2-27）入（2-25）并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式（2-28）
（2-28）
归纳由
求
的基本思想：
由点
得到底点
，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求
关系式，再将
关系式代入
关系式得
关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得
点。
2.2.2.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释：
（图4：
高斯投影坐标正反算公式的几何解释示意图）
⑴当B=0时x=X=0，y则随
的变化而变化，这就是说，赤道投影
为一直线且为y轴。
当
=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。
两轴的交点为坐标原点。
⑵当
=常数时（经线）,随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。
又因
，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
⑶当B=常数时（纬线），随着的
增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。
又当用-
代替
时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。
由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。
⑷距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
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