切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理.docx
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切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确
（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；
（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）
4.弦切角定理：
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：
圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·PB＝PC·PD.
连结AC、BD，证：
△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB.
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，证：
△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦
P'C·P'D＝r2－OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：
过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|
|（R为圆半径），因为
叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：
AE的值。
图1
解：
由切线长定理知：
AF＝AB＝1，EF＝CE
设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
∴
，
，
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
解：
由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
，
∴
，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故应填3或4。
点拨：
相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则
________。
解：
∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴
，
∴
。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
∴
，
即
，
故应填PC。
点拨：
利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：
PB＝1：
4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
解：
∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：
PB＝1：
4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴
，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为dcm，
由勾股定理，得
故应填
。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，
（1）求证：
；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
点悟：
要证，即要证△CED∽△CBE。
证明：
（1）连结BE
（2）
。
又∵
，
∴
厘米。
点拨：
有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
图5
求证：
证明：
连结BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：
AD·BC＝CD·AB
图6
点悟：
由结论AD·BC＝CD·AB得
，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
证明：
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
∴
同理可证△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB
例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
图7
求证：
BC＝2OE。
点悟：
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA＝OB，只须证AE＝CE。
证明：
连结OD。
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°
∴
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE
例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，
是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作
所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
图8
解：
由∠DEF＝45°，得
，
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。
因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
一、选择题
1.已知：
PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）
A.
B.
C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知：
如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）
图1
A.50°B.40°C.60°D.55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：
4，则另一弦长为（）
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD
，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
A.
B.
C.
D.
6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：
⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，
，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则
_____________。
三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：
CB平分∠DCP。
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB
，求⊙O的半径。
图4
【试题答案】
一、选择题
1.A2.C3.A4.B5.B6.A
二、填空题
7.908.19.3010.
三、解答题：
11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12.证明：
连结AC，则AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13.设BM＝MN＝NC＝xcm
又∵
∴
又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
由割线定理：
，又∵
∴
∴半径为
。
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