切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理.docx
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切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确
（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；
（2）若已知两条切
线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得
到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切OO于P,PCPD为弦，图中几个弦切角呢？
（四个）
4.弦切角定理：
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：
圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
图形
定理
相交弦定理
已知结论
OO中，ABCD为弦，交PA-PB=PC-PD.于P.
证法
连结AC、BD,
△AP3ADPB.
相交弦定
C
理的推论
一
0
OO中，AB为直径，CDLABPC=PA-PB.于P.
（特殊情况）
用相交弦定理•
切割线定
理
OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A
PT2=PA-PB
连结TA、TB,证：
△PTB^APAT
切割线定
理推论
PBPD为OO的两条割线,
交OO于AC
PA-PB=PC-PD
过P作PTBOO于T,用
两次切割线定理
（记忆的方法方法）
圆幕定理
2
P'C-P'D=r
OP'2
PA-PB=OP—r2
r为OO的半径
延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证
【典型例题】
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于E,求DEAE的值。
图1
8.圆幕定理：
过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|「匸（R为圆半径），因为_'5二叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：
由切线长定理知：
AF=AB=1,EF=CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
（l+x『二+X=1
4
13
D£=l--=-
44
AE-
1_
4_
_5
=4
-=3
；：
5
4
4
例2.OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm那么CE=
cm。
DE=CD-CE^J-CE,
6X2二CE（7-⑵
即
C52-7Cff+12=0
解：
由相交弦定理，得
AE-BE=CE-DE
■/AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,
/•CE=3cm或CE=4cm。
故应填3或4。
点拨：
相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则二一:
丄「一;
解：
I/P=/P
/PAC=/B,
•••△PAC^APBA
又•••PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
PH二PMP,
AB2_PB2_PB
.•.的_PC一~PC,
即」
故应填PG
点拨：
利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3,P是OO外一点，PC切OO于点C,PAB是OO的割线，交OO于AB两点，如果PA:
PB=1:
4,PC=12cmOO的半径为10cm则圆心o到AB的距离是cm。
解：
•/PC是OO的切线，PAB是OO的割线，且PA:
PB=1:
4
•••PB=4PA
又•••PC=12cm
由切割线定理，得…*丄I'
•1?
-
•一』一…
.•.".-I
•PB=4X6=24（cm）
•AB=24—6=18（cm）
设圆心O到AB距离为dcm,
由勾股定理，得
d二J13—9?
二你伽）
故应填。
例5.如图4,AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC,OC交OO于点E,AE的延长线交BC于点
D,
（1）求证:
ce2=cd^cb
;
（2）若AB=BC=2厘米，求CECD的长。
点悟：
要证，即要证厶CESACBE证明：
（1）连结BE
是00的切线=>Z乂二ZCBE'
>^>ACED=£CBE
ZC公用角
OA=OE^^A=^OEA
Zoea=^dec
（2）
EC是0旳］绣肋为直径
=3。
二'
肋=2=>0—1
BC=2
卜=*0C-丿4+1二V5
（?
£=1/
=V-<-lo
又「mi,
厲可=2CDnc5=济询厘米。
点拨：
有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB为OO的直径，弦
B
CD//ABAE切OO于A,交CD的延长线于E。
求证：
―'
证明：
连结BD,
•/AE切OO于A
•••/EAD=ZABD
•/AE!
AB又AB//CD
•AE!
CD
•/AB为OO的直径
•••/ADB=90°
•••/E=ZADB=90°
•△AD0ABAD
AD_DE
■ABAD
AD^AB^DE
CD//ABnn:
AD=BC
-AD=BC,•--
证明：
•/PA切OO于A,
•••/PAD=ZPBA
又/APD=ZBPA
•△PABAPBA
AD.FDAB=AP
同理可证厶PCSAPBC
CD_
_PD
BC~
•/PAPC分别切OO于A、C
•PA=PC
\AD_CD\
•AD-BC=DC-AB
例8.如图7,在直角三角形作OO的切线交AC于E。
ABC中，/A=90°,以AB边为直径作OO,交斜边
BC于点D,过D点
图7
求证：
BC=2OE
。
丘是厶ABC的中位线。
而OA=OB只须证AE=CE,
点悟：
由要证结论易想到应证
证明：
连结OD
•/ACLABAB为直径
•AC为OO的切线，又DE切OO于D
•EA=ED,ODLDE
•/OB=OD•/B=ZODB
在Rt△ABC中，/C=90°—/B
•••/ODE=90°
•/C=ZEDC
•ED=EC
•AE=EC
•OE是厶ABC的中位线
•BC=2OE
例9.如图8,在正方形ABCD中，AB=1,AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E
In
是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当/DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；
图8
解：
由/DEF=45°,得
•••/DFE=ZDEF
•••DE=DF
又•••AD=DC
•AE=FC
因为AB是圆B的半径，ADLAB所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点G又因为EF切圆B于点G所以AE=EGFC=FG
因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
-、选择题
若AB=8，弦AB的弦心距3,贝UPA=（
1.已知：
PAPB切OO于点A、B,连结AB,
20
B.
A.
2.下列图形一定有内切圆的是（
A.平行四边形
C.
3.
）
B.
C.5
D.8
矩形
则/MCA的度数（
D.55
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为（）
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在厶ABC中，D是BC边上的点，AA二，BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与
△ABC的外接圆的交点，那么
2^3c?
n
2边CW3
DE长等
A.
B.
C.
6.
=2,
D.JyfJCfn
PT切OO于T,CT为直径，D为0C上一点，直线PD交OO于B和AB在线段PD上，若CDAD=3,BD=4,贝UPB等于（）
A.20
B.10
C.5
D.
二、填空题
7.AB、CD是OO切线，AB//CDEF是OO的切线，它和ABCD分别交于E、F,则/EOF=度。
8.已知：
OO和不在OO上的一点P,过P的直线交OO于A、B两点，若PA-PB=24,OP=5,
贝UOO的半径长为。
9.若PA为OO的切线，A为切点，PBC割线交OO于B、C,若BC=20,二二-：
丄；，贝UPC的
长为。
10.正厶ABC内接于OO,MN分别为ABAC中点，延长MN交OO于点D,连结BD交AC于P,
则刊-。
三、解答题
11.
DEBOO于点
如图2,△ABC中，AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆的切点,M且DE//AC求DE的长。
12.如图3,
/DCP
已知P为OO的直径AB延长线上一点，PC切OO于C,CDLAB于D,求证：
CB平分
13.如图4,
BgMNkNC
已知AD为OO的直径，AB是OO的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且若AB—1—「二，求OO的半径。
厂1
A
1*4'
C
图4
【试题答案】
-、选择题
1.A2.C3.A4.B5.B6.A
:
■、填空题
7.90
8.1
9.30
10.
三、解答题：
11.由切线长定理得厶BDE周长为4,由厶BD0ABAC得DE=1cm
•/PC为OO的切线，•••/A=Z2,又/1=Z2,
•••BC平分/DCP
13.设BMkMN^NC=xcm
又
BA1=
BA=2屜幣
1
：
（2血）—厂2心
*'.x=2（沏）
胆二2X3=6伽）
又•/OA是过切点A的半径，•OALAB即ACLAB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得,
AC=^BC2-AB2=73^8=2打伽）
由割线定理:
―上「二，又•••二…—
...（CA-AD）^CA^CN*CM
（2祈-曲广2祈=2X4
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