含参数一元二次不等式练习题st.docx

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含参数一元二次不等式练习题

一、选择题：

1．（2011·福建高考）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

2．关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（　　）

A．（4,5）B．（－3，－2）∪（4,5）

C．（4,5]D．[－3，－2）∪（4,5]

3．若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．

　　　　　B．（－∞，－1）

C.（1，＋∞）D.

∪（1，＋∞）

4．（2012·长沙模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1（a∈Z），且函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）

A．（－∞，－1）∪（0，＋∞）　B．（－∞，0）∪（1，

实数a的取值范围是________．

10．（2012·九江模拟）若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为（－∞，＋∞），则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

11．（2012·陕西师大附中模拟）若函数f（x）＝

且f（f（3））＞6，则m的取值范围为________．

12．若关于x的不等式x2＋

x－

n≥0对任意n∈N*在x∈（－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．

13．（2012·江苏高考）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．

三，解答题

14.解下列不等式：

（1）x2－2ax－3a2＜0（a＜0）．

（2）x2－4ax－5a2＞0（a≠0）．（3）ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）．

15.已知f（x）＝x2－2ax＋2（a∈R），当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

（本题中的“x∈[－1，＋∞）改为“x∈[－1,1）”，求a的取值范围）

16．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m＜n）．

（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）＞0的解集；

（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜

，比较f（x）与m的大小．

含参数一元二次不等式练习题

一、选择题：

1．（2011·福建高考）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：

选C　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：

判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.

2．关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（　　）

A．（4,5）B．（－3，－2）∪（4,5）

C．（4,5]D．[－3，－2）∪（4,5]

解析：

选D　原不等式可能为（x－1）（x－a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2）∪（4,5]

3．若（m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．

　　　　　B．（－∞，－1）

C.（1，＋∞）D.

∪（1，＋∞）

解析：

选A　①m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．

②m≠－1时，

解得m<－

.

4．（2012·长沙模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1（a∈Z），且函数f（x）在（－2，－1）上恰有一个零点，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）

A．（－∞，－1）∪（0，＋∞）　B．（－∞，0）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）D．（0,1）

解析：

选C　∵f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1，

Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4＞0，

∴函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋1必有两个不同的零点，

又f（x）在（－2，－1）上有一个零点，则f（－2）f（－1）＜0，

∴（6a＋5）（2a＋3）＜0，解得－

＜a＜－

.

又a∈Z，∴a＝－1.

不等式f（x）＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.

5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是（　　）

A.

B．[2,8]

C．[2,8）D．[2,7]

解析：

选C　由4[x]2－36[x]＋45＜0，得

＜[x]＜

，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.

6．（2012·温州高三适应性测试）若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞－6B．m＞3或－6＜m＜－2

C．m＞2或－6＜m＜－1D．m＞3或m＜－1

解析：

选B　依题意，令x＝0得关于y的方程y2＋2my＋m＋6＝0有两个不相等且同号（均不等于零）的实根，于是有

由此解得m＞3或－6＜m＜－2.

二、填空题

7．若不等式

＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________.

解析：

＞1，得1－

＜0，即

＜0，（x－k）（x－3）＜0，由题意得k＝1.

答案：

1

8．（2012·天津高考）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝__________，n＝________.

解析：

因为|x＋2|<3，即－5

答案：

－1　1

9．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．

解析：

原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为∅，

∴Δ＝4－4（－a2＋2a＋4）＜0，

即a2－2a－3＜0，

解得－1＜a＜3.

答案：

（－1,3）

10．（2012·九江模拟）若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为（－∞，＋∞），则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

解析：

由Δ1<0，即a2－4（－a）<0，得－4

由Δ2≥0，即a2－4（3－a）≥0，得a≤－6或a≥2.

答案：

（－4,0）　（－∞，－6]∪[2，＋∞）

11．（2012·陕西师大附中模拟）若函数f（x）＝

且f（f（3））＞6，则m的取值范围为________．

解析：

由已知得f（3）＝6－m，①当m≤3时，6－m≥3，则f（f（3））＝2（6－m）－m＝12－3m＞6，解得m＜2；②当m＞3时，6－m＜3，则f（f（3））＝6－m＋5＞6，解得3＜m＜5.综上知，m＜2或3＜m＜5.

答案：

（－∞，2）∪（3,5）

12．若关于x的不等式x2＋

x－

n≥0对任意n∈N*在x∈（－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．

解析：

由题意得x2＋

x≥

＝

，

解得x≥

或x≤－1.

又x∈（－∞，λ]，所以λ的取值范围是（－∞，－1]．

答案：

（－∞，－1]

13．（2012·江苏高考）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．

解析：

因为f（x）的值域为[0，＋∞），所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋

－c＜0的解集为（m，m＋6），易得m，m＋6是方程x2＋ax＋

－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得

解得c＝9.

答案：

9

三，解答题

14.解下列不等式：

（1）x2－2ax－3a2＜0（a＜0）．

（2）x2－4ax－5a2＞0（a≠0）．（3）ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）．

（1）原不等式转化为（x＋a）（x－3a）＜0，

∵a＜0，

∴3a＜－a，得3a＜x＜－a.

故原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．

（2）由x2－4ax－5a2＞0知（x－5a）（x＋a）＞0.

由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．

当a＜0时，x＜5a或x＞－a；

当a＞0时，x＜－a或x＞5a.

综上，a＜0时，解集为

；a＞0时，解集为

.

（3）原不等式变为（ax－1）（x－1）＜0，

因为a＞0，所以

（x－1）＜0.

所以当a＞1时，解为

＜x＜1；

当a＝1时，解集为∅；

当0＜a＜1时，解为1＜x＜

.

综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为

；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

15.已知f（x）＝x2－2ax＋2（a∈R），当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

（本题中的“x∈[－1，＋∞）改为“x∈[－1,1）”，求a的取值范围）

[自主解答]　法一：

f（x）＝（x－a）2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.

①当a∈（－∞，－1）时，f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f（－1）＝2a＋3.

要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；

②当a∈[－1，＋∞）时，f（x）min＝f（a）＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.

综上所述，a的取值范围为[－3,1]．

法二：

令g（x）＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞）上恒成立，即Δ＝4a2－4（2－a）≤0或

解得－3≤a≤1.

所求a的取值范围是[－3,1]．

本题中的“x∈[－1，＋∞）改为“x∈[－1,1）”，求a的取值范围．

解：

令g（x）＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1,1）上恒成立，即Δ＝4a2－4（2－a）≤0或

或

解得－3≤a≤1，

所求a的取值范围是[－3,1].

16．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m＜n）．

（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）＞0的解集；

（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜

，比较f（x）与m的大小．

解：

由题意知，F（x）＝f（x）－x＝a（x－m）·（x－n），

当m＝－1，n＝2时，不等式F（x）＞0，

即a（x＋1）（x－2）＞0.

当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}；

当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．

（2）f（x）－m＝a（x－m）（x－n）＋x－m

＝（x－m）（ax－an＋1），

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜

，

∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.

∴f（x）－m＜0，即f（x）＜m.