教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》.docx
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教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》
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教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：
集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修2：
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：
算法初步、统计、概率。
必修4：
基本初等函数（三角函数）、平面向量、
三角恒等变换。
必修5：
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列：
系列1：
由2个模块组成。
选修1—1：
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2：
统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2：
由3个模块组成。
选修2—1：
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：
导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数
选修2—3：
计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。
系列3：
由6个专题组成。
选修3—1：
数学史选讲。
选修3—2：
信息安全与密码。
选修3—3：
球面上的几何。
选修3—4：
对称与群。
选修3—5：
欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：
三等分角与数域扩充。
-1-
系列4：
由10个专题组成。
选修4—1：
几何证明选讲。
选修4—2：
矩阵与变换。
选修4—3：
数列与差分。
选修4—4：
坐标系与参数方程。
选修4—5：
不等式选讲。
选修4—6：
初等数论初步。
选修4—7：
优选法与试验设计初步。
选修4—8：
统筹法与图论初步。
选修4—9：
风险与决策。
选修4—10：
开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：
函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数难点：
函数、圆锥曲线高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:
集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数：
映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：
数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：
有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量：
有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：
概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：
直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：
椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：
空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：
排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：
概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：
导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：
复数的概念与运算
全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：
（1）定义法：
设x1、x2[a,b],x1x2那么
第一章：
集合与函数概念§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。
集合三要素：
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、常见集合：
正整数集合：
N*或N，：
f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是增函数；f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是减函数.
步骤：
取值—作差—变形—定号—判断格式：
解：
设x1,x2a,b且x1x2，则：
fx1fx2=„
（2）导数法：
设函数yf（x）在某个区间内可导，若f（x）0，则f（x）为增函数；若f（x）0，则f（x）为减函数.§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
Z，：
Q，：
R.
4、集合的表示方法：
列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
记作AB.
2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集.记作：
AB.3、把不含任何元素的集合叫做记作：
.并规定：
空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子
集，21个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
AB.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
AB.3、全集、补集？
CUA{x|xU,且xU}§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:
AB为集合A到集合B的一个函数，记作：
yfx,xA.
2、一个函数的构成要素为：
定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
-2-
n
x，都有fxfx，那么就称函数fx为
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
x，都有fxfx，那么就称函数fx为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：
函数与导数
1、函数yf（x）在点x0函数yf（x）在点x0处的导数是曲线yf（x）在
n
P（x0,f（x0））处的切线的斜率f（x0），相应的切线方
程是yy0f（x0）（xx0）.①C0；②（x）nx
'
'n'n1
；
'
③（sinx）cosx；④（cosx）sinx；⑤（a）alna；⑥（e）e；⑦（logax）
x'xx'x
'
11'
；⑧（lnx）xlnax
'
（1）v.
（2）（uv）uvuv.
'
'
'
（3）（）
uv
'
uvuv
（v0）.2
v
''
⑴aaa
⑵a
r
s
rs
复合函数yf（g（x））的导数和函数
yf（u）,ug（x）的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
解题步骤:
分层—层层求导—作积还原.
极值是在x0附近所有的点，都有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的极大值；
极值是在x0附近所有的点，都有f（x）＞f（x0），则f（x0）是函数f（x）的极小值.
（2）判别方法：
①如果在x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，那么f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，那么f（x0）是极小值.
（1）求yf（x）在（a,b）内的极值（极大或者极小值）
a0,r,sQ；
rs
arsa0,r,sQ；
r
r
⑶ababa0,b0,rQ.
r
§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：
yaa0,a1
x
2、性质：
（2）将yf（x）的各极值点与f（a）,f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：
极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较（整体性质）。
第二章：
基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根。
其中n1,nN.2、当n为奇数时，aa；
当n为偶数时，a
n
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式：
aNxlogaN；2、对数恒等式：
a
logaN
x
n
N.
3、基本性质：
loga10，logaa1.
n
n
a0,a1,M0,N0时：
⑴logaMNlogaMlogaN；⑵loga
a.
3、我们规定：
⑴a
n
m
a
*
n
M
logaMlogaN；N
n
a0,m,nN
⑵a
n
,m1；
⑶logaMnlogaM.
1
n0；na
-3-
5、换底公式：
logab
logcb
logca
函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数
a0,a1,c0,c1,b0.
6、重要公式：
loganbm7、倒数关系：
logab
m
logabn
1
a0,a1,b0,b1.
logba
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：
ylogaxa0,a1
2、性质：
yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，
使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.§3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：
先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
第一章：
空间几何体
圆柱、圆锥、圆台、球。
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
1、几种幂函数的图象：
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
⑴圆柱侧面积；S侧面2rl
第三章：
函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根
-4-
⑵圆锥侧面积：
S侧面rl
⑶圆台侧面积：
S侧面rlRl⑷体积公式：
12
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。
（简称面面垂直，则线面垂直）。
第三章：
直线与方程
tan⑴点斜式：
yy0kxx0⑵斜截式：
ykxb
V柱体Sh；V锥体
1
Sh；3
V台体
1
S上S上S下S下h3
y2y1
x2x1
⑸球的表面积和体积：
4
S球4R2，V球R3.
3
第二章：
点、直线、平面之间的位置关系
1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
⑶两点式：
2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
yy1y2y1
xx1x2x1
⑷截距式：
xy1ab
4平行于同一条直线的两条直线平行.
5空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
⑸一般式：
AxByC0
6平行、相交、异面。
7直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2有：
⑴l1//l2
8平行、相交。
9
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
k1k2
；
bb21
⑵l1和l2相交k1k2；⑶l1和l2重合
10、
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
k1k2
；
b1b2
⑷l1l2k1k21.
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
l1:
A0,l2:
0
有：
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
-5-
A2B1
⑴l1；
BC2112
⑵l1和l2相交A1B2A2B1；⑶l1和l2重合
A1B2A2B1
；
BCBC2112
⑵外切：
dRr；
⑶相交：
RrdRr；⑷内切：
dRr；⑸内含：
dRr.
⑷l1l2A1A2B1B20.
P1P2
x2x12y2y12z2z12
P1P2
x2x12y2y12
d
Ax0By0C
AB
2
2
l1：
AxByC10与l2：
AxByC20平行，
则d
第一章：
算法
自然语言、流程图、程序语言；起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
C1C2AB
2
2
当型循环结构
顺序结构、条件结构、循环结构
直到型循环结构
⑴顺序结构示意图：
第四章：
圆与方程⑴标准方程：
xaybr
2
2
2
其中圆心为（a,b），半径为r.
⑵一般方程：
xyDxEyF0.其中圆心为（
2
2
D
22
,
E
半径为r），
（图1）
⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
直线AxByC0与圆（xa）（yb）r的位置关系有三种:
222
dr相离0;dr相切0;
dr相交0.
弦长公式：
l
2rd
2
2
（图2）
②
-6-
O1O2⑴外离：
dRr；
（图3）
⑶循环结构示意图：
①
（图4）
②
直到型（UNTIL型）循环结构示意图：
（图5）
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：
-7-
IF—THEN语句的一般格式为：
⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：
直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：
用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；ⅱ）：
若R0＝0，则n为m，n的最大公约数；若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；ⅲ）：
若R1＝0，则R1为m，n的最大公约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；„„
依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数。
结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：
任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数第二章：
统计①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：
在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，
n
每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：
总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
⑴平均数：
x
x1x2x3xn
；
n
n
xiyinxy
i1
bn
22xnxi
i1aybx
注意：
线性回归直线经过定点（x,y）。
第三章：
概率
⑴事件：
试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A的概率：
P（A）
m
,0P（A）1.n
⑴基本事件：
一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：
一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P（A）
m.n
取值为x1,x2,,xn的频率分别为p1,p2,,pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn；
注意：
频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：
一组样本数据x1,x2,,xn
1
方差：
s
n
2
（x
i1
n
2
i
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P（A）
d的测度
；
D的测度
x）；
标准差：
s
1n
（x
i1
n
2
i
x）
注：
方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：
函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
ybxa（最小二乘法）
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,,An彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P（AB）P（A）P（B）
⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，则有：
P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An）⑸对立事件：
两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件A的对立事件记作A
P（A）P（A）1,P（A）1P（A）
-8-
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、：
sin2cos21.
第一章：
三角函数§1.1.1、任意角
1、.2、与角终边相同的角的集合：
2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做的角.2、
sin
.cos
3、倒数关系：
tancot1
2、：
tan
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为kZ）1、诱导公式一：
sin2ksin,
cos2kcos,（其中：
kZ）tan2ktan.
2、诱导公式二：
l.r
nR
3、弧长公式：
lR.
180
4、扇形面积公式：
S
sinsin,
coscos,
nR1
lR.3602
2
tantan.
3、诱导公式三：
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设sinsin,
coscos,
y
Px,y，那么：
siny,cosx,tan
x
2、设点Ax,y
那么：
（设为角终边上任意一点，
tantan.
4、诱导公式四：
sin
sin,
coscos,
r
tantan.
5、诱导公式五：
xyxy
sin
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