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①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥;
⑦;
⑧
3、导数的运算法则
（1）
（2）
（3）.
4、复合函数求导法则
复合函数的导数和函数的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
解题步骤:
分层?
层层求导?
作积还原.
5、函数的极值1极值定义:
极值是在附近所有的点,都有<
则是函数的极大值;
极值是在附近所有的点,都有>
则是函数的极小值.
2判别方法:
图
象
性
质1定义域:
R
（2）值域:
（0,+∞）
（3）过定点（0,1）,即x0时,y1
（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数
5;
①如果在附近的左侧>
0,右侧<
0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<
0,右侧>
0,那么是极小值.
6、求函数的最值
1求在内的极值（极大或者极小值）
2将的各极值点与比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:
极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）;
最值是在整体区间上对函数值进行比较整体性质。
第二章:
基本初等函数（Ⅰ）
2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地,如果,那么叫做的次方根。
其中.
2、当为奇数时,;
当为偶数时,.
3、我们规定:
⑴
;
⑵;
4、运算性质:
⑴;
⑶.
2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象:
2、性质:
2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式:
;
2、对数恒等式:
3、基本性质:
.
4、运算性质:
当时:
⑴;
5、换底公式:
.
6、重要公式:
7、倒数关系:
2..2.2、对数函数及其性质
第三章:
函数的应用
3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点.
2、零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
3.2.1、几类不同增长的函数模型
3.2.2、函数模型的应用举例
数拟合,最后检验.
必修2数学知识点
空间几何体
⑴圆柱侧面积;
⑵圆锥侧面积:
⑶圆台侧面积:
⑷体积公式:
⑸球的表面积和体积:
点、直线、平面之间的位置关系
1、公
直线与方程
1、倾斜角与斜率:
2、直线方程:
⑴点斜式:
⑵斜截式:
⑶两点式:
⑷截距式:
⑸一般式:
3、对于直线:
有:
⑵和相交;
⑶和重合;
⑷.
4、对于直线:
5、两点间距离公式:
6、点到直线距离公式:
7、两平行线间的距离公式:
:
与:
平行,则
第四章:
圆与方程
1、圆的方程:
⑴标准方程:
其中圆心为,半径为.
⑵一般方程:
2、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
弦长公式:
3、两圆位置关系:
⑴外离:
⑵外切:
⑶相交:
⑷内切:
⑸内含:
3、空间中两点间距离公式:
必修3数学知识点
算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言;
2、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法;
3、算法的三种基本结构:
顺序结构、条件结构、循环结构
⑴顺序结构示意图:
（图1）
⑵条件结构示意图:
①IF-THEN-ELSE格式:
（图2）
②IF-THEN格式:
（图3）
⑶循环结构示意图:
①当型（WHILE型）循环结构示意图:
（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图:
（图5）
4、基本算法语句:
①输入语句的一般格式:
INPUT“提示内容”;
变量
②输出语句的一般格式:
PRINT“提示内容”;
表达式
③赋值语句的一般格式:
变量=表达式
（“”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种:
IF?
THEN?
ELSE语句的一般格式为:
THEN语句的一般格式为:
⑤循环语句的一般格式是两种:
当型循环（WHILE）语句的一般格式:
直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:
⑹算法案例:
①辗转相除法?
结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
?
）:
用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数;
若=0,则n为m,n的最大公约数;
若≠0,则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;
若=0,则为m,n的最大公约数;
若≠0,则用除数除以余数得到一个商和一个余数;
……
依次计算直至=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。
②更相减损术?
结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
任意给出两个正数;
判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;
若不是,执行第二步。
以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数?
除k取余法
k进制数化为十进制数
统计
1、抽样方法:
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意:
在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本,每个个体被抽到的机会（概率）均为。
2、总体分布的估计:
⑴一表二图:
①频率分布表?
?
数据详实
②频率分布直方图?
分布直观
③频率分布折线图?
便于观察总体分布趋势
注:
总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计:
⑴平均数:
取值为的频率分别为,则其平均数为;
频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差:
一组样本数据
方差:
标准差:
方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;
方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系:
函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
（最小二乘法）
线性回归直线经过定点。
概率
1、随机事件及其概率:
⑴事件:
试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
⑶随机事件A的概率:
2、古典概型:
⑴基本事件:
一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:
①所有的基本事件只有有限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式:
一次试验的等可能基本事件共有n个,事件A包含了其中的m个基本事件,则事件A发生的概率.
3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个;
⑵几何概型概率计算公式:
其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件:
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件任意两个都是互斥事件,则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B发生的概率的和,
即:
⑷如果事件彼此互斥,则有:
⑸对立事件:
两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件。
①事件的对立事件记作
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
三角函数
1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合:
1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、3、弧长公式:
4、扇形面积公式:
1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
2、设点为角终边上任意一点,那么:
（设）,,,
3、,,在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:
MP;
余弦线:
OM;
正切线:
AT
5、特殊角0°
30°
45°
60°
90°
180°
270等的三角函数值0
1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系:
2、商数关系:
3、倒数关系:
1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变,符号看象限”）
1、诱导公式一:
（其中:
）
2、诱导公式二:
3、诱导公式三:
4、诱导公式四:
5、诱导公式五:
6、诱导公式六:
1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
在上的五个关键点为:
1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
2、记住余切函数的图象:
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:
定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:
对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳:
正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定义域
值域[-1,1][-1,1]
最值无
周期性
奇偶性奇偶奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减在上单调递增
对称性
对称轴方程:
对称中心对称轴方程:
对称中心无对称轴
对称中心
1.5、函数的图象
1、对于函数:
振幅A,周期,初相,相位,频率.
2、能够讲出函数的图象与
的图象之间的平移伸缩变换关系.
先平移后伸缩:
平移个单位
（左加右减）
横坐标不变纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变横坐标变为原来的倍
平移个单位
（上加下减）
先伸缩后平移:
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
平移个单位
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数,x∈R及函数,x∈RA,,为常数,且A≠0的周期;
函数,A,ω,为常数,且A≠0的周期.
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数图像的对称轴与对称中心,只需令与
解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征:
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°
的三角函数值:
3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、,变形:
变形如下:
升幂公式:
降幂公式:
3、.
4、
3.2、简单的三角恒等变换
注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
（其中辅助角所在象限由点的象限决定,.
平面向量
2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量:
力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:
起点、方向、长度.
2、向量的大小,也就是向量的长度（或称模）,记作;
长度为零的向量叫做零向量;
长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定:
零向量与任意向量平行.
2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、≤.
2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定:
实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:
它的长度和方向规定如下:
⑴,
⑵当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反.
2、平面向量共线定理:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理:
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量,有且只有一对实数,使.
2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、§
2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设,则:
⑵,
⑶,
2、设,则:
2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设,则
⑴线段AB中点坐标为,
⑵△ABC的重心坐标为.
2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、2、在方向上的投影为:
3、4、5、§
2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
⑴
⑵
⑶
⑷
两向量的夹角公式
4、点的平移公式平移前的点为（原坐标）,平移后的对应点为（新坐标）,平移向量为,则函数的图像按向量平移后的图像的解析式为
2.5.1、平面几何中的向量方法
2.5.2、向量在物理中的应用举例
空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线上的任意两点,则为直线的一个方向向量;
与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵.平面的法向量:
若向量所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作,如果,那么向量叫做平面的法向量⑶.平面的法向量的求法（待定系数法）:
①建立适当的坐标系.
②设平面的法向量为.
③求出平面内两个不共线向量的坐标.
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量
（如图）
用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行设直线的方向向量分别是,则要证明‖,只需证明‖,即.
两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明‖,只需证明,即.
直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量为,平面的法向量为,要证‖,只需证‖,即证.
两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线的方向向量分别是,则要证明,只需证明,即.
两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明‖,即.
②（法二）设直线的方向向量是,平面内的两个相交向量分别为,若
直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直若平面的法向量为,平面的法向量为,要证,只需证,即证即:
两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,
则
⑵求直线和平面所成的角①定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法:
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的夹角为,则为的余角或的补角
的余角.即有:
⑶求二面角
①定义:
平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线,则为二面角的平面角.
如图:
设二面角的两个半平面的法向量分别为,再设的夹角为,二面角的平面角为,则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角:
◆如果是锐角,则,
即;
如果是钝角,则,即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离若Q为直线外的一点,在直线上,为直线的方向向量,,则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,
平面的法向量为,则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值即
8、面积射影定理
已知平面内一个多边形的面积为,它在平面内的射影图形的面积为,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角,则
9、一个结论
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则有.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
必修5数学知识点
解三角形
1、正弦定理:
（其中为外接圆的半径）
用途:
⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素;
⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它元素。
2、余弦定理:
⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;
⑵已知三角形三边,求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式:
4、三角形内角和定理:
在△ABC中,有
5、一个常用结论:
在中,
若特别注意,在三角函数中,不成立。
数列
1、数列中与之间的关系:
注意通项能否合并。
2、等差数列:
⑴定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-d,（n≥2,n∈N）,
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:
若三数成等差数列
⑶通项公式:
或
⑷前项和公式:
⑸常用性质:
①若,则;
②下标为等差数列的项,仍组成等差数列;
③数列（为常数）仍为等差数列;
④若、是等差数列,则、、是非零常数、、,…也成等差数列。
⑤单调性:
的公差为,则:
）为递增数列;
）为递减数列;
）为常数列;
⑥数列为等差数列（p,q是常数）
⑦若等差数列的前项和,则、、…是等差数列。
3、等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项:
若三数成等比数列（同号）。
反之不一定成立。
⑸常用性质
②为等比数列,公比为下标成等差数列,则对应的项成等比数列
③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列;
正项等比数列;
则是公差为的等差数列;
④若是等比数列,则
是等比数列,公比依次是
为递增数列;
为递减数列;
为常数列;
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列的前项和,则、、…是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法:
已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法:
若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;
另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,（要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一）。
类型Ⅲ累加法:
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造:
将上述个式子两边分别相加,可得:
①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和类型Ⅳ累乘法:
将上述个式子两边分别相乘,可得:
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法:
一形如（其中均为常数且）型的递推式:
（1）若时,数列为等差数列;
（2）若时,数列为等比数列;
（3）若且时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:
法一:
设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:
由得两式相减并整理得即构成以为首项,以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
二形如然后在错位相减,进而可得到数列的前项和.
此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地,当数列的
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