届高三数学萃取热点精华精练4.docx
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届高三数学萃取热点精华精练4
2010年高考数学萃取热点精华精练（4）
1．北京宣武区二模
19.（本题满分14分）
已知点满足：
，且已知
（1）求过点的直线的方程；
（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；
（3）求点的极限位置。
解：
（1）由，得：
显然直线的方程为………………3分
（2）由，得：
∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：
当n＝2时，点
假设当时，点，即
当时，
∴点
综上，点………………8分
（3）由，得：
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列
即点的极限位置为点P（0，1）………………14分
20.（本题满分14分）
已知直线与曲线交于两点A、B。
（1）设，当时，求点P的轨迹方程；
（2）是否存在常数a，对任意，都有？
如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。
（3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？
如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：
（1）设，则
由消去y，得：
依题意有解得：
且，即或且
∴点P的坐标为：
消去m，得：
，即
由，得
，解得或
∴点P的轨迹方程为（或）………………5分
（2）假设存在这样的常数a
由消去y得：
解得：
当时，，且方程<2>判别式
∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分
（3）假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。
即
即
化简，得：
∵a为任意正实数
，即，矛盾。
故这样的常数m不存在。
………………14分
2．大连二模
20．（本小题满分12分）
数列
，设Sn是数列的前n项和，并且满足
（Ⅰ）令
是等比数列，并求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令
解：
（Ⅰ）
依题意知，s、t是二次方程
的两个实根.
∵
……2分
∴
在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根.
∵
…………4分
（Ⅱ）由s、t是
的两个实根，知
∴
…6分
∵
故AB的中点C（
）在曲线y=f（x）上.……8分
（Ⅲ）过曲线上点
的切线方程为
∵
，又切线过原点.
∴
解得
=0，或
当
=0时，切线的斜率为ab；当
时，切线的斜率为
……10分
∵
∴两斜率之积
故两切线不垂直.………………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）设
处取到极值，其中
（Ⅱ）设
求证：
线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；
（Ⅲ）若
，求证：
过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不可能垂直.
解：
（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，
作CD⊥AB于D，由题知：
①
而
②
由①②
………………2分
同理，
∴A（－1，0）、B（1，0）……4分
设双曲线方程
由
…………6分
因为E、C两点在双曲线上，所以
………………8分
解得
，∴双曲线方程为
…………10分
（Ⅱ）设
∵
∴
①
又M、N在双曲线上，满足
②
将②代入①，
∵
…………………………12分
又
∴
取值范围为（
）………………14分
3．德州模拟
21.（12分）已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
（2）当
解：
（1）设p（x，y）
则
由得
3分
整理得（*）4分
当k=1时，*式化为x=1表示直线5分
当k≠1时，*式化为
表示心为半径的圆6分
（2）当k=2时，*式化为
此时，
∴其最小值为2，最大值为612分
22.（14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P1为AB边上的一点，，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……
（1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。
（2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？
说明理由；
（3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？
若存在，求m的最小值。
解：
（1）由|AB|=|AC|=1，
从而△ABC为边长为1的正三角形2分
则，于是
∴3分
同样
4分
又
即5分
（2）由
（1）可得：
∴的等比数列
∴7分
当
∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP09分
（3）11分
由
当
∴的最小值为414分
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