届高三数学培优补差辅导专题讲座三角函数单元易错题分.docx
《届高三数学培优补差辅导专题讲座三角函数单元易错题分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三数学培优补差辅导专题讲座三角函数单元易错题分.docx（56页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
届高三数学培优补差辅导专题讲座三角函数单元易错题分
第三讲:
三角函数单元部分易错题解析
1、角的概念的推广:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:
在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3.终边相同的角的表示:
（1α终边与θ终边相同（α的终边在θ终边所在射线上⇔2（kkαθπ=+∈Z,注意:
相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
（答:
25-;536
π-
（2α终边与θ终边共线（α的终边在θ终边所在直线上⇔（kkαθπ=+∈Z.（3α终边与θ终边关于x轴对称⇔2（kkαθπ=-+∈Z.
（4α终边与θ终边关于y轴对称⇔2（kkαπθπ=-+∈Z.（5α终边与θ终边关于原点对称⇔2（kkαπθπ=++∈Z.
（6α终边在x轴上的角可表示为:
kkZαπ=∈;α终边在y轴上的角可表示为:
2
kkZπ
απ=+
∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:
2
kkZπα=∈.如α的终边与
6
π
的
终边关于直线xy=对称,则α=____________。
（答:
Zkk∈+
3
2π
π
4、α与2的终边关系:
由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角,则2
α
是第_____象限角（答:
一、三
5.弧长公式:
||lRα=,扇形面积公式:
2
||22
SlRRα==,1弧度（1rad57.3≈.
如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
（答:
22
cm
6、任意角的三角函数的定义:
设α是任意一个角,P（,xy是α的终边上的任意一点（异
于原点,它与原点的距离
是0r=
>,那么sin
cos
yxr
r
αα==,
（tan,0yxx
α=
≠,cotxy
α=
（0y≠,secrx
α=
（0x≠,（csc0ryy
α
=
≠。
三角函
数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。
如（1已知角α的终边经过点P（5,-12,则ααcossin+的值为__。
（答:
713
-
;（2设α是第三、四象限角,
m
m--=
432sinα,则m的取值范围是_______（答:
（-12
3;（3若
0|
cos|cossin|sin|=+
ααα
α,
试判断tan（coscot（sinαα⋅的符号（答:
负7.三角函数线的特征是:
正弦线MP“站在x轴上（起点在x轴上”、余弦线OM“躺在x轴上（起点是原点”、正切线AT“站在点（1,0A处（起点是A”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
如（1若08
π
θ-
<<,则
sin,cos,tanθθθ
的大小关系为_____（答:
y
T
Ax
BS
OM
tansincosθθθ<<;（2若α为锐角,则,sin,tanααα的大小关系为_______（答:
sintanααα<<;（3函数3sin2lg（cos2+
++=xxy的定义域是_______（答:
2（2,2]（3
3
kkkZπ
πππ-
+
∈
（1平方关系:
222222sincos1,1tansec,1cotcscαααααα+=+=+=（2倒数关系:
sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1,
（3商数关系:
sincostan,cotcossinαα
αααα
==同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。
在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对
值。
如（1函数sintancoscotyαα
αα
+=+的值的符号为____（答:
大于0;（2若π220≤≤x,
则使xx2cos2sin2
=-成立的x的取值范围是____（答:
[0,]4
π
],4
3
[ππ;（3已知53
sin+-=
mmθ,2（524cosπθπ
θ<<+-=
mm,则θtan=____（答:
12
5-;（4已知11tantan-=-αα,则ααααcossincos3sin+-=____;2cossinsin2
++ααα=
_________（答:
35-;513;（5已知a=200sin,则
160tan等于A、2aa--
B、
2a
a-C、a
a2
--
D、
a
a2
-（答:
B;（6已知xxf3cos（cos=,
则30（sin
f的值为______（答:
-1。
10.三角函数诱导公式（
2
kπα+的本质是:
奇变偶不变（对k而言,指k取奇数或
偶数,符号看象限（看原函数,同时可把α看成是锐角.诱导公式的应用是求任意角的
三角函数值,其一般步骤:
（1负角变正角,再写成2kπ+α,02απ≤<;（2转化为锐角
三角函数。
如（197cos
tan（sin2146
πππ+-
+的值为________
2
3
-
;（2
已知5
4540sin（-=+α
则=-270cos（
α______,若α为第二象限角,则
=+-+-
180tan（]360cos（180
[sin（2
ααα
________。
（答:
5
4-;100
3-
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
（sinsincoscossinsin22sincos令αβ
αβαβαβααα=±=±−−−→=
（（22
2
2
2
22
coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin2
2tantan21tan令 =
= αβαβ
αβαβααα
αααβα
αβ
ααβ
α
αααα
=±=−−−→=-↓=-=-±±=
⇒-↓=
-如（1下列各式中,值为12
的是A、1515sincosB、2
2
12
12
cos
sin
π
π
-
C、
2225
1225
tan.tan.-
D
、（答:
C;（2命题P:
0tan（AB+=,命题Q:
0tanAtanB+=,则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答:
C;（3已知
35sin（coscos（sinαβααβ---,那么2cosβ的值为____（答:
7
25
;（4
110
80
sinsin-
______（答:
4;（5已知0tan110a=,求0
tan50的值（用a表
a-,乙求得的结果是
2
12aa
-,对甲、乙求得的结果的正确性你的
判断是______（答:
甲、乙都对
12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:
一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!
第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:
（1巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如（（ααββαββ=+-=-+,2（（ααβαβ=++-,
2（（αβαβα=+--,22
αβαβ++=⋅
（
（2
2
2αβ
β
αβ+=-
-
-
等
如（1已知2tan（5
αβ+=,1tan（4
4
π
β-
=
那么tan（4
π
α+
的值是_____（答:
322
;（2
已知02
π
βαπ<<
<<,且12
9cos（β
α-
=-
22
3
sin（α
β-=,求cos
（αβ+的值（答:
490729
;（3已知,αβ为锐角,sin,cosxyαβ==,3cos（5
αβ+=-
则y与x的函
数关系为______
（答:
43（
15
5
yxx=-
<<
（2三角函数名互化（切割化弦,如（1
求值sin50（110+
（答:
1
;（2已知
sincos21,tan（1cos23
αααβα
=-=-
-,求tan（2βα-的值（答:
18
（3公式变形使用（tantanαβ±（（tan1tantanαβαβ=±。
如（1已知A、B
为锐角,且满足tantantantan1ABAB=++,则cos（AB+=_____
（答:
2
-;（2
设ABC∆
中,tanAtanBAtanB++=
4
sinAcosA=
则此三角形是____
三角形（答:
等边
（4三角函数次数的降升（降幂公式:
2
1cos2cos2
α
α+=
2
1cos2sin2α
α-=与升幂
公式:
21cos22cosαα+=,21cos22sinαα-=。
如（1若32
（,αππ∈
化简为_____（答:
sin
2
α
;（2
函数25f（xsinxcosxx=-
xR+∈的单调递增区间为___________（答:
512
12
[k,k]（kZπ
π
ππ-
+
∈
（5式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同。
如（1tan（cossinααα-
sintancotcscαααα
++
+（答:
sinα;（2求证:
2
1tan1sin12sin
1tan
2
2
αααα
++=--;（3化简:
42
2
12cos2cos2tan（
sin（
4
4
xxxxππ-+-+（答:
1cos22
x
（6常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx=+22
sectantancotxxxx=-=⋅
tansin42===等,如已知tan2α=,求22
sinsincos3cosαααα+-（答:
35
.
（7正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx±、”的内存联系――“知一求二”,如（1
若sincosxxt±=,则sincosxx=__（答:
2
12
t-±
特别提醒:
这里[t∈;
（2若（0,,sincos2απαα∈+=,求tanα的值。
（答:
3
-;（3已知
2
sin22sin1tankαα
α
+=+（
4
2
π
π
α<<
试用k表示sincosαα-
。
13、辅助角公式中辅助角的确定
:
（sincosaxbxxθ+=+（其中θ角所
在的象限由a,b的符号确定,θ角的值由tanba
θ=确定在求最值、化简时起着重要作用。
如（1
若方程sinxxc-
=有实数解,则c的取值范围是___________.（答:
[-2,2];
（2当函数23ycosxsinx=-取得最大值时,tanx的值是______（答:
32
-;（3如果
（（sin2cos（fxxxϕϕ=+++是奇函数,则tanϕ=
（答:
-2;（4求值:
=︒+︒
-
︒
20sin
6420cos
120sin
32
2
2
________（答:
32
14、正弦函数和余弦函数的图象:
正弦函数sinyx=和余弦函数cosyx=图象的作图方法:
五点法:
先取横坐标分别为0,
3,,
222
π
πππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接
起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin（yxxR=∈、余弦函数cos（yxxR=∈的性质:
（1定义域:
都是R。
（2值域:
都是[]1,1-,对sinyx=,当（22
xkkZπ
π=+
∈时,y取最大值1;当
（322
xkkZππ=+
∈时,y取最小值-1;对cosyx=,当（2xkkZπ=∈时,y取最
大值1,当（2xkkZππ=+∈时,y取最小值-1。
如（1若函数sin（3
6
yabxπ
=-+的最大值为
2
3,最小值为2
1-
则=a__,=b_（答:
1,12
ab==或1b=-;（2函数
xxxfcos3sin（+=（]2
2[π
π
-
∈x的值域是____（答:
[-1,2];（3若2αβπ+=,
则6ycossinβα=-的最大值和最小值分别是____、_____（答:
7;-5;（4
函数
2
（2cossin（sin3
fxxxxπ
=+
sincosxx+的最小值是_____,此时x=__________
（答:
2;（12
kkZπ
π+
∈;（5己知2
1cossin=
βα,求αβcossin=t的变化范围
（答:
1[0,
]2
;（6若αβαcos2sin2sin2
2
=+,求βα2
2
sinsin+=y的最大、最小值（答:
1max=y,222min-=y。
特别提醒:
在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余
弦函数的有界性了吗?
（3周期性:
①sinyx=、cosyx=的最小正周期都是2π;②（sin（fxAxωϕ=+和（cos（fxAxωϕ=+的最小正周期都是2||
Tπω=
。
如（1若3
sin
（x
xfπ=,则
（1（2（3（200
fff
f
++++=___（答:
0;（2函数4
（cosfxx=2sincosxx-4
sinx-的最小正周期为____
（答:
π;（3设函数5
2
sin（2（π
π
+
=xxf,若对任意R
x∈都有（（（21xfxfxf≤≤成立,则||21xx-的最小值为____（答:
2
（4奇偶性与对称性:
正弦函数sin（yxxR=∈是奇函数,对称中心是
（（,0kkZπ∈,对称轴是直线（2
xkkZπ
π
=+
∈;余弦函数cos（yxxR=∈是偶函数,
对称中心是（,02kkZπ
π⎛
⎫
+
∈⎪⎝⎭
对称轴是直线（xkkZπ=∈（正（余弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点。
如（1函数
522ysinxπ⎛⎫
=-⎪⎝⎭
的奇偶性是______（答:
偶函数;（2已知函数
3
1f（x
ax
bsin
x（a,b=++为常数,且57f（=,则5f（-=______（答:
-5
;（3函数cos（sincos2xxxy+=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
____________（答:
128
k（
（kZππ
-
∈、2
8
kx（kZππ
=
+
∈;（4已
知
f（x
sin（
cos（xθθ=+++为偶函数,求θ的值。
（答:
6
k（kZπ
θπ=+∈
（5单调性:
（sin2,22
2yxkkkZπ
πππ⎡⎤
=-
+
∈⎢
⎥⎣
⎦
在上单调递增,在
（32,222kkkZππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦单调递减;cosyx=在[]（2,2kkkZπππ+∈上单调递减,
在[]（2,22kkkZππππ++∈上单调递增。
特别提醒,别忘了kZ∈!
16、形如sin（yAxωϕ=+的函数:
（1几个物理量:
A―振幅;1fT
=
―频率（周期的倒数;xωϕ+―相位;ϕ―初
相;
（2函数sin（yAxωϕ=+表达式的确定:
A
由周期确定;ϕ由图象上的特殊点确（sin（（0
fxAxAωϕ
ω=
+>>,||2
π
ϕ<（fx=_____（答:
15（2sin（
23
fxxπ
=+
;
（3函数sin（yAxωϕ=+图象的画法:
①“五点法”――设Xxωϕ=+,令X=0,
3,,
222
π
πππ求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:
这是作函数简图常用方法。
（4函数sin（yAxkωϕ=++的图象与sinyx=图象间的关系:
①函数sinyx=的图象纵坐标不变,横坐标向左（ϕ>0或向右（ϕ<0平移||ϕ个单位得（sinyxϕ=+的图象;②函数（sinyxϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1
ω
得到函数
（sinyxωϕ=+的图象;③函数（sinyxωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的
A倍,得到函数sin（yAxωϕ=+的图象;④函数sin（yAxωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标向上（0k>或向下（0k<,得到（sinyAxkωϕ=++的图象。
要特别注意,若由（sinyxω=得到（sinyxωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω
个单位,如
（1函数2sin（214
yxπ
=-
-的图象经过怎样的变换才能得到sinyx=的图象?
（答:
2sin（214
yxπ
=-
-向上平移1个单位得2sin（24yxπ
=-
的图象,再向左平移
8
π
个单位
得2sin2yx=的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sinyx=的图象,最后将纵坐标缩小
到原来的
12
即得sinyx=的图象;（2要得到函数cos（
2
4
xyπ
=-
的图象,只需把函数
sin
2
xy=的图象向___平移____个单位（答:
左;
2
π
;（3将函数72sin（213
yxπ=-
+图
像,按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?
若唯一,求出a
;
若不唯一,求出模最小的向量（答:
存在但不唯一,模最小的向量（,16
aπ
=-
-
;（4若函数（[]（cossin0,2fxxxxπ=+∈的图象与直线yk=有且仅有四个不同的交点,则k的取值范围是
（答:
（5研究函数sin（yAxωϕ=+性质的方法:
类比于研究sinyx=的性质,只需将sin（yAxωϕ=+中的xωϕ+看成sinyx=中的x,但在求sin（yAxωϕ=+的单调区间时,要特别注意A和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正。
如（1函数23
ysin（x
π
=-+的递减区间是______（答:
512
12
[k,k]（kZπ
πππ-
+
∈
;（212
3
4
xylogcos（π
=+
的
递减区间是_______（答:
3
3664
4
[k,k]（kZππππ-
+
∈;（3设函数
2
2
0,0（sin（（π
ϕπ
ωϕω<
<-
>≠+=AxAxf的图象关于直线3
2π=
x对称,它的周期是π,
则A、2
1,0（（的图象过点xfB、（fx在区间52[
]12
3
ππ上是减
升级会员 