数学.docx

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数学

实数

一、知识要点概述

2、数轴：

规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系．

3、有理数都可以表示为

的形式（p、q为整数且p、q互质）；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数．

4、实数运算：

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0；开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行．

5、实数的大小比较有三种方法：

　　①数轴比较法：

数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数．

　　②差值比较法：

对于实数a，b，当a－b＞0时a＞b；当a－b=0时，a=b；当a－b＜0时a＜b．

　　③商值比较法：

对于两个正数a，b，当

时a＞b；当

时a＜b；当

时，a=b．

6、近似数与有效数字：

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．

7、科学记数法：

把一个数记成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为整数，科学记数法表示的数的有效数字以a的有效数字计算．

8、非负数：

正数和零统称为非负数，象|a|，a2，

形式的数都是表示非负数．

9、非负数的性质：

①最小的非负数是零；②若n个非负数的和为零，则每个非负数都为零．

整式

一、知识要点概述

1、代数式的分类

2、同类项：

所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．合并同类项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变．

3、整式的运算

（1）整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．

（2）整式的乘除

a．幂的运算性质

①am·an=am＋n（a≠0，m，n为整数）

②（am）n=amn（a≠0，m，n为整数）

③（ab）n=anbn（n为整数，a≠0，b≠0）

b．零指数幂与负整数指数幂

（3）乘法公式

a．平方差公式（a＋b）（a－b）=a2－b2

b．完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab＋b2

4、基本规律

（1）代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类．

（2）同类项的寻找是遵循两同两无关法则（字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关．）

　　（3）整式的运算法则与有理数运算法则类似．

5、因式分解：

把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解．

6、因式分解的基本方法：

①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．

7、因式分解常用的公式如下：

①a2－b2=（a＋b）（a－b）

②a2±2ab＋b2=（a±b）2．

分式

一、知识要点概述

1、分式的概念和性质

（1）定义：

若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成

的形式，若B中含有字母，式子

叫做分式．

　　说明：

　　1°分式的值为0的条件是：

分子为零且分母不为0；2°当分母为零时，分式无意义；3°分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似．

2、分式的运算法则

　　说明：

分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号．

3、约分：

根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分．

4、通分：

根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分．

二次根式

一、知识要点概述

1、二次根式：

式子

叫做二次根式．

2、最简二次根式：

满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式．

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

3、同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．

4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算

（1）因式的外移和内移

　　如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．

（2）有理化因式与分母有理化

　　两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．

　　（3）二次根式的加减法：

　　先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．

　　（4）二次根式的乘除法

　　二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．

　　（5）有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

不等式与不等式组

一、知识要点概述

1、不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变．

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2、不等式（组）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变．

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

　　（3）设a＜b，那么：

①不等式组

的解集是x＞b（大大取大）；

②不等式组

的解集是x＜a（小小取小）；

③不等式组

的解集是a＜x＜b（大小、小大中间找）；

④不等式组

的解集是空集（大大、小小题无解）．

3、不等式（组）的应用

会列一元一次不等式（组）解决实际问题，其步骤是：

（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；

（2）解不等式（组）；

（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案．

方程与方程组

一、知识要点概述

1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．

2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．

（2）最简方程ax=b的解有以下三种情况：

　　①当a≠0时，方程有唯一解

；

　　②当a=0，b≠0时，方程无解．

　　③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．

3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0（a≠0）

　　其解法主要有：

直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．

4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是：

注意：

求根公式成立的条件为：

①a≠0；②b2－4ac≥0．

5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

；

当△＜0时，方程没有实根，反之成立．

6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则

7、以两数α、β为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（α＋β）x＋αβ=0．

8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．

9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．

10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．

11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．

分式方程

一、知识要点概述

1、分式方程：

分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．

2、解分式方程的基本思想方法是：

3、解分式方程必须验根．

列方程解应用题

一、知识要点概述

1、列方程（组）解应用题的一般步骤．

　　审题，设未知数，找出相等关系，布列方程（组），解方程（组），检验作答，其中找出相等关系，布列方程（组）是关键，而如何设未知数又是至关重要的开端．

2、几种常见应用题型的基本等量关系及解题策略．

（1）和、差、倍、分的有关问题．

　　涉及和、差、倍、分问题，一般可直接列出方程．但需要抓住关键词：

大、小、多、少、增加、减小、几倍、几分之几、几折优惠等．

　　如：

将若干支铅笔分给几个同学，若每人5支，还剩3支，若每人7支，还差5支，问有学生几人？

铅笔几支？

　　若设学生有x人，依题意得方程5x＋3=7x－5

　　∴x=4，则铅笔支数5x＋3=23支．

（2）等积（面积、体积）问题

　　涉及等积问题，应依变形前后体（面）积不变建立等式关系，但需注意单位的统一．

　　如要用截面积为48mm2的圆钢条锻造成长、宽、高分别为25mm、8mm、15mm的长方体钢坯，需要这种圆钢条多少米？

　　解：

设需要这种圆钢条xmm，则48x=25×8×15

　　　　解得x=62.5mm=0.0625米

　　答：

需要这种圆钢条0.0625米．

　　（3）商品利润问题：

　　商品利润=商品售价－商品进价

　　（4）浓度问题：

　　溶液质量=溶质质量＋溶剂质量

　　（5）工程问题：

　　工程问题中通常把工作量看做“1”

　　工作效率×工作时间=工作量

　　（6）行程问题（又分三类）

　　a．相遇（包括环形相遇）问题：

两运动物体所走过的路程等于全程（或圈长）．

　　b．追及问题：

分路程相同、时间不同的追及问题和时间相同、路程不同的追及问题，常可画行程示意图帮助分析题意，若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程．

　　c．时针问题：

注意一圈为60分格则分针速度为1分格/分钟：

时针速度为

分格/分钟．时间×速度=路程．

　　（7）航行（或飞行）问题

这类问题要注意航行速度与水（风）速的关系

顺水速度=静水速度＋水速

逆水速度=静水速度－水速

　　（8）数字问题

n位数

　　（9）增长率问题：

　　（10）投资利润问题：

投资总额×投资利率=投资利润

函数的概念及图像

一、知识要点概述

（一）函数有关概念

1、常量：

在某一变化过程中保持不变的量．

2、变量：

在某一变化过程中可取不同数值的量．

3、函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

4、函数的表示方法

5、画函数图象的步骤：

①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．

6、函数自变量的取值范围

（二）平面直角坐标中点的坐标特征

3、平行于坐标轴的直线上的点

（1）平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；

（2）平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．

4、对称点的坐标：

（1）点P（a，b）关于x轴的对称点坐标是P1（a，－b）即横坐标相同，纵坐标互为相反数．

（2）点P（a，b）关于y轴的对称点坐标是P2（－a，b）即横坐标互为相反数，纵坐标相同．

　　（3）点P（a，b）关于原点的对称点坐标是P3（－a，－b）即横、纵坐标都互为相反数．

5、各象限角平分线上的点

（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．

（2）第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．

6、点与原点、坐标轴的距离

（1）点P（a，b）与原点的距离是

．

（2）点P（a，b）与x轴的距离是|b|（即其纵坐标的绝对值）．

（3）点P（a，b）与y轴的距离是|a|（即其横坐标的绝对值）

一次函数及反比例函数的图象与性质

一、知识要点概述

（一）一次函数

1、一次函数的定义：

形如y=kx＋b（k，b为常数且k≠0）的函数叫一次函数．

2、正比例函数的定义：

y=kx（k≠0）叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．

3、一次函数的图象是一条经过

及（0，b）的一条直线．

4、一次函数的性质：

当k＞0时y随x的增大而增大．

　　　　　　　当k＜0时y随x的增大而减小．

5、一次函数y=kx＋b的图象与k、b的符号关系表

k、b的符号

草图

经过的象限

k＞0，b＞0

直线经过第一、二、三象限

k＞0，b＜0

直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0

直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0

直线经过第二、三、四象限

（二）反比例函数

1、反比例函数定义：

形如

叫做反比例函数．自变量的取值范围是x≠0．

2、反比例函数的图象是双曲线．

3、反比例函数

的性质

（1）当k＞0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．

（2）当k＜0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

（三）基本规律

1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b．

2、对于直线l1：

y=k1x＋b1，与l2；y=k2x＋b2．

　当l1∥l2时，k1=k2且b1≠b2，反之当k1=k2且b1≠b2时，l1∥l2．

3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kx＋b与两坐标轴的交点

和（0，b），正比例函数图象过（0，0）和点（1，k）．

4、反比例函数

的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x≠0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交．双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的．

5、过双曲线

上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为

．这一结论常常用到，应特别记住．

二次函数的图象与性质

知识要点概述

1、二次函数的定义：

如果y=ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0），那么y叫x的二次函数．

2、二次函数的图象：

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．

3、二次函数的解析式有下列三种形式：

（1）一般式：

y=ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

y=a（x－h）2＋k（a≠0）；

　　（3）交点式：

y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．

　　确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

　　抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是

，顶点坐标是

，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

　　a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

5、抛物线顶点式y=a（x－h）2＋k（a≠0）的特点

（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；

（2）x=h为抛物线对称轴；

（3）顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．

6、抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的联系与区别

　　抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．

　　要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．

7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A（x1，0），B（x2，0）．

函数的综合应用

一、知识要点概述

命题趋势分析：

　　函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的热点．由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此每年中考试卷中都要出现与函数有关的题目，而且多以压轴题出现．

1、函数与方程的综合主要是二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组的综合较多，常涉及到一元二次方程的解法、根与系数关系以及根的判别式；方程组的解法，有时也涉及到分式方程的解法，关键是把函数的问题转化为方程（组）的问题，但是，仅含方程与函数的综合题型不多，而是与面积、存在性、开放性、探索性等问题糅合在一起的命题较多．

2、函数与图形的面积综合题，通常出现在压轴题中的某一小题中占3—5分，主要类型有：

已知函数的解析式，求有关三角形、四边形和不规则的多边形面积，其中以求三角形、四边形的面积为主；已知图形的面积，求函数关系式或某些特殊点的坐标，还有求面积关于某个变量的函数关系式等，函数与图形面积问题是中考中热门问题，题型常考常新，体现了数形结合的思想、转化的思想、分类讨论思想等．

3、函数与几何的综合题

几乎每份中考试卷都有函数与几何的综合题，是因为函数题目体现了数与形的结合，体现了代数知识与几何知识的灵活运用，它能考查许多知识点，考查学生的分析问题、综合运用知识解决问题的能力，函数与几何的综合，主要包括一次函数、二次函数与三角形、四边形与圆的综合、涉及全等三角形、直角三角形、直角三角形与圆的有关知识，一般有3—4个小题，占分约12—16分，是一类很热门的题目，常有存在性、开放性与分类讨论的题目．

统计与概率

一、知识要点概述

（一）数据的描述与分析

1、基本知识

（1）几种常见的统计图：

①折线图　　②条形图　　③扇形图　　④直方图

（2）掌握几种常见统计图的优越性

（3）总体：

考查对象的全体．

个体：

总体中每一个被考察的对象．

样本：

从总体中抽取一部分个体组成总体的一个样本．

样本容量：

样本中个体的数目．

2、基本规律

　　数据的描述方式主要有统计图与统计表两种形式，其中统计图有折线图、条形图、扇形图、直方图四种形式，它们都有各自的优势，折线图可以反映一组数据的变化趋势，条形图易于比较数据之间的差别，扇形图易于显示每组数据相对于总数大小，直方图易于显示各组之间频数的差别，在描述数据时要根据具体情况来选择合适的统计图表，在分析统计图时要考虑到统计图的特征与实际需要．

（二）数据的特征

1、平均数

（1）如果有n个数x1，x2，…，xn，则

叫这n个数的平均数．

（2）求平均数的常用方法

　　设所给出的n个数据x1，x2，x3，…，xn－1，xn，求它们的平均数

．

　　①基本方法：

　　②新数据法：

当x1，x2，…，xn－1，xn数据较大时，选择一个与这些数比较接近的数a，令

先计算这组新数据x1′，x2′，…，x′n的平均数

　　③加权法：

若x1出现f1次，x2出现x2次，…，xk出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk=n，则

．

　　④新数据加权法：

新数据同②，若x1′出现f1次，x′2出现f2次，……

出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk=n．

．

2、中位数、众数、极差

（1）中位数：

将一组数据按大小依次排列，把处在正中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．

（2）众数：

在一组数据中，出现次数最多的数据叫这组数据的众数．

　　（3）极差：

一组数据的最大数与最小数据之差．

3、方差、标准差

（1）方差：

样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫样本方差．

（2）标准差：

样本方差的算术平方根叫做样本标准差．

　　（3）求方差的方法

　　①设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为

，则其方差

　　②当数据比较大时，仿前面选择一个适当的常数a，得一组新数据

，则方差

．

　　（4）样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动越大．

4、基本规律

（1）反映一组数据的集中程度的统计量主要有平均数、中位数、众数这三种；而反映一组数据的离散程度的统计量有极差、方差、标准差三种，在对一组数据进行分析时，要考虑到分析的目的，再来选择合适的统计量来作出合理的分析，为正确的决策提供依据．

（2）统计在日常生活中得到最广泛的应用，在利用统计的结果进行估计总体或利用统计的结果进行决策时要注意决策的目的和决策的实际意义．

（三）概率

（1）事件按发生可能性的大小分为不可能事件、必然事件和随机事件．

（2）事件发生的可能性的大小可以用概率来衡量．

　　（3）获取某一事件发生的概率的大小的方法有实验法和分析法．

（4）概率的计算法为列表法和画树状图法；在计算概率时，我们关注的是所有机会均等的结果和我们所关注的结果，求出后者与前者的比值，从而求出某一事件的概率；通过用替代物模拟实验获取概率，应注意实验次数对概率的准确性的影响，实验次数越多，得到的实验数据与实际就越接近．

三角形

一、知识要点概述

1、定义：

由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．

2、三角形的分类

（1）按边分

（2）按角分

3、三角形的一些重要性质

（1）边与边的关系：

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

（2）角与角的关系：

三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；

4、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：

等腰三角形三线合一）．

5、等边三角形的性质

　　等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．

6、等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

7、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两锐角互余；

（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；

　　（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；

　　（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

8、直角三角形的判定

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；

　　（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．

9、全等三角形的定义

　　能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

10、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应角相等、对应线段（边、高、中线、角平分线）相等；

（2）全等三角形的周长相等、面积相等．

11、全等三角形的判定

（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“SAS”）；

（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“ASA”）；

　　（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；

　　（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称“SSS”）；

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）．

多边形与平行四边形

一、知识要点概述

1、多边形的定义：

在平面内由n（n≥3）条线段首尾顺次连接所构成的图形叫n边形．

2、n边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n－2）·180°．

3、n边形的外角和定理：