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数学建模论文

葡萄酒的评价

摘要

传统确定葡萄酒质量的方法一般是通过聘请一批有资质的评酒员对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

本文通过主成分分析、相关性分析等方法来研究酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来建立葡萄酒的质量评价体系。

针对问题一，首先用t检验法比较发现第一组白葡萄酒和第二组白葡萄酒及第一组红葡萄酒和第二组红葡萄酒有显著差异，在两组分值有差异的条件下，进一步对各组分值方差分析。

假设各种酒的评分相互独立，第二组白葡萄酒和第二组红葡萄酒的方差较小，说明评分波动小，受专家主观偏好影响低，即这两组评分更合理。

针对问题二，酿酒葡萄的好坏不仅受自身理化指标的影响，也要考虑酒的优劣，所以不仅考虑理化指标，也要加入酒评分指标，由于指标较多且具有相关性，这里采用主成分分析法，消除指标间相关性，简化指标体系，建立得到葡萄评分模型，并进行了酿酒葡萄的分级。

针对问题三，酿酒葡萄的好坏影响酒的质量，而酒的质量也受其理化指标影响，这里采用相关性分析分析葡萄等级与酒理化指标之间关系。

将其酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标无量纲化，通过SAS将得两组无量指标的相关矩阵，找出指标间正负强相关、正负相关以及不相关的因素。

针对问题四，首先对理化指标与专家评分进行相关性分析，步骤同问题三，由相关系数列表，发现专家评分与酿酒葡萄的理化指标相关性很强、与葡萄酒理化指标相关性较强，这样就认为通过理化指标评分可很大程度代替专家评分。

因此通过对葡萄和酒的理化指标进行主成分分析，建立起酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标建立衡量葡萄酒质量的评价体系，步骤同问题二。

最后将计算结果列表与专家评分比较，发现结果相关性较强。

文章最后对模型提出了两点不足，并给出了修改意见。

关键词：

t检验、无量纲化、主成分分析法、相关分析方法

一、问题重述

现如今大多数人都喜欢喝葡萄酒，随着经济的快速发展以及市场的需求，人们对葡萄及葡萄酒的品质要求越来越高。

因此有越来越多的人关心专家如何对葡萄酒的质量进行鉴定。

传统确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。

每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

现要求通过建立数学模型解决以下问题：

问题一：

分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，并确定哪一组结果更可信。

问题二：

通过对酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量的数据进行分析，然后对这些酿酒葡萄进行分级。

问题三：

确定酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系

问题四：

分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并讨论能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。

二、模型假设

1、忽略各项数据测量误差；

2、忽略个别与其他数据差异很大的数据；

3、空气中的各项物质对葡萄酒及酿酒葡萄的影响可以忽略不计；

4、假设各种酒的评分相互独立；

5、假设主成分分析模型和T检验模型结果可信。

三、符号说明

：

原假设；

：

备择假设；

T：

检验函数；

：

样本均值；

：

修正标准差；

：

数据检验水平；

：

在

检验水平下T标准值；

：

最大值

：

最小值；

总分值；

：

芳香物质的数据；

：

第i个主成分特征向量的第j个分量；

R：

贡献率

四、问题一的模型建立与求解

（一）问题分析

传统对葡萄酒的评价主要依靠专家主观打分的方法，受个人偏好影响同一种酒不同专家可能给出不同的分数，问题一首先根据两组专家评分数据，分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异。

结合附件一中的数据的特点，对各项指标（外观、口感、香气等）以及总分进行分析，运用T检验得出两组评酒员的评价有无显著性差异。

如果二组数据有显著性差异，这里认为方差小，说明评分波动小，受专家主观偏好影响低，即评分更合理。

（二）T检验的理论介绍

T检验方法分为以下几种：

方差未知时均值的T检验：

（1）

由于方差未知所以在U中用方差的无偏估计量修正方差来代替方差，即考虑检验函数

然后采用双边检验求拒绝域，从而确定a与

是否相等即有无显著性差异。

（2）

a<=

运用检验函数确定

的值,采用右单边检验求拒绝域，从而确定接受

还是接受

。

（3）

a>=

类似

（2）的分析,采用左单边检验求拒绝域。

由于上述检验中用到的统计量都是T，因此这种方法被称为T检验。

（三）数据分析

步骤一、讨论两组评酒员的评价结果有无显著性差异：

取评酒员对每种葡萄酒样品的各项指标的评分平均值，作为评酒员对葡萄酒样品的此项指标的评分（数据表格太大，因此不在文章中列出），将数据代入SAS软件利用T检验法可得到T的观察值（数据见表1）。

外观分析

香气分析

口感分析

整体评价

总分

澄清度

色调

纯正度

浓度

质量

纯正度

浓度

持久性

质量

红酒T观察值

-0.49816

4.37989

2.052891

1.785146

2.428871

0.856

1.603798

1.161932

1.174523

0.072548

4.611

白酒T观察值

-7.9222

-3.59815

-0.10466

2.282647

1.409069

-28.0898

-15.5149

-1.14861

-26.7907

-18.9117

-2.33743

表1

查t分布表得到

=0.05，n=27时，

的值为2.052，因此拒绝域是（-2.052，2.052），即认为两组评酒员评价结果之间存在差异的区间。

再对表+1中的数据进行分析，可知两组数据多项指标及总分均有显著性差异。

步骤二、由于两组评酒员的评价结果有着显著性的差异，现在我们来确定哪一组的结果更可信。

对两组分值进行方差分析，假设各种酒的评分相互独立，则第一组和第二组各种酒品评分方差如表2：

表2

第一组红酒

第二组红酒

第一组白酒

第二组白酒

方差

9765

9182

56074.46

20811.6

显然红葡萄酒和白葡萄酒的第一组评分的方差大于第二组的评分，说明评分波动小，受专家主观偏好影响低，即评分更合理。

（四）讨论结果

评酒员的评价结果存在差异的原因很多，还有评酒员的情绪以及他的水平等都可能干扰到评酒员的判断力影响他的评价结果。

通过对数据的分析，确实两组数据无论在分项指标和总分上均存在显著性差异。

再通过方差分析，发现第二组数据方差较小，评分更为合理。

五、问题二的模型建立与求解

（一）问题分析

问题二需要根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

酿酒葡萄的好坏的评定不仅要考虑自身指标的影响，也要考虑酒的优劣，所以不仅考虑葡萄的理化指标，也要加入酒评分指标，由于指标较多且具有相关性，这里采用主成分分析法，消除指标间相关性，简化指标体系，建立得到葡萄评分模型，对其进行分级。

（二）主成分分析法介绍

主成分分析是将多指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法。

由于要分析的元素较多，且彼此存在着一定的相关性，且数据在一定程度上反映的信息也有所重复，因此使用主成分分析法来处理数据，得到相关数据矩阵。

主成分分析是在保证尽可能多使用反映原始信息的基础上，用较少的互不相关的综合变量来代替原来较多的分析元素，从而简化操作过程得到想要的数据结果，再分析数据从而解决问题。

（三）数据分析

步骤一、建立指标体系

1．酿酒葡萄的一级指标有：

氨基酸总量、蛋白质、VC含量（mg/L）、花色苷mg/100g、鲜重、酒石酸（g/L）、苹果酸（g/L）、柠檬酸（g/L）、多酚氧化酶活力、褐变度、DPPH自由基1/IC50（g/L）、总酚（mmol/kg）、单宁（mmol/kg）、葡萄总黄酮（mmol/kg）、白藜芦醇（mg/kg）、总糖g/L、还原糖g/L、可溶性固形物g/l、PH值、可滴定酸（g/l）、固酸干物质含量、果穗质量/g、百粒质量、果梗比（%）、出汁率（%）、果皮质量（g）果皮颜色

2．芳香物质的指标

说明：

由于酿酒葡萄的一级指标给出数据，所以只采用一级指标，而芳香物质不同，需先对其进行二级分析。

酒质量指标数据采用第一题评分较合理的一组。

步骤二、数据无量纲化

由于原始数据的量纲不同，首先要对数据进行无量纲化，这里采用公式：

。

步骤三、芳香物质指标分析

1.主成分分析

对无量纲化后的附件三中酿酒白葡萄芳香物质的数据进行主成分分析，通过SAS软件进行数据分析可以得到成分的累计贡献率如图1：

图1

通过分析图表可知前十项的累积贡献率达到85%，选取10个主成分记作

其由主成分的特征向量见图2：

图2

由图2分析知：

第一主要成分主要反映：

X29、X36、X40、X42、X44

第二主要成分主要反映：

X1、X8、X16、X50、X55

第三主要成分主要反映：

X5、X11、X12、X13、X18、

第四主要成分主要反映：

X10、X14、X43、X45、X51

第五主要成分主要反映：

X9、X13、X23、X26、X30

第六主要成分主要反映：

X23、X39、X45、X51、X54

第七主要成分主要反映：

X30、X35、X44

第八主要成分主要反映：

X27、X38、X47、X49、X54

第九主要成分主要反映：

X21、X24、X30、X36

第十主要成分主要反映：

X7、X17、X18、X41

2.芳香指标评价模型

首先根据公式

（其中

为第i个主成分特征向量的第j个分量，

为芳香物质的数据）得到各主成分

值，再通过公式

（主成分的F值与主成分各自的贡献率R相乘相加）得到28种酿酒白葡萄样品所含芳香物质的评分，结果表3所示：

葡萄样品

葡萄样品3

葡萄样品4

葡萄样品

葡萄样品6

葡萄样品

葡萄样品8

葡萄样品9

葡萄样品10

葡萄样品11

葡萄样品12

葡萄样品13

葡萄样品14

-0.0749

10.4713

7.9778

7.6851

7.2349

-2.8407

2.8893

0.7938

9.9596

34.4155

2.9063

-25.6423

5.1362

-25.9119

葡萄样品15

葡萄样品16

葡萄样品17

葡萄样品18

葡萄样品19

葡萄样品20

葡萄样品21

葡萄样品22

葡萄样品23

葡萄样品24

葡萄样品25

葡萄样品26

葡萄样品27

葡萄样品28

1.0398

10.8046

5.6365

4.8424

-14.6501

7.5633

10.5275

9.0718

6.1683

3.7952

14.9630

8.9449

3.3001

5.7308

表3白葡萄所含芳香物质的评分表格

步骤四、一级指标主成分分析

对步骤一里建立的指标体系进行主成分分析

通过SAS软件进行数据分析可以得到成分的累计贡献率如图3：

图3

通过分析图表可知前十项的累积贡献率达到85%，选取11个主成分记作

其由主成分的特征向量见图4：

图4

由图4分析得到：

第一主要成分主要反映：

X23、X24、X25、X26。

第二主要成分主要反映：

X8、X9、X13、X12、X20

第三主要成分主要反映：

X12、X14、X17

第四主要成分主要反映：

X14、X16、X27、X28、X31

第五主要成分主要反映：

X4、X6、X14

第六主要成分主要反映：

X2、X7、X10、X18、X31

第七主要成分主要反映：

X3、X16、X19、X22

第八主要成分主要反映：

X25、X23、X29

第九主要成分主要反映：

X5、X11、X15、X30、X23

第十主要成分主要反映：

X12、X13、X17、X22、X23

第十一主要成分主要反映：

X7、X16、X19、X27、X23

步骤五、建立酿酒葡萄评分体系

根据公式

（其中

为第i个主成分特征向量的第j个分量，

为一级指标的数据）得到各主成分

值，最后通过公式

（主成分的F值与主成分各自的贡献率R相乘相加）得到28种酿酒白葡萄样品的评分如下表：

葡萄样品1

葡萄样品

0.2872

0.1483

0.3689

0.2513

0.2922

0.2488

0.1977

0.2431

0.2910

0.2170

0.1723

0.1708

0.2452

0.1699

葡萄样品

葡萄样品17

葡萄样品18

葡萄样品19

葡萄样品20

葡萄样品21

葡萄样品22

葡萄样品23

葡萄样品24

葡萄样品25

葡萄样品26

葡萄样品27

葡萄样品28

0.2050

0.2319

0.2547

0.1777

0.1908

0.3015

0.2974

0.1258

0.2421

0.2333

0.2338

0.1701

0.2845

0.2563

根据上表通过得分范围0.1-0.2、0.2-0.3、0.3-0.0.4进行分级得到酿酒白葡萄分级结果：

第一级：

酒样品2、7、11、12、14、18、19、22、2、6

第二级：

酒样品1、4、5、6、8、9、10、13、15、16、17、21、23、24、25、27、28

第三极：

酒样品3、20

对红葡萄做与白葡萄做相同处理。

红葡萄芳香物质的评分表格，如下所示：

葡萄样品

葡萄样品3

葡萄样品4

葡萄样品

葡萄样品6

葡萄样品

葡萄样品8

葡萄样品9

葡萄样品10

葡萄样品11

葡萄样品12

葡萄样品13

葡萄样品14

3.00

3.24

6.40

3.23

6.72

8.14

3.40

6.39

8.20

6.76

7.43

53.32

22.67

5.59

葡萄样品15

葡萄样品16

葡萄样品17

葡萄样品18

葡萄样品19

葡萄样品20

葡萄样品21

葡萄样品22

葡萄样品23

葡萄样品24

葡萄样品25

葡萄样品26

葡萄样品27

6.76

4.79

3.4518

11.655

6.89

3.84

23.73

10.73

3.39

3.83

4.07

13.23

17.40

红葡萄所含芳香物质的评分表格

红葡萄酒样品的总分如下：

葡萄样品1

葡萄样品

0.2872

0.1483

0.3689

0.2513

0.2922

0.2488

0.1977

0.2431

0.2910

0.2170

0.1723

0.1708

0.2452

0.1699

葡萄样品

葡萄样品17

葡萄样品18

葡萄样品19

葡萄样品20

葡萄样品21

葡萄样品22

葡萄样品23

葡萄样品24

葡萄样品25

葡萄样品26

葡萄样品27

葡萄样品28

0.2050

0.2319

0.2547

0.1777

0.1908

0.3015

0.2974

0.1258

0.2421

0.2333

0.2338

0.1701

0.2845

0.2563

通过上表分析可以得出对酿酒红葡萄根据范围0-0.1、0.1-0.2、0.2-0.4、大于0.4分级结果:

第一级：

酒样品4、7、17、20、24、25

第二级：

酒样品15、16、2、23、1、14、6、10、5

第三级：

酒样品19、3、8、22、18、11、9

第四级：

酒样品12、13、21、26、27

（四）结果讨论

本题用MATLAB、SAS软件对酿酒葡萄数据进行分析，得到酿酒葡萄芳香物质的评分；再由问题一得到评酒员对于酿酒葡萄质量的评分。

然后综合酿酒葡萄的理化指标一起进行主成分分析；最后对酿酒葡萄进行分级得出以上的结果。

六、问题三的模型建立与求解

（一）问题分析

探讨酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，可以从两方面考虑。

一方面说明酿酒葡萄的质量以及它的各项指标。

另一方面，分析葡萄酒的理化指标，通过对数据的挖掘结合前面的结论对数据进行进一步的深化和完善，利用典型相关分析法确定前两组数据有无相关性。

从而确定酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

（二）一般相关分析简介

在相关关系中，变量之间存在着不确定、不严格的依存关系，对于变量某个数值，可以有另一变量的若干数值与之相对应，这若干个数值围绕着它们的平均数呈现出有规律的波动。

确定现象之间有无相关关系以及相关关系的类型。

对不熟悉的则

回归方程线

需收集变量之间大量的对应资料，用绘制相关图的方法做初步判断。

从变量之间相互关系的方向看，变量之间有时存在着同增同减的同方向变动，是正相关关系；有时变量之间存在着一增一减的反方向变动，是负相关关系。

从变量之间相关的表现形式看有直线关系和曲线相关，从相关关系涉及到的变量的个数看，有一元相关或简单相关关系和多元相关或复相关关系。

（三）数据分析

由问题分析可知，我们要对两种葡萄分别处理两组数据，不妨先对红葡萄作介绍，对于红葡萄的数据，即酿酒葡萄有30项理化指标，葡萄酒有9项指标。

首先对酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标无量纲化，得两组数据，然后对无量纲化后的两组数据作一般相关分析，结果得出相关矩阵如下：

同样，由相关矩阵和图知红葡萄对应指标

强正相关的有：

V1X7,V3X1,V3X4,V3X5,V3X6,V3X8,V4X5,V6X1,V5X7,V8X5,V9X1,V9X2,V9X3,V9X21,V9X24,V9X25;

强负相关的有：

V1X14,V1X15,V1X16,V1X17,V2X7,V2X8,V2X9,V2X15,V2X16,V3X45,V3X29,V6X4,V5X8,V9X12,V9X29;

不相关的有：

V1X1,V1X4,V1X9,V1X10,V1X19,V1X28,V2X6,V2X13,V2X23,V2X24,V2X29,V3X3,V3X5,V3X12,V3X25,V4X16,V4X19,V4X26,V5X28,V2X29,V6X4,V7X19,V8X2,V8X29,V8X30,V9X3,V9X4,V9X6。

其余数据剔除。

对于白葡萄。

酿酒葡萄有30项理化指标，葡萄酒有8项指标。

首先对酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标无量纲化，得两组数据，然后对无量纲化后的两组数据一般相关分析，结果得出相关矩阵和相关性图如下：

由相关矩阵和图得到，定义相关系数大于0.4的指标为强正相关，小于-0.4的指标为强负相关，系数在（-0.1，0.1）内的指标为不相关，由相关矩阵可