223224直线与平面平行平面与平面平行的性质.docx

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223224直线与平面平行平面与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质

2.2．4平面与平面平行的性质

[学习目标]

1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理．

2．能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

[知识链接]

1．直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

2．平面与平面平行的判定定理：

平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

[预习导引]

线面平行的性质定理

面面平行的性质定理

文字

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号

⇒a∥b

⇒a∥b

图形

作用

线面平行⇒线线平行

面面平行⇒线线平行

要点一　线面平行性质定理的应用

例1　求证：

如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

解　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：

a∥l.

证明：

如图所示，

过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.

又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.

又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.

又∵a∥b，∴a∥l.

规律方法　线∥面

线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

跟踪演练1　若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

解　已知：

a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.

求证：

a∥b∥l.

证明：

如图所示，

∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，

∴a∥b∥l.

要点二　面面平行的性质定理的应用

例2　已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：

MN∥平面α.

证明　

（1）若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.

∵α∥β，∴AC∥BD.

又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.

又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.

（2）若AB、CD异面，

如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.

∵AE∥CD.

∴AE、CD确定平面AEDC.

则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.

又P、N分别为AE、CD的中点，

∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.

同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，

∵AB、CD异面，∴MP、NP相交．

∴平面MPN∥平面α.

又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.

规律方法　1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．

2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．

跟踪演练2　如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点（不在α与β之间），直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.

（1）求证：

AC∥BD；

（2）已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．

（1）证明　∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.

（2）解　由

（1）得AC∥BD，∴

＝

，∴

＝

，∴CD＝

（cm），∴PD＝PC＋CD＝

（cm）．

要点三　平行关系的综合应用

例3　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：

GH∥平面PAD.

证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.

∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，

∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，

OM⊂平面BDM，

∴PA∥平面BMD，

又∵PA⊂平面PAHG，

平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，

∴GH∥平面PAD.

规律方法　1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行．

2．在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面．

跟踪演练3　

如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：

CD∥平面EFGH.

证明　由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，

平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.

又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.

1．已知：

α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是（　　）

A．a∥bB．a⊥b

C．a，b相交但不垂直D．a，b异面

答案　A

解析　利用结论：

若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行．

2．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是（　　）

A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

答案　D

解析　由面面平行的性质定理知D正确．

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行

C．存在无数多条直线与a平行

D．存在唯一一条直线与a平行

答案　D

解析　设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.

4．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________．

答案　平行

解析　由直线与平面平行的性质定理知l∥m.

5．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．

答案　12

解析　两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以

＝

，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.

1．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：

“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

一、基础达标

1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是（　　）

A．平行B．异面

C．相交D．平行或异面或相交

答案　D

解析　如图

（1），

（2），（3）所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．

2．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，在平面α内

C．有两条，不一定都在平面α内

D．有无数条，不一定都在平面α内

答案　B

解析　

如图所示，

∵l∥平面α，P∈α，

∴直线l与点P确定一个平面β，

α∩β＝m，

∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．

3．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A．EF与BC相交B．EF与BC平行

C．EF与BC异面D．以上均有可能

答案　B

解析　由线面平行的性质定理可知EF∥BC.

4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）

A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

答案　B

解析　∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，

平面PAD∩平面PAC＝PA，

∴MN∥PA.

5．下列说法正确的是（　　）

A．平行于同一条直线的两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行

答案　B

解析　平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．

6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

答案　平行

解析　由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．

7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．

解　l∥A1C1

证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.

又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，

∴A1C1∥l.

二、能力提升

8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（　　）

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

答案　D

解析　∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．

（1）若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…

∴a，b，c，…这些交线都平行．

（2）若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确．

9.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E、F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.

答案　

解析　EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.

又

＝

，∴EF＝

＝

＝

.

10.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则

＝________.

答案　

解析　由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，

由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，

∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，

从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，

＝

2＝

2＝

.

11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.

求证：

N为AC的中点．

证明　∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形，

∴AN＝C1M＝

A1C1＝

AC，

∴N为AC的中点．

三、探究与创新

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？

如果能，求出截面的面积．

解　能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，

∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，

PC1∥MC，PC1＝MC.

∴四边形A1MCN是平行四边形，

又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，

A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，

∴平面A1MCN∥平面PBC1，因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．

连接MN，作A1H⊥MN于点H，

∵A1M＝A1N＝

，MN＝2

，∴A1H＝

.

∴S△A1MN＝

×2

×

＝

.

故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2

.

13．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

（1）求证：

l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

解　法一　

（1）证明：

因为BC∥AD，

BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，

所以BC∥l.

（2）平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.

可知四边形AMNE为平行四边形．

所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.

法二　

（1）证明：

由AD∥BC，AD⊄平面PBC，

BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.

（2）设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，

则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，

所以平面MNQ∥平面PAD.

MN⊂平面MNQ，

所以MN∥平面PAD.