平面向量知识点+例题+练习+答案doc.docx

平面向量知识点+例题+练习+答案doc.docx

《平面向量知识点+例题+练习+答案doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量知识点+例题+练习+答案doc.docx（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

平面向量知识点+例题+练习+答案doc

平面向量知识点+例题+练习+答案

..五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

　　向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。

]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：

（1）几何表示法：

　　用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：

　　用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

　　（3）坐标表示法：

　　在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。

　　如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：

　　向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？

（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：

　　（3,0））②零向量[长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。

由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。

（与共线的单位向量是）；

　　④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：

　　①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

　　②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：

　　两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

　　③平行向量无传递性！

（因为有）；

　　④三点共线共线；

　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

　　⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。

大小相等，方向相同。

⑥相反向量：

　　长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如下列命题：

（1）若，则。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若，则是平行四边形。

（4）若是平行四边形，则。

（5）若，则。

（6）若，则。

其中正确的是_______（答：

　　（4）（5））2．向量的运算

（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设，则+==。

[规定：

（1）；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

　　向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；

　　差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；

　　当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

　　，但这时必须“首尾相连”。

（2）向量的减法①相反向量：

　　与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

　　记作,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：

　　（i）=；

　　（ii）+（）=（）+=；

　　（iii）若、是互为相反向量，则=,=,+=。

　　-五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

　　向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。

]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：

（1）几何表示法：

　　用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：

　　用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

　　（3）坐标表示法：

　　在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。

　　如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：

　　向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？

（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：

　　（3,0））②零向量[长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。

由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。

（与共线的单位向量是）；

　　④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：

　　①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

　　②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：

　　两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

　　③平行向量无传递性！

（因为有）；

　　④三点共线共线；

　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

　　⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。

大小相等，方向相同。

⑥相反向量：

　　长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如下列命题：

（1）若，则。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若，则是平行四边形。

（4）若是平行四边形，则。

（5）若，则。

（6）若，则。

其中正确的是_______（答：

　　（4）（5））2．向量的运算

（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设，则+==。

[规定：

（1）；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

　　向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；

　　差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；

　　当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

　　，但这时必须“首尾相连”。

（2）向量的减法①相反向量：

　　与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

　　记作,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：

　　（i）=；

　　（ii）+（）=（）+=；

　　（iii）若、是互为相反向量，则=,=,+=。

　　：

向量的模例13．

（1）已知向量与的夹角为，则等于（）A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1

（2）设向量满足,,则（）A．1B．2C．4D．5解析：

（1）B；

（2）D；

　　点评：

　　掌握向量数量积的逆运算，以及。

题型9：

　　向量垂直、平行的判定例14．已知向量，，且，则。

　　解析：

　　∵，∴，∴，∴。

例15．已知，，，按下列条件求实数的值。

（1）；

（2）；

　　。

解析：

　　[来源:

学,科,网]

（1）；

（2）；

　　。

点评：

　　此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

　　9.练习题：

　　1．化简得（D）A．B．C．D．

　　2、已知向量则的坐标是（B）A．B．C．D．

　　3、已知向量（D）A．B．C．D．

　　4、若，与的夹角是，则等于（C）A．12B．C．D．5．已知平面向量，，且，则（C）A．B．C．D．

　　6、下列向量中，与垂直的向量是（C）A．B．C．D．

　　7、已知且∥，则x等于（C）A．3B．C．D．

　　8、若则与的夹角的余弦值为（B）A．B．C．D．

　　9、设，，且，则锐角为（D）A．B．C．D．

　　10、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（C）A．B．C．D．11．已知下列命题中：

（1）若，且，则或，

（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则其中真命题的个数是（C）A．B．C．D．12．若=，=，则=___（-

（1）B；

（2）D；

　　点评：

　　掌握向量数量积的逆运算，以及。

题型9：

　　向量垂直、平行的判定例14．已知向量，，且，则。

　　解析：

　　∵，∴，∴，∴。

例15．已知，，，按下列条件求实数的值。

（1）；

（2）；

　　。

解析：

　　[来源:

学,科,网]

（1）；

（2）；

　　。

点评：

　　此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

　　9.练习题：

　　1．化简得（D）A．B．C．D．

　　2、已知向量则的坐标是（B）A．B．C．D．

　　3、已知向量（D）A．B．C．D．

　　4、若，与的夹角是，则等于（C）A．12B．C．D．5．已知平面向量，，且，则（C）A．B．C．D．

　　6、下列向量中，与垂直的向量是（C）A．B．C．D．

　　7、已知且∥，则x等于（C）A．3B．C．D．

　　8、若则与的夹角的余弦值为（B）A．B．C．D．

　　9、设，，且，则锐角为（D）A．B．C．D．

　　10、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（C）A．B．C．D．11．已知下列命题中：

（1）若，且，则或，

（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则其中真命题的个数是（C）A．B．C．D．12．若=，=，则=___（：

与互相垂直；21．已知与，问当实数的值为多少时最小。

　　22．已知向量，向量，则的最大值是4．

　　10、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），特别地，当同向或有；

　　当反向或有；

　　当不共线（这些和实数比较类似）.（3）在中，①若，则其重心的坐标为。

　　如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-21．已知与，问当实数的值为多少时最小。

　　22．已知向量，向量，则的最大值是4．

　　10、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），特别地，当同向或有；

　　当反向或有；

　　当不共线（这些和实数比较类似）.（3）在中，①若，则其重心的坐标为。

　　如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（：

）；

　　②为的重心，特别地为的重心；

　　③为的垂心；

　　④向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

　　⑤的内心；

　　（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；

　　（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：

　　直线AB）word教育资料达到当天最大量APIKEY超过次数限制