高中数学平面解析几何初步经典例题.docx

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高中数学平面解析几何初步经典例题

高中数学平面解析几何初步经典例题

  直线和圆的方程

  一、知识导学

  1．两点间的距离公式:

不论A（x1，y1），B（x2，y2）在坐标平面上什么位置，都有22d=|AB|=（x1x2）（y1y2），特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2－x1|或

  |AB|=|y2-y1|.

  2．定比分点公式:

定比分点公式是解决共线三点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以

  xA为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是y

  x1x2x2λ=1，此时中点坐标公式是.yy2y12x1x21.当P点为AB的中点时，y1y21

  3．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.

  4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

直线方程的形式很多，但必须注意各种

  k2≠-1时，5．两条直线的夹角。

当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·tanθ=k2k1，1k1k2

  当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：

“到角”公式与“夹角”公式的

  1

  区别.

  6．怎么判断两直线是否平行或垂直？

判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.

（1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶yk1xb1，l2∶yk2xb2，有以下结论：

①l1∥l2k1=k2，且ｂ1＝ｂ2

  ②l1⊥l2k1·k2=-1

（2）对于直线l1∶A1xB1yC10，l2∶A2xB2yC20，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：

  ①l1∥l2A1B1C=≠1A2B2C2

  ②l1⊥l2A1A2+B1B2=0

  ③l1与l2相交A1B≠1A2B2

  A1B1C1==A2B2C2④l1与l2重合

  7．点到直线的距离公式.

（1）已知一点P（x0,y0）及一条直线l：

AxByC0，则点P到直线l的距离

  d=|Ax0By0C|

  AB22；

（2）两平行直线l1:

AxByC10，l2:

AxByC20之间的距离d=|C1C2|

  AB22.

  8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系

（1）圆的标准方程：

（xa）2（yb）2r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；

  22

（2）圆的一般方程：

x2y2DxEyF0（DE4F＞0），圆心坐标

  DED2E24F为（-，-），半径为r=.222

  2

  二、疑难知识导析

  1．直线与圆的位置关系的判定方法.

（1）方法一直线：

AxByC0；圆：

x2y2DxEyF0.

  AxByC0判别式消元一元二次方程222△b4acxyDxEyF0△0相交△0相切

  △0相离

（2）方法二直线:

AxByC0；圆：

（xa）2（yb）2r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=|AaBbC|

  A2B2dr相离dr相切

  dr相交

  2．两圆的位置关系的判定方法.

  设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：

|O1O2|>r1+r2两圆外离；

  |O1O2|=r1+r2两圆外切；

  |r1-r2|<|O1O2|

  |O1O2|=|r1-r2|两圆内切；

  0<|O1O2|<|r1-r2|两圆内含.

  三、经典例题导讲

  ［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.

  错解：

设直线方程为:

xy231,又过P（2,3）,∴1,求得a=5abab

  xy1的条件是:

a≠0且b≠0,本题忽略了ab0这一情ab

  303,202∴直线方程为x+y-5=0.错因：

直线方程的截距式:

形.正解：

在原解的基础上,再补充这样的过程:

当直线过（0,0）时,此时斜率为:

k

  ∴直线方程为y=3x2

  3x.2综上可得:

所求直线方程为x+y-5=0或y=

  ［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A（1,3）的距离的平方,求动点P的轨迹方程.

  错解：

设动点P坐标为（x,y）.由已知3x（x1）（y3）,

  化简3x=x-2x+1+y-6y+9.2222

  当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0.①22

  3

  当x＜0时得x+x+y-6y+10=0.②

  错因：

上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得522112322

  （x-）+（y-3）①和（x++（y-3）=-②2424两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.

  52211222

  正解：

接前面的过程,∵方程①化为（x-+（y-3）=方程②化为（x+）+（y-3）=-

  242352212

  由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:

（x-）+（y-3）=424（x≥0）

  2222

  ［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m+m-1）x+（m-m+2）y+m+2=0的图象表示一个

  圆？

  22

  错解：

欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

  222

  得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，

  22

  ∴当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆

  22

  错因：

A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：

  F

  A=C≠0＜0.

  A

  正解：

欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

  222

  得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，

  22

（1）当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去.

  22221

（2）当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y=原方程的图形表示圆.

  14

  2

  2

  22

  ［例4］自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆22

  x+y-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.

  错解：

设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A′（-3，-3），于是L′过A（-3，-3）.

  设L′的斜率为k，则L′的方程为y-（-3）＝k［x-（-3）］，即kx-y+3k-3＝0，

  22

  已知圆方程即（x-2）+（y-2）＝1，圆心O的坐标为（2，2），半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

  2k23k3

  2

  5k5

  2

  1

  k1k1即

  2

  整理得12k-25k+12＝0

  解得k＝

  44

  L′的方程为y+3＝（x+3）33

  即4x-3y+3＝0因L和L′关于x轴对称

  故L的方程为4x+3y+3＝0.错因：

漏解

  正解：

设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A′（-3，-3），于是L′过A（-3，-3）.

  设L′的斜率为k，则L′的方程为y-（-3）＝k［x-（-3）］，即kx-y+3k-3＝0，

  22

  已知圆方程即（x-2）+（y-2）＝1，圆心O的坐标为（2，2），半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

  2k23k3

  2

  5k5

  2

  1

  k1k1即

  2

  整理得12k-25k+12＝0

  解得k＝

  43或k＝34

  43

  L′的方程为y+3＝（x+3）;或y+3＝（x+3）。

  34

  即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

  因L和L′关于x轴对称

  故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.

  ［例5］求过直线x2y40和圆x2y22x4y10的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

（1）过原点；

（2）有最小面积.

  解：

设所求圆的方程是：

xy2x4y1x2y40

  2

  2

  即：

xy2x22y140

  2

  2

（1）因为圆过原点，所以140，即

  故所求圆的方程为：

xy

  2

  2

  1

  4

  77

  xy0.42

  2

（2）将圆系方程化为标准式，有：

  25242

  xy2

  2455

  当其半径最小时，圆的面积最小，此时

  2

  2

  2

  为所求.5

  2

  484

  故满足条件的圆的方程是xy.

  555

  点评：

（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待

  定系数法。

（2）面积最小时即圆半径最小。

也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.

  ［例6］（06年辽宁理科）已知点A（x1,y1），B（x2,y2）（x1x2≠0）是抛物线y2px（p0）上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为xy（x1x2）x（y1y2）y0

（1）证明线段AB是圆C的直径；

（2）当圆C的圆心到直线x2y0的距离的最小值为

  2

  2

  2

  2时，求p的值.5

  解：

（1）证明∵｜OAOB｜＝｜OAOB｜，∴（OAOB）＝（OAOB），整理得：

OAOB＝0∴x1x2＋y1y2＝0

  设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MAMB＝0即（xx1）（xx2）＋（yy1）（yy2）＝0整理得：

x2y2（x1x2）x（y1y2）y0故线段AB是圆C的直径.

（2）设圆C的圆心为C（x,y），则

  22

  x1x2x2

  yy1y22

  ∵y12px1，y22px2（p0）

  2

  2

  yy2∴x1x212

  4p

  又∵x1x2＋y1y2＝0，x1x2＝－y1y2

  22

  yy2

  ∴－y1y212

  4p

  ∵x1x2≠0，∴y1y2≠0∴y1y2＝－4p

  2

  22

  x

  x1x21112222

  （y1y2）（y1y22y1y2）y1y224p4p4p

  ＝

  1

  （y22p2）p

  2

  2

  所以圆心的轨迹方程为ypx2p设圆心C到直线x2y0的距离为ｄ，则

  ＝

  |x2y|

  5

  |

  12

  （y2p2）2y|p

  |（yp）2p2|

  5p

  当y＝p时，ｄ有最小值∴p＝2.

  四、典型习题导练

  p，由题设得

  p＝

  25

  5

  1．直线xy20截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为（）

  A.

  ππππ

  6432

  2

  2

  222.已知直线x=a（a＞0）和圆（x-1）+y=4相切，那么a的值是

  （）

  A.5B.4C.3D.23.如果实数x、y满足等式（x-2）+y＝３，则

  2

  2

  y

  的最大值x

  为：

.

  22

  4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x+y-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为

  1

  .3

（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；

（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；

  （3）如果ABCD的外接圆半径为25，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.

  5.如图，已知圆C：

（x+4）+y=4。

圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。

圆D与y轴交于A、B两点，点P为（-3，0）.

（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；

  （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？

如果存在，求22

  坐标；如果不存在，说明理由

  .

  出点Q