因式分解法.docx

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因式分解法

22.2.5解一元二次方程（因式分解法）

教学内容

用因式分解法解一元二次方程．

教学目标

掌握用因式分解法解一元二次方程．

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：

用因式分解法解一元二次方程．

2．难点与关键：

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法）

（2）3x2+6x=0（用公式法）

老师点评：

（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为

，

的一半应为

，因此，应加上（

）2，同时减去（

）2．

（2）直接用公式求解．

二、探索新知

（学生活动）请同学们口答下面各题．

（老师提问）

（1）上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？

（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

因此，上面两个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0

（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是

（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-

．

（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

例1．解方程

（1）4x2=11x

（2）（x-2）2=2x-4

分析：

（1）移项提取公因式x；

（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式

解：

（1）移项，得：

4x2-11x=0

因式分解，得：

x（4x-11）=0

于是，得：

x=0或4x-11=0

x1=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0

因式分解，得：

（x-2）（x-2-2）=0

整理，得：

（x-2）（x-4）=0

于是，得x-2=0或x-4=0

x1=2，x2=4

例2．已知9a2-4b2=0，求代数式

的值．

分析：

要求

的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．

解：

原式=

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=-

b或a=

b

当a=-

b时，原式=-

=3

当a=

b时，原式=-3．

三、巩固练习

教材P45练习1、2．

四、应用拓展

例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0

（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

分析：

二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．

解

（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）

∴（x-4）（x+1）=0

∴x-4=0或x+1=0

∴x1=4，x2=-1

（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）

∴（x-6）（x-1）=0

∴x-6=0或x-1=0

∴x1=6，x2=1

（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）

∴（x+5）（x-1）=0

∴x+5=0或x-1=0

∴x1=-5，x2=1

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

五、归纳小结

本节课要掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系①降次，即它的解题的基本思想是：

将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：

①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

六、布置作业

教材P46复习巩固5综合运用8、10拓广探索11．

第六课时作业设计

一、选择题

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=

，x2=

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x两边同除以x，得x=1

2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．

A．-

B．-1C．

D．1

二、填空题

1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．

3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

三、综合提高题

1．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0

（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？

（其中a≥20m）

答案:

一、1．B2．A3．D

二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5）

2．x1=

，x2=1

3．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8

三、1．

（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2

（2）（5y）2-42=0（5y+4）（5y-4）=0，y1=-

，y2=

（3）（x-14）（x+2）=0x1=14，x2=-2

（4）（x-7）（x-5）=0x1=7，x2=5

2．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1

3．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150

2x2-35x+150=0

（2x-15）（x-10）=0，

x1=7.5，x2=10，

当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，

当宽x=10时，长为15，

因a≥20m，两根都满足条件．

《一元二次方程的的解法—因式分解法》教学设计

                                 西安市第４６中学　　王俭妮　　王爱武

一、教学内容分析

   本节课选自九年级上册《一元二次方程的的解法》一章，在初中数学新课程标准中，关于一元二次方程的要求是：

理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

课本重点讲配方法，因为它是初中需要掌握的三种重要的数学方法之一。

对九年级的学生来说，部分学生会进入高中继续学习，但高中数学对学生的要求会更高，教材中许多题目用因式分解法比较简单，虽然都可以用万能法—公式法解。

作为老师也比较矛盾，一方面不能增加学生的负担，另一方面还要为学生的进一步发展考虑，于是，我和王爱武老师沟通并合作设计了这节课，不到之处敬请批评指正。

二、学情分析与学法指导

   对于一元二次方程的解法学生基本掌握。

大多数学生喜欢用求根公式，但存在的问题是部分学生根式的化简不熟练导致方程的求解不彻底。

在本节初三复习课中，结合学生的实际，让学生通过复习教材，完成课前导学知识，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.。

三、设计意图

1．设计课前导学旨在引导学生逐步养成自主预习的学习习惯，有针对性的学习课本；

2．设计答疑解惑环节旨在结合学生自主预习中找出的疑惑点，更有针对性的解答学生的疑惑；

3．设计回顾反思环节旨在逐步引导学生及时总结规律方法，逐步养成解题后反思的学习习惯。

4．设计补充十字相乘法旨在渗透初高中衔接的相关内容。

四、教学三维目标

知识与技能：

1．复习因式分解的几种方法；

２．学会用因式分解的几种方法解一元二次方程；

3．了解十字相乘法，体会它实质是二项式乘法的逆过程；

４．学习含字母的因式的分解。

过程与方法：

  通过课前导学及时复习因式分解，在课堂探究中让学生进一步体会因式分解法解一元二次方程的过程及特点。

情感态度价值观：

   通过课前导学培养学生自学的习惯，通过解含字母的一元二次方程，给学生渗透分类讨论的数学思想方法。

五、教学重点、难点：

重点：

用因式分解的几种方法解一元二次方程

难点：

对十字相乘法的理解，含字母的一元二次方程的解法

六、教学过程

                      课前导学（落实基础）

一、基础梳理

1． 学过的因式分解有哪几种

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七、课后反思

   在上《一元二次方程的的解法》复习课时，因为时间关系和学生的基础，部分知识已遗忘的情况下，要求学生一步一个脚印，扎扎实实搞好基础知识的复习。

这几节课采用的方法是预习与讲练结合的方法，让学生自己先复习，因为复习课讲的内容基本上是学生已学过的知识，布置学生预习，设计课前导学、答疑解惑可以发挥学生的主动性。

学生通过预习，课前导学的演练，加深了对已有知识的理解，在课堂探究时老师讲解典例分析，例题的选择要有针对性。

即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。

  教师以提问填空的形式归纳知识点，讲透知识点的运用，应注重基础知识的过关，在复习过程中，还要采取一些必要的措施来巩固和增强复习效果。

根据复习内容，布置适量的难度适中的练习；在练习中进一步形成知识结构，提高学生运用知识解决问题的能力，发展学生的思维能力。

在练习时要注意控制难题，把练习的重点放在重要和关键的知识点上。

对复习过程中暴露出来的问题还要做到“有讲有练，精讲多练”，循序渐进，由浅入深，由简到繁。

精心设计教学程序，合理安排讲练时间。

  这节课上之后，感觉到学生在理解和掌握解含参数的一元二次方程时有一些困难，部分学生不会对参数进行讨论，课堂气氛不活跃，在今后的教学中，可以适当穿插和高中联系密切的知识点，为学生的后续学习做渗透和铺垫。

下来再利用一节课讲解和练习巩固。

在今后的教学中，还应该在课前导学设计时，考虑到不同层次的学生。