数值分析试题集.docx
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数值分析试题集
数值分析试题集
（试卷一）
一（10分）已知％=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，判断x-ix2及x1-x2
有几位有效数字。
二（10分）由下表求插值多项式
X
0
1
2
y
2
3
4
Fy
1
-1
三（15分）设f（x）・C4［a,b］，H（x）是满足下列条件的三次多项式
H（a）二f（a）,H（b）二f（b）,H（c）=f（c）,H（c）二f（c）（a：
：
：
c：
：
b）
求f（x）-H（x），并证明之。
1
四（15分）计算，:
=10』。
o1+X
五（15分）在［0，2］上取X。
=0,X1=1,X2=2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代
数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型y■=■・y,■：
■0，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（15分）求方程x34x2-7x-1=0在-1.2附近的近似值，；=10"。
（试卷二）
一填空（4*2分）
1{k（x）}k£是区间［0，1］上的权函数为'（x）=x2的最高项系数为1的正交多项式族，其中
1
0（x）=1，贝y.X0（x）dx=，1（X）工
0
2aJ：
；［则||A「一—
仙二
'a+12
3设「_1J，当a满足条件
时，A可作LU分解。
32***
4设非线性方程f（x）二（x-3x-3x-1）（x•3）=0，其根&=-3,他=-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。
广1—0.5a'
二（8分）方程组AX=b，其中A=—0.52-0.5，X,R3
l-a-0.51』
1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代
收敛最快？
2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。
"V"=f（Xy）
三（9分）常微分方程初值问题丿'的单步法公式为yn*=yn」+2hf（xn,yn），求该
、、y°=y（x°）
公式的精度。
四（14分）设AX=b为对称正定方程组
1求使迭代过程Xk1二Xk•〉（b-A・Xk）收敛的数〉的变化范围；
『2-1-1、
、1、
『0、
2用此法解方程组
-120
-
X2
=
1
L10
（取初值X。
=（1,1,1）T，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）
（试卷三）
on
一设A=，求A的谱半径P（A），范数为1的条件数cond（A）1。
（—51丿
设f（x）=3x25,xi=i,（i=0,1,2，…），分别计算该函数的二、三阶差商
f[Xn,xn1
x2],
f[xn,Xn1
xn'2,xn'3]
若定义||x
若定义11X||二
2
-1
-1
x13x2
-1
2
0
X3，问它又是不是一种向量范数？
请说明理由。
-1
0,将矩阵分解为
1」
A二LU，其中L是对角线元素lH0（^1,2,3）的
设向量x=（%,X2,X3）t
X"+2x2+x3,问它是不是一种向量范数？
请说明理由。
、2
五设有解方程12-3x2cosx=0的迭代法xn1=4亠cosxn
3
1证明：
对任意x0三（-：
：
：
：
），均有limXn=x（x为方程的根）;
2取X。
=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10；，列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六对于求积公式
111
f（x）dx：
3【2f（4）
-f（!
）2f
2
1求该求积公式的代数精度；
2证明它为插值型的求积公式。
（试卷四）
一填空题（每空5分，共25分）
位有
1设精确值为x=0.054039412，若取近似值x^0.05410281，该近似值具有效数字。
2
2设f（x）=3x5，Xi=i（i=0,1,2,），则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]
（11、
3A=，贝UP（A）=。
51丿
L是对角线元
勺+12"T亠
4设A=，当a满足条件时，必有分解式A=LL，其中
'、、a4丿
素为正的下三角阵。
1
1211123
5求积公式f（x）d^-f（—）_一f（—）•_f（—）的代数精度为。
0343234
二（10分）设f（X）•C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P（x），使得
p（0）=f（0）=1,p
（1）=f
（1）=e,p
（1）=f
（1）=e
三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
b
f（x）dx:
a
b「aI
f（a）f（b）
（b-a）2
12
1f（b）-f（a）
且其余项为
「窘宀）（（a®）2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
Xnh2
f（X）dX：
「f（Xn）-f（Xo）1
xo12
这里：
Tn=h」f（Xo）f（X!
）f（xnjp-f（Xn）,Xi
IL22
四（15分）试确定系数：
•，[,，使微分方程的数值计算公式
yi•（ynjyn）hy.」yn）
具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：
Ynj=y（Xn_1）,yn=Y（Xp））
32
五（15分）方程X-X-1=0在X。
=1.5附近有根，对于给定的迭代关系式
1
Xk1=1兀，试问：
Xk
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
广1
-0.5
a、
「1、
六（15分）方程组AX=b，其中A=
-0.5
2
-0.5
，b=
2
-0.5
1>
L丿
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的
a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：
数值实验的数据请以列表形式写出。
）
（试卷五）
一填空题（每空5分，共25分）
1已知x1=1.3409，x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几
位。
2
2设f（x）=3x5，Xi=i（i=0,1,2,），则二阶差商f[Xn,Xn1,Xn2H。
‘11、
3A=，则IIA||1=。
心1丿
a+12、
4设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。
T4丿
n
5设Xi（i=0,1,2,,n）是互异节点，对于k=0,1,2厂，n，、x：
li（x）二。
i=0
二（10分）由下表求插值多项式
X
0
1
2
y
2
3
4
三（25分）1设f（x）在〔a,b1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
f（x）dx
a
f（a）（b-a）f（a）（b一a）
2
f（a）
（b-a）3
6
2利用这个公式推导以下复化求积公式
xn
f（x）dxTn
xo
f（xn）-f（X。
）1
二x。
ih,h=
这里：
Tn-h2f（X。
）f（xjf（Xn」）2f（Xn）,Xi
2
dx
i
3对于给定精度＜-10-4，利用上述求积公式Tn，选取合适的求积步长h，计算I二e
0
的近似值。
四（10分）常微分方程初值问题
y二f（x,y）
y。
=y（x°）
的数值公式为
yn1二2头一yn」—hf（Xn，yn）,
求该公式的精度。
2
五（15分）设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xnd-4-cosxn
3
1证明：
对任意X。
•（-==<=），均有limxn二x*（x*为方程的根）；
n—^c
2取xo=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10"，列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六（15分）设方程组
|5x12x2x3--12
-x14x22x3二20
2x1-3x210x3=3
1给出雅可比迭代算式；
2说明其收敛性；
3取初始向量X。
=（0,0,0）T，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：
数据请以列表形式写出。
）
/、_4、/A、》\
（试卷八）
一填空题（每空5分，共25分）
1已知x1=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几
位。
2设f（x）-3x25,Xj=i（i=0,1,2,），则二阶差商f[xn,xn1,xn.2^。
A门
3a=51，则||A||严。
<51丿
a+12、
4设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。
n
5设Xi（i=0,1,2,,n）是互异节点，对于k=0,1,2厂，n,、x：
li（x）二。
i=0
二（10分）由下表求插值多项式
x
0
1
2
y
2
3
4
y
1
-1
（25分）1设f（x）在〔a,b1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
b23
（b—a）（b—a）
f（x）dx：
f（a）（b-a）f（a）f（a）-
a26
2利用这个公式推导以下复化求积公式
Xnh2
f（X）dx：
「—If（Xn^f（Xo）I
xo6
f（xo）f（xi）中（—。
M好
1
3对于给定精度•；：
=10一4,利用上述求积公式Tn,选取合适的求积步长h，计算I=.e
0
的近似值。
hf（xn，yn），
位有
L是对角线元
y'=f（x,y）
四（10分）常微分方程初值问题丿y'"的数值公式为yn出=2yn—ynJL
iy。
=y（x°）-
求该公式的精度。
2
五（15分）设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xn.1=4-cosxn
3
1证明：
对任意X。
•（-二，二），均有limxn二x*（x*为方程的根）；
n—^c
2取xo=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10"，列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六（15分）设方程组
|5x12x2x3--12
-x14x22x3二20
2x1-3x210x3=3
1给出雅可比迭代算式；
2说明其收敛性；
3取初始向量X。
=（0,0,0）T，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：
数据请以列表形式写出。
）
/、_4、/A、》\
（试卷八）
一填空题（每空5分，共25分）
1设精确值为x=0.054039412，若取近似值X*=0.05410281,该近似值具有效数字。
2
2设f（x）=3x5,Xi=i（i=0,1,2,），则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]
'11、
3A=，则P（A）=。
<51丿
a+12、T
4设A=，当a满足条件时，必有分解式a=llt，其中
素为正的下三角阵。
1
1211123
5求积公式If（x）dxf（）f（）f（）的代数精度为。
0343234
二（10分）设f（X）•C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P（x），使得
p（0）=f（0）=1,p
（1）=f
（1）=e,p
（1）=f
（1）=e
三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
f（x）dx：
b「|_f（a）.f（b）l〔f（b）—f（a）1
a212
且其余项为
喘宀）（（a，b））
2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
Xnh2
f（x）dxTn---If（xn^f（Xo）1
x012
--b—a
这里：
Tn二h—f（Xo）f（Xi）f（Xn』）-f（Xn）,Xi=Xoih,h=
IL22n
四（15分）试确定系数〉，一：
，，使微分方程的数值计算公式
y1「（yn」yn）h（1〕n」yn）
具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：
YnJ-y（Xn_i）,yn=Y（Xn））
QQ
五（15分）方程X-X-1=0在X。
=1.5附近有根，对于给定的迭代关系式
1
Xk1—，试问：
Xk
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
r1
-0.5
a、
『1、
六（15分）方程组AX=b，其中A=
-0.5
2
-0.5
，b=
2
i—a
-0.5
1丿
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的
a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：
数值实验的数据请以列表形式写出。
）
（试卷七）
一填空题（每空4分，共24分）
1已知石=1.3409，x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几
位。
'a十12、
2设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。
IT4丿
3设非线性方程f（x）=（X3-3x23x-1）（x•3）=0，其根x1=-3，x2=-1，则求x1的
近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。
'21\
4设4，则丨A「二，P（A）=。
8dx1
2X2
取个结点。
5用积分21n2计算In2，为使误差的绝对值不超过10^，问用复化梯形公式至少要
（21分）设f（x）•C5[0,2]，插值条件如下表
x
0
1
2
y
2
3
4
yH
1
-1
1给出满足上述插值条件的插值多项式P（x）；
2求其余项f（x）-P（x）；
3给出f（0.5），f（1.5）的近似值。
（25分）设f（x）C2[a,b]
b
推导中矩公式.f（x）dx=（b-a）f
（a,b）；
导出复化中矩公式;
利用复化中矩公式，计算定积分
1
务e
■:
0
’dx（精度为；=10一4，
并将各次复化的计算结果
排成一张数据表）。
四（15分）求常数A、B、C、
D，使解微分方程初值问题
y=f（x,y），y（xo）=yo
的下列数值计算公式
（1）
yn1=A7n4h（Byn1C7nDyn」）
yn1=f（Xn1,yn1）
Yn=f（XnS
=f（Xn」，yn」）
的局部截断误差尽可能地高（假设
（1）式右端所用信息均为准确的）。
五（15分）设AX-b为对称正定方程组
1求使迭代过程Xk1=Xk•〉（b-A・Xk）收敛的数：
•的变化范围;
『2-1-1、
『0、
2用此法解方程组
-120
-
X2
=
1
1-101」
<0>
（取初值X。
=（0.5,0.6,1）T，给出前6次迭代的数据表）
第1问提示：
考虑使迭代矩阵G=\-1A的范数G2：
：
：
1的］取值。
（试卷八）
一（15分）已知精确值为x二0.054039412，若取近似值0.05410281，试问该近似值具有几位有效数字。
（15分）方程X-X-—O在Xo^1*5附近有根，对于给定的迭代关系式
Xk1=1•飞，试问：
Xk
1、该迭代是否收敛？
2、若收敛，估计收敛速度。
（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式L2（x）
x31
y42
四（20分）在［—1，1］上，取节点Xo--1,儿=0%T，构造插值型求积公式，并
求它的代数精度
五（15分）写出线性方程组
|2-d—1
-120
-121一
的雅可比迭代式六（20分）试确定系数:
，使微分方程的数值计算公式
Yn1二：
（Yn-1Yn）h（：
丁n_1Yn）
具有尽可能高的局部截断误差
（符号说明：
Yn
Y（Xn_1）,Yn二Y（Xn））
（试卷九）
填空题（每空4分，共24分）
X2_X2
-110心，从而
2
（+X2）—（X[+X2）兰x〔一+X?
—x?
故X1X2具有4位有效数字。
A可作LU分解。
2、
，当a满足何条件时,
4丿
若a=a1=0，A2=4（a1）2=0，即:
a=-1,a=-3，则A可作LU分解。
2
qr\***
3设非线性方程f（x）=（x-3x•3x-1）（x•3）=0，其根X1--3，X2--1，则求为的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。
32
f（x）=（x-1）（x3），f（x）=（x-1）（4x8），其迭代式为
Xn1•二Xn
区-呱3）
4xn+8.
Xn1
2
3xn6xn3
4Xn8
Xn1
4-3）二
3（Xn-（-3））2
4Xn8
，故en1
2
Xn1_（_3）
（Xn-（-3））2
-3（n>
4
二）
因此，上述迭代为二阶局部收敛的
{21
4设A=“'，求||A|口P（A）。
1_14丿
hL=—1+4=5，IA亠”||=（3-九）2，P（A）=3
8dx
5用积分—
2x
=2ln2计算In2，为使误差的绝对值不超过
110*，问用复化梯形公式至少要
2
取多少个结点。
h=6，取结点Xi=2ih（^0,1,…,n），作复化梯形求积公式「，其误差为
n
2ln2-Tn=
5o52153
茨「欲使256h^210，取心610，
GQ
-<1610”，n_3103，结点个数n-375即可。
n8
二（21分）设f（x）•C5[0,2]，插值条件如下表
X
0
1
2
y
2
3
4
1给出满足上述插值条件的插值多项式P（x）；
2求其余项f（x）-P（x）;
3给出f（0.5）,f（1.5）的近似值。
设P（x）
e=2，
令:
:
」（t）二f（t）
abcde=3，16a8b4c2de=4，d=1,32a12b4cd=-1
二ax4bx3cx2dxe，利用插值条件可得线性方程组
22
—P（t）—k（x）t（t_1）（t_2），其中k（x）使:
:
』（x）=0,x为异于0，1,2的点
G（t）在0，1，2，x四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，G（t）在［0，2］上有五个互
异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0,2）上，至少存在一点'，使门⑸「）=0，亦即
f（5）（匕）
f（x）-P（x）
f（5）（）
5!
x2（x-1）（x-2）2
（0,2）
0»：
」（5）（）=f（5）（）—o—k（x）5!
，故k（x）二（）
在函数库中建立插值多项式，可求得
77121
f（0.5）:
P（0.5）2.40625，f（1.5）:
P（1.5）3.78125
3232
三（25分）设f（x）C2[a,b]
推导中矩公式
b
f（x）dx=（b-a）f
a
24
（b-a）3
（a,b）；
2导出复化中矩公式；
1
2_2
3利用复化中矩公式，计算定积分.e^dx（精度为；=10亠，并将各次复化的计算结果
、二0
排成一张数据表）。
f（x）二f
勺+b〕+
<2丿
心）
1!
f（）ab2
Qi2）2
b
两边积分有f（x）dx
a
二（b「a）f
a+fB（b_a）3
24
b-a
h，取结点Xi
n
复化中矩公式为Rn二h'，
i=0
f（xi1），其中xi
2
h，截断误差为
2
h2
2乂⑹-®
欲计算定积分2e
丁兀0
这里
，f（x）-
4_x2
Txe，
h2
□
24
el0]=
h2
6e.■:
22
hh
I-Rn
6x3x236
h2
欲使一：
:
:
10一4，即
36
h：
：
610
_221
，可取h=510阪
b-a口=20
1/20
2
（i1/2）
'400
Xj=ih（i=0,1,,20）
1,
R20e
100i=0
19
在HP38G上进行计算可得R20
-0.842787
DEG
HOME
MAKELISTCeA<-<1+0.5）a...
<・999375195272,・99439„,SLIST.8427S72S628S
絲;HOME澱飆絲鹼鮫獗縫
SDEG
=aih（^0,1/,n），作复化中矩公式
2n_1
n1xi1n1
I_if（x）dx=h'f（x1）一7f（i）h
i=Qx；7匕24y
nAh2
f（x1）^[f（b）-f（a）]
7i224
STDk
四（15分）求常数A、B、C、D，使解微分方程初值问题
y=f（x,y），y（
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