循环矩阵的性质及其应用概要.docx

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循环矩阵的性质及其应用概要

一.相关概念-2-

定义1.1-..2.-

定义1.2-..2.-

定义1.3-..3.-

定义1.4-..3.-

二.循环矩阵的性质-3-

2.1循环矩阵基本性质-..3-

2.2关于循环矩阵的判定相关性质-..5-

2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论-.6-

2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论-.6-

2.5循环矩阵对角化相关性质-..7-

2.6等比数列构成的循环矩阵相关性质-.9-

2.7循环矩阵行列式与特征值相关性质-.10-

2.8循环矩阵的奇异性-..12-

2.9循环矩阵与向量空间相关性质-..12-

三．广义循环矩阵-13-

定义3.1-..1.3-

定义3.2-..1.3-

推论3.1-..1.4-

推论3.2-..1.4-

推论3.3-..1.4-

推论3.4-..1.4-

定义3.2-..1.4-

定义3.3-..1.5-

定义3.4-..1.5-

定义3.5-..1.5-

参考文献⋯..-15-

循环矩阵的性质研究

相关概念

定义1.1[1]具有以下形式的n阶方阵A称为关于a0,a1,a2,,an1的循环矩

an1

an2

an1

an3

特别地，n阶循环矩阵：

称为n阶基本循环矩阵，简记为：

Dcirc（0,1,0,,0）显然,D,D2,D3,DnI（n

阶单位矩阵）都是循环矩阵,由此得Aa0Ia1Da2D2an1Dn1,设

f（x）a0a1xa2x2an1xn1,

则Af（D）,这时a0a0I.

记Cnn为复数域C上的全体n阶方阵，Rnn为实数域上的全体n阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的n2维向量空间，记tr（A）为矩阵A的迹，AH为A的转置共轭阵.

定义1.2[2]设ACnn（Rnn）,如果矩阵A的最小多项式等于特征多项式，则

称A为循环矩阵.

定义1.3[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换，若存在向量V，

使得,A,,An1线性无关.则称为A的一个循环向量.

定义1.4[4]已知n阶基本循环矩阵

并令

IiDi（i1,2,,n），

称I,I1,I2,In1为循环矩阵基本列（其中IDnIn为单位矩阵）.

.循环矩阵的性质

2.1循环矩阵基本性质

性质2.1.1

性质2.1.2

[3]循环矩阵基本列I,I1,I2,In1是线性无关的.

[3]任意的n阶循环矩阵A都可以用循环矩阵基本列线性表出，即

Aa0Ia1I1an1In1.

an1

bn1

an1

an2

bn1

bn2

证明设A

an2

an1

an3

，B=

bn2

bn1

bn3

性质2.1.3

同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.

，则

an1

bn1

an1

an2

bn1

bn2

an2

an1

an3

bn2

bn1

bn3

an1

bn1

an2

bn2

an1

bn1

an3

bn3

a0an1an2

显然AB为循环矩阵.

定理2.1.1设A、B为n阶循环矩阵，则有：

（1）

ABBA；

乘积AB仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，

（2）若A可逆，则A的逆矩阵也是循环矩阵；证明

（1）设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f（D），

Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1g（D），因为DnDnk（其中K为非负整数，

DI），所以

ABf（D）g（D）g（D）f（D）h（D）BA，

此处h（P）为不高于n1次的多项式，因此AB为n阶循环矩阵，且ABBA.

满足条件ABI即可.

设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1，Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1，有

AB（a0Ia1Da2D2an1Dn1）（b0Ib1Db2D2bn1Dn1）

要使ABI，则以下方程组必须成立：

a0b0an1b1a1bn11

a1b0a0b1a2bn10

an1b0an2b1a0bn10

解以上方程组可转化为求解：

AT（b0,b1,b2,bn1）T（1,0,0）T，因为A可逆，所

以ATA0，因此方程有唯一的解b0,b1,b2,bn1，可得到唯一的矩阵B，B为A的逆矩阵，且B为循环矩阵.

性质2.1.4n阶循环矩阵A的伴随矩阵A*也是循环矩阵.

证明伴随矩阵A*AA1，由定理2.1.1可知

A1b0Ib1Db2D2bn1Dn1

为循环矩阵，因此

A*A（b0Ib1Db2D2bn1Dn1）Ab0IAb1DAb2D2Abn1Dn1

也是循环矩阵.

2.2关于循环矩阵的判定相关性质

由定义1.2，有如下性质：

引理2.2.1[2]设ACnn（Rnn）,则rank（AHA）rank（AAH）rank（A）.

定理2.2.1[2]设ACnn（Rnn）,则A为循环矩阵的充要条件是矩阵

tr（IHI）tr（IHA）tr（IHAn1）

HHHn1

tr（AHI）tr（AHA）tr（AHAn1）

tr（An1）HItr（An1）HAtr（An1）HAn1

是满秩的.

由定义1.3，有如下性质：

引理2.2.2[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换，A有一个循环向量的充要条件是A的最小多项式等于特征多项式.

由此可知A为循环矩阵的充要条件是A有一个循环向量.

定理2.2.2设ACnn（Rnn）,rank（An）rank（An-1），则A为循环矩阵.

证明由于rank（An）rank（An-1），故n-rank（An-1）nrank（An），即An1的核空间的维数小于An的核空间的维数.所以必存在向量Cn（Rn），使得

An10，而An0.

下面证明就是A的一个循环向量，即,A,,An1线性无关.

设x1,x2,,xnC（R），且满足x1x2AxnAn10，则

An1（x1x2AxnAn1）x1An1x2AnxnA2n2x1An10

所以x10，x2AxnAn10，从而

An2（x2AxnAn1）0，

即x2An10，所以x20，x3A2xnAn10.

依次类推下去，可得x1x2xn0，因此,A,,An1线性无关，

即为A的一个循环向量，所以A是循环矩阵.

2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论

推论2.3.1[5]循环矩阵A可逆的充要条件是方程a0a1xa2x2anxn0无单位根.

推论2.3.2设A是以a1,a2,,an为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充要条件是f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1互素，即（f（x）,xn1）1.

证明由Af

（1）f

（2）f（n），A可逆的充要条件是A0，即

f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1没有公共根，从而（f（x）,xn1）1.

推论2.3.3若f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1互素，则

f1（x）ana1xa2x2an1xn1，f2（x）an1anxa1x2an2xn1

⋯⋯fn1（x）a2a3xa4x2a1xn1都与xn1互素.

证明因为分别以f1（x）,f2（x）,,fn1（x）的系数为元素的循环矩阵和以

f（x）的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.

2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论

2.5

为所有n1次单位根.

表示的意义均和定理2.4.1相同.

推论2.4.1[5]循环矩阵A的秩为1,2,,n中非零数的个数.

2.6循环矩阵对角化相关性质

性质2.5.1任何一个循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似.

证明n阶循环矩阵D的特征值为

2k2k2kcosisin（k0,1,2,,n1）（i21）nn

由于kj（kj）,又因D相似于对角矩阵

diag0,1,,n1

即存在可逆矩阵P，P1DP.

设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f（D）是任意一个循环矩阵，则A相似

于对角矩阵

diagf（0）,f

（1）,f（n1）

事实上，DPP1

Af（D）f（PP1）a0Ia1PP1an1Pn1P1

Pdiagf（0）,f

（1）,f（n1）P

定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明设是n阶对角矩阵

diag1,2,,n

其中1,2,,n为复数.

2n1

a0a1n1a2n21an1nn11

其中0,1,n1是n阶循环矩阵D的特征值

kcos2kisin2k（k0,1,2,,n1）nn

则以a0,a1,an1为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且0,1,n1互不相等，从而系数行列式不为零.

构造n阶循环矩阵则A的特征值为1,2,,n.

由性质2.5.1，A相似于对角矩阵

diag1,2,,n

推论2.5.1n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵.

证明充分性：

若A相似于循环矩阵B，由性质2.5.1，B与某对角矩阵相似.根据相似关系的可传递性知，A相似于对角矩阵.

必要性：

若A相似于对角矩阵，由定理2.5.1知，对角矩阵相似于某个循环矩阵B.根据相似关系的可传递性知，A相似于循环矩阵.

性质2.5.2复数域上任意一个n阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n阶可逆矩阵，使复数域上任意n阶循环矩阵同时对角化.

证明由性质2.5.1易知，任意一个n阶矩阵A都可以对角化，由于A是任

意的，所有的结论全部得证.

2.7等比数列构成的循环矩阵相关性质

设序列aiin1是公比为q的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为

矩阵A可逆时，其逆矩阵由序列biin1构成，记为

定理2.6.1若等比数列aiin1满足q1，若n为偶数时，q1，则由该数

列构成的循环矩阵

（1）的逆矩阵

（2）存在，且

b11

n，b2

qb1

n，b3

bn.

a1（1q

n）

a1（1q

n）3

即

（3）

a1（1q

n）

证明只须确定bi（i

1,2,

n），由

A1A

，即A（A

1）

E知，A乘（A1）

的第一列等于E的第一列可得bi满足的方程组.

A（b1,b2,bn）（1,0,,0）（4）

注意到aiai1q（i2,3,,n），ana1qn1，对（4）的增广矩阵进行初等变换

an1

an2

an3

an1

an2

an1

a1（1qn）

（1qn

）

a1（1qn）

a1（1

q）

q1，知a1（1qn）0，可得

又a10,q1，当n为偶数时，

定理及（3）式成立，证毕.

由上述定理及（3）式易得

推论2.6.1[8]若等比数列aiin1满足公比q1，当n为偶数时，q1，则

由该数列构成的循环矩阵A及其逆矩阵A1的行列式分别为：

2.8循环矩阵行列式与特征值相关性质

性质2.7.1若A为复数域上的

n阶循环矩阵

an1

an2

an1

an3

那么A的行列式

detAf（0）f

（1）f（n1），

这里kcos2kisin2k（k0,1,2,,n1）是全部n次单位根，

证明作n阶矩阵

diag（f（0）,f

（1）,,f（n1））.

所以det0，从而

detf（0）f

（1）

detAdetdet（A）det（diag（f（0）,f

（1）,f（n1）））

an1

an2

an1

an3

f（n1）.

的循环矩阵，且设

定理2.7.1[9]设A是形如

f（x）aiXi，0,1,,n1是1的全部n次单位根.

isin2k（k0,1,2,,n1）n

这里i是虚数单位（i21），则A的n个特征值是：

f（0）,f

（1）,f（n1）,

注意detAf（k）.

2.9循环矩阵的奇异性

定理2.8.1[9]在定理2.7.1的条件下，循环矩阵A奇异的充要条件是存在

某个

j（0jn1），使

f（j）0.

由于对任意的自然数n，01是1的n次单位根，故有

推论2.8.1[9]若ai0，则A奇异.

推论2.8.2[9]设n为偶数，若

（1）iaj0，则A奇异.

2.10循环矩阵与向量空间相关性质

定理2.9.1数域P上的所有nn阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为循环矩阵基本列I,I1,,In1，零向量为n阶零方阵，负向量为A.

证明对于数域P上的所有nn阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理.

三．广义循环矩阵

定义3.1若把a0,a1,a2,⋯,an推广为m阶方阵A0,A1,⋯,An时，我们称矩

为广义循环矩阵。

A1,⋯,An两两可换，我们称矩阵

An1

A02

A12

An21

An2

A0n

A1n

Ann1

Ann

为广义范德蒙矩阵，其行列式为广义范德蒙行列式．

定理1设E是m阶单位阵,且A0,A1,⋯,An均是m阶方阵且两两可换，矩

是广义循环矩阵，

An1

An2

An1

D=02

2n1

nn1

其中矩阵

jein1,i2

Aji,ij0

1,j0,1,...,n

为m阶数量方阵,i0,1,...,n;

类似地由定理2可以得到下面的推论,推论中D,i和i所表示的意义均和定理2

相同。

推论3.1

对于广义循环矩阵D，我们有detDdet（i）．i0

推论3.2

广义循环矩阵

D可逆的充要条件是矩阵Ai均可逆，i=0，1，?

，n

推论3.3

广义循环矩阵

推论3.4

广义循环矩阵

定义3.2

D的特征值为矩

0,1,

n的全部特征值．

an1

ran1

an2

ran2

ran1

an3

ra1

ra2

ra3

r-循环矩阵

D的秩rank（D）rank（i）。

令：

，则J02

关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。

J0n

定义

3.3

向后（对称）循环矩阵

an1

定义

3.4

后（对称）r-循环矩阵

an2

an1

an3

an2

an1

ra0

ra1

an1

ra0

ra1

ran3

ran2

定义

3.5

向后单位置换矩阵

K2=E,

K=K*

参考文献

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66-68.

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