伴随矩阵的性质及其应用1资料下载.pdf

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王莲花（1964）,女,河南宁陵人,北京物资学院基础部副教授,从事代数教学与研究.伴随矩阵的性质及其应用王莲花,田立平（北京物资学院基础部,北京101149）摘要:

讨论了矩阵的伴随矩阵在对称、反对称、正定、正交、相似和特征值等方面的性质及其在线性代数解题中的应用.关键词:

伴随矩阵;

正交矩阵;

正定矩阵;

相似矩阵;

特征值中图分类号O151121文献标识码:

A文章编号:

1007-0834（2006）03-0004-03矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念.对于它的一些性质的推证,涉及到线性代数中许多基本的概念与方法.本文作者归纳、总结了伴随矩阵的性质.1伴随矩阵的性质定理n阶矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的行列式不等于零,即|A|0,且A-1=1|A|A3.1此定理解决了n阶矩阵A可逆的必要条件,而且说明矩阵A的逆矩阵是由A来确定的,更重要的是,此定理还给出了A的逆矩阵的构造方法,这在理论上是非常重要的.矩阵的秩是矩阵的重要特性.若以r（A）表示矩阵A的秩,则有以下结论:

命题1设A是n阶矩阵,则r（A）=n,r（A）=n1,r（A）=n-10,r（A）n-1证明

（1）当r（A）=n时,|A|0,由AA3=|A|E知,|AA3|=|A|A3|=|A|n,即|A3|=|A|n-10,所以r（A3）=n.

（2）当r（A）=n-1时,|A|=0,所以AA3=0,知A3的列向量都是方程组AX=0的解.由于r（A）=n-1,齐次线性方程组AX=0的解向量组的秩为n-（n-1）=1,知A3的列向量组的秩为1,即列秩为1,故r（A3）=1.（3）当r（A）n-1时,A3的每一个元素Aij都是零,因为A没有不为0的n-1阶子式,故r（A3）=0.由上所述,A与A3同时可逆或不可逆.进一步可得出结论:

r（A3）3）=n,r（A）=n0,r（A）0,当t（0,）时,使|tE+A|0,|tE+B|0,令A1=tE+A,B1=tE+B,那么|A1|0,|B1|0,且B1=tE+B=tE+P-1AP=P-1（tE）P+P-1AP=P-1（tE+A）P=P-1A1P则由

（1）知B31=P-1A31P,即（tE+B）3=P-1（tE+A）3P上式两端矩阵的元素都是关于t的多项式,由于当t（0,）时,对应元素相等,所以对任意t上式都成立.取t=0时,P-1A3P=B3,即A3与B3相似.性质12若A是正定的,那么A3也是正定的.证明A是正定的,故存在可逆矩阵P,使PTAP=E,则有（PTAP）3=E3,即P3A3（PT）3=E,所以A3也是正定的.性质13若矩阵A与B合同,且A与B可逆,则A3与B3也合同.证明因为矩阵A与B合同,则存在可逆矩阵P,使PTAP=B,又A与B可逆,则有P-1A-1（PT）-1=B-1,即CTA-1C=B-1,其中C=（P-1）T又|P|2|A|=|B|,则（|P|C）T|A|A-1（|P|C）=|B|B-1,即QTA3Q=B3其中Q=|P|C是可逆矩阵.故A3与B3也合同.性质14设n阶方阵A是可逆的,那么A3可表示为A的多项式.证明A的特征多项式为f（）=n+an-1n-1+L+a1+a0.因A可逆,所以a0=（-1）n|A|0.由哈密尔顿凯莱定理知f（A）=0,即An+an-1An-1+L+a1A+a0E=0故-1a0（An-1+an-1An-2+L+a1E）A=E右乘A3,得-|A|a0（An-1+an-1An-2+L+a1E）=A3故A3=（-1）n-1（An-1+an-1An-2+L+a1E）.2伴随矩阵性质的应用例1已知三阶矩阵A=（aij）33满足条件:

5

（1）aij=Aij（i,j=1,2,3）,其中Aij是aij的代数余子式;

（2）a110.求|A|.解由条件

（1）和性质2知,A3=AT,则|A|=|AT|=|A3|=|A|2,所以|A|=0或|A|=1.又|A|=a11A11+a12A12+L+a1nA1n=a211+a212+L+a21n0,故|A|=1.例2设A为三阶矩阵,A的特征值为1,3,5.试求行列式|A3-2E|.1解因为|A|=135=15,由性质10知,A3的特征值分别为15,5,3.于是A3-2E的特征值为15-2=13,5-2=3,3-2=1.故|A3-2E|=1331=39.例3求矩阵A的伴随矩阵A3.A=-110-430102.解矩阵A的特征多项式为:

f（）=|E-A|=3-42+5-2因a0=-20,所以矩阵A可逆.由性质14知A3=（-1）3-1（A2-4A+5E）=6-208-20-311.例4证明若A为降秩矩阵,那么,A的伴随矩阵A3的n个特征值至少有n-1个为零,且另一个非零特征值（如果存在的话）等于A11+A22+L+Ann.2解由于|A|=0,所以r（A）n-1.

（1）当r（A）n-1时,由定理2知,r（A3）=0,所以A3的特征值为0,0,0.则结论成立.

（2）当r（A）=n-1时,由定理2知,r（A）3=1,设A3的特征值为1,2,L,n,由Jordan标准形知T-1AT=1300n因为r（A）3=1,可设2=L=n=0,这时变为T-1AT=13L300L0MMM00L0因为r（A）3=1,所以10所以1=trA3=A11+A12+L+Ann.参考文献1卢刚.线性代数（第2版）M.北京:

高等教育出版社,2004.2钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:

中央民族大学出版社,2002.SomePropertiesanditsApplicationsofAdjointMatrixWANGLian2hua,TIANLi2ping（BasicCourseDepartment,BeijingWuZiUniversity,Beijing101149,China）Abstract:

Somepropertiesofadjointmatrixarediscussedintheessay.Thepropertiesincludesymmetry,anti-symme2try,positivedefinite,orthogonal,similarandcharacteristicvalue.Keywords:

adjointmatrix;

orthogonalmatrix;

symmetrymatrix;

similarmatrix;

characteristicvalue6