毕业论文--矩阵的秩的性质及其应用.doc

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安阳师范学院本科毕业论文

矩阵的秩的性质及其应用

作　　者　　张乾龙　

系（院）　　数学与统计学院　　

专　　业　　数学与应用数学　　

年　　级　　2010级

学　　号　　100801069　　

指导教师　　李波　

论文成绩

日　　期　

诚信承诺书

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所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

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作者签名：

　　　　　　　　导师签名：

　　　　　　　日期：

矩阵的秩的性质及其应用

张乾龙

（安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002）

摘要:

文章总结了矩阵的秩的相关性质,并且用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系、求解线性方程组、判断空间中点线面的位置关系、二次型、线性变换等方面的应用.

关键词:

矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换

1基础知识

矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论在线性代数中，还是在解析几何中，都有不可忽略的作用.下面我们就给出了矩阵的秩的定义：

定义1向量组的极大无关组所含的向量的个数称为这个向量组的秩

定义2矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩。

定义3矩阵的列秩等于矩阵的行秩，统称为矩阵的秩。

定义矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。

矩阵的秩记为秩或。

2矩阵的秩的性质

矩阵的秩的性质是对矩阵的秩的运用的进一步的总结。

下面我们就来总结矩阵的一些性质。

1）若是可逆矩阵，则有;

2）矩阵的初等行变换不改变行向量的秩;

3）矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩，即

设矩阵经过初等行变换变成矩阵，则矩阵的列向量组线性相关当且仅当矩阵的列向量组线性相关.

设矩阵经过初等行变换变成矩阵，并且矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组，则矩阵的第列构成矩阵的列向量组的一个极大无关组;从而.

3）任意矩阵的行秩等于它的列秩;

4）矩阵的秩等于矩阵的转置的秩;

5）任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数;（任一非零矩阵的行秩等于它的列秩，并且等于矩阵的不为零的子式的最高阶数.）

6）一个级矩阵的秩等于当且仅当;

7）设矩阵的秩为r，则矩阵不等于零的r阶子式所在的列（行）构成的矩阵的列（行）向量组的一个极大无关组;

8）非零矩阵不等于零的子式的最高阶数称为矩阵的行列式秩，它的行列式秩与矩阵的秩相等;

9）矩阵和的秩不超过矩阵秩的和，即

10）矩阵与数的乘积的秩

当时，.

当时，.

11）矩阵乘积的秩不超过个因子的秩，即

12）矩阵与矩阵的乘积的秩不小于矩阵与矩阵的秩的和减去，即

3矩阵的秩的应用

3.1矩阵的秩与向量的关系

高等代数中，判断向量组的线性相关性时，我们的依据是项链组中的一个向量是否可以由其余向量线性表出来。

这种做法简单易懂，但对一些较为复杂的这类问题的时解法复杂，上述方法有一定的局限性，我们可以运用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题。

3.1.1线性相关性的判断

1）定义法

如果在数域P中，存在不全为零的数，，…,,使得

则称向量组，，…，线性相关；如果只有当时上式成立，则称向量组，，…，线性无关。

2）利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系

对于n维向量组，，…，,以各向量构成一个矩阵：

先求出的秩。

当

例1判断向量组=（1,0,-1,2）,=（-1,-1,2,-4）,=（2,3,-5,10）的线性相关性.

解以，，为行向量构成矩阵

通过初等变换（第1行加到第2行上，第1行乘以-2加到第3行上；再把第2行乘以3加到第3行上），可把矩阵化为如下阶梯形矩阵：

求得=2<3,故向量组线性相关.

3.1.2极大线性无关组

定义4在向量组，，…，中，如果一部分向量组线性无关，并且从向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关则称为向量组，，…，的一个极大线性无关组。

向量组的极大线性无关组所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记为（，，…，）。

规定只含零向量的向量组的秩为零。

例2设有向量组=（1,-1,2,4）,=（0,3,1,2）,=（3,0,7,14）,

=（1,-1,2,0）,=（2,1,5,6），求极大线性无关组.

解

，又中有一个3级子式，所以，，是一个极大无关组（或均可作为极大线性无关组）.

3.2矩阵的秩与线性方程的求解

线性方程问题是高等代数中及其重要的一类问题，在讨论和解决线性方程的解的问题时，我们可以运用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题。

而线性方程要解决的问题可以归纳为以下三类问题：

1）方程组是否有解？

2）方程组是有解时，解的个数是多少？

3）如何求出解？

对于上述三个问题，无一不与矩阵的秩有关。

3.2.1齐次线性方程组的求解

1）定义法

如果齐次线性方程组

（1）

的系数矩阵的行列式，那么它只有零解。

换句话说，如果方程组

（1）有非零解，那么必有=0.

2）系数矩阵的秩为指数的个数之间的关系

如果齐次线性方程组

的系数矩阵

的秩为，若

例3求下面齐次线性方程组的基础解系.

解上式的系数矩阵为

=2，基础解含3-2=1个向量。

同解方程组为

法1取得，基础解系为.

法2通解为（t为任意），即，故基础解系为.

3.2.2非齐次线性方程组的求解

1）系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系

如果非齐次线性方程组

（2）

有解的充分必要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩。

并且

（1）当时，非齐次线性方程组

（2）有惟一解。

（2）当时，非齐次线性方程组

（2）有无数多解。

例4解下面方程组

解对方程组的增广矩阵的行进行初等变换：

由上面最后一个矩阵可知，原方程组有惟一解为：

.

例5解下面方程组

解对方程组的增广矩阵的行进行初等变换：

由上面最后一个矩阵可知，原方程组有无穷多解.

故其同解方程组为，通解为（k任意）.

3.3矩阵的秩与空间中的点线面之间的关系

判断空间中点与点、平面与平面、平面与平面、直线与直线的位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了代数与几何的完美结合，以下我们用矩阵的秩对这几类关系做出详细的研究。

3.3.1相关定理

1）矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用

定理1设空间中有四个点，

矩阵的秩，则

（1）r=4时,四点异面.

（2）r=3时,四点共面.

（3）r=2时,四点共线.

（4）r=1时,四点重合.

2）矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用

定理2已知平面与平面，设线性方程组

（1）

的系数矩阵为与增广矩阵为，则：

（1）若，则平面与平面相较于一条直线；

（2）若，则平面与平面重合；

（3）若，则平面与平面平行。

定理3已知空间三个平面的方程分别为：

它们的系数矩阵为

与增广矩阵为

则：

（1）三个平面重合的充分必要条件是；

（2）三个平面平行的充分必要条件是，且的任意两行都不成比例；

（3）三个平面两两相异且有惟一公共点的充分必要条件是，且的任意两行都不成比例；

（4）三个平面中有两个平面相互平行，第三个平面与它们相交的充分必要条件是，且的任意两行都不成比例；

（5）三个平面中有两个平面重合，第三个平面与它们平行的充分必要条件是

，且的任意两行都不成比例；

（6）三个平面中有惟一公共点的充分必要条件是.

3）矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系时的应用

定理4设空间平面与直线的一般方程为：

，

它们的系数矩阵为

与增广矩阵为

则：

（1）直线与平面相交的充分必要条件是；

（2）直线与平面没有公共点的充分必要条件是；

（3）直线属于已知平面的充分必要条件是；

4）矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系时的应用

定理5设空间两直线的一般方程分别为：

，

它们的系数矩阵为

与增广矩阵为

则：

（1）两直线异面的充分必要条件是；

（2）两直线相交的充分必要条件是；

（3）两直线平行的充分必要条件是；

（4）两直线重合的充分必要条件是.

3.3.2定理的应用

例6判断直线L:

与平面的位置关系.

解由以上结论可知，对其系数矩阵和增广矩阵的行进行初等变换：

，

故

，

由定理4可知：

直线与平面没有公共点.

例7证明直线与直线平行：

和.

解由以上结论可知，对其系数矩阵和增广矩阵的行进行初等变换：

，

故

，.

由定理5可知：

直线与直线平行.

3.4矩阵的秩与二次型

矩阵的秩与二次型理论有紧密的联系，我们可以用矩阵的秩的相关理论解决二次型的问题。

3.4.1复数域上二次型的规范形

（1）复二次型称为复数域上的规范形，其中或0（i=1,2,…,n）。

（2）任何复二次型都可以经过非退化线性替换化为规范形：

其中r为的矩阵的秩，且规范形是唯一的。

（3）任何复对称阵都合同于对角阵，其中r为的矩阵的秩。

（4）两个复对称阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。

3.4.2实数域上二次型的规范形

（1）实二次型称为实数域上的规范形，其中或0（i=1,2,…,n）。

（2）惯性定理任何实二次型经过非退化线性替换都可以化标准形，标准形中的正平方项的个数与负平方项的个数永远是不变的，并且若

其中.称p为正惯性指数,q为负惯性指数，p-q为符号差，且p+q为的矩阵的秩，且规范形是唯一的。

例8二次型的秩与符号差.

解设对应的矩阵为，则

，

于是由

可得的特征值为

，，

所以的秩为n，符号差为1-（n-1）=2-n.

3.4.3矩阵的秩与二次型的正定

设二次型，其中,那么有以下结论：

正定的正惯性指数与秩都等于n;

负定的负惯性指数与秩都等于n;

正定的正惯性指数与秩相等.

例9设为n阶满秩矩阵，试证明：

是一个正定二次型，这里

证明设是满秩矩阵，令，，则是非退化线性替换，且

由3.4.2可知，此二次型的正惯性指数与秩都等于n.

所以是一个正定二次型.

3.5矩阵的秩与线性变换

线性变换问题是高等代数中一类重要的问题，同时也是线性代数的一个主要研究对象，在线性空间中，基于线性空间的一组基，可以线性变换与矩阵的关系。

而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征。

因此，可以用矩阵的秩来研究线性变换。

3.5.1矩阵的秩与核的计算

（1）设V是P上的n维线性空间，是V的线性变换，则称集合为的核，记作.

（2）若为V的一组基，在下的矩阵为，则

若，且的基础解系为，则，其中，且为的一组基。

3.5.2矩阵的秩与值域的计算

（1）设V是P上的n维线性空间，是V的线性变换，则称集合为的值域，记作.

（2）若为V的一组基，在下的矩阵为，则

令，为的列向量。

若，且为的列向量组的极大无关组，则

，其中，且

为的一组基。

+=.

例10 设是n维线性空间V上的线性变换,试证明:

秩=秩的充分必要条件是.

证明先证明充分性设,因为（）

.

（1）

且，存在，使得.于是可设

，其中.

则

.

此即

.

（2）

由

（1）,

（2）可知.

故rank=rank.

再证明必要性设rank=rank.

（3）

于是

.（4）

但是

.（5）

于是由（4），（5）可知

（6）

再证明

.（7）

又因为使得所以

故

，

即证明了（7）.

由（3）,（7）可知

.

4结束语

矩阵的秩是反映矩阵固有性质的一个重要概念，也是一个重要工具。

不管对于数学专业的学生学习高等代数还是非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是非常必要的。

通过本篇论文，可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解，及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。

在空间向量中，矩阵的秩可以用来判断空间中向量的关系。

矩阵的秩也可以用来判定向量组的线性相关性、求解线性方程组、判断空间中点线面的位置关系等。

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高等教育出版社,2007.

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山东科学技术出版社，2001.9

Thepropertiesandapplicationsoftherankofmatrix

ZhangQian-long

（collegeofmathematicsandstatistics,AnyangNormalUniversity,Anyang,Henan455002）

Abstract:

This article summarizes therelated propertiesof the rank of matrix, theorem andthe 

examples used the rank of the matrix in the linear relationship between vector, solving lineareq-

uations, determine spatial point line surface location relationship, quadratic, linear transformationand other applications.

Keywords:

Rank of matrix; Vector; Linear equations; Set relations; Quadratic; LinearTransfor

mation

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