北师大版 八年级数学上册 期末单元复习第7章 平行线的证明解析版.docx
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北师大版八年级数学上册期末单元复习第7章平行线的证明解析版
第7章平行线的证明
一．选择题（共8小题）
1．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直
2．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角互补
C．对于直线a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c
D．对于直线a、b、c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c
3．下列说法错误的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
4．一个三角形三个内角的度数之比为4：
5：
6，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
5．如图所示，直线a、b、c、d的位置如图所示，若∠1＝115°，∠2＝115°，∠3＝124°，则∠4的度数为（ ）
A．56°B．60°C．65°D．66°
6．如图是直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．在下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：
科目
小制作
足球
英语口语
计划人数
100
90
60
科目
小制作
英语口语
中国象棋
报名人数
280
250
200
若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（ ）
A．足球B．小制作C．英语口语D．中国象棋
二．填空题（共6小题）
9．学校开展象棋大赛，A、B、C、D四人进入决赛，赛前，甲猜测比赛成绩的名次顺序是：
从第一名开始，依次是B、C、D、A；乙猜测的名次依次是D、B、C、A，比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是B队，则第一名是 队．
10．在△ABC中，∠A＝50°，若∠B比∠A的2倍小30°，则△ABC是 三角形．
11．如图，∠3＝70°，∠4＝70°，∠1＝80°，则∠2的度数为 度．
12．命题：
若a+c＝b+c，则a＝b．它的逆命题是 ．
13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四句：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c与a相交，那么b与c相交．
其中正确的是 ．
14．如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：
①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 （填序号）．
三．解答题（共7小题）
15．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE＝20°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
16．图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：
将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180°
因为∠2+∠3＝180°
所以∠3＝∠4
因为 （已知）
所以∠1＝∠4
所以AB∥DE
17．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：
BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
18．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°
（1）求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系 ，并证明你的结论．
19．如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．
20．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF；
解：
我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
已知：
．
求证：
．（不能只填序号）
证明如下：
21．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：
∠BAN＝ °；
（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？
（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题
（2），在射线AM到达AN之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？
若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直
【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．
【解答】解：
在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：
C．
2．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角互补
C．对于直线a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c
D．对于直线a、b、c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：
A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C、对于同一平面内直线a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故错误，是假命题；
D、对于直线a、b、c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题，
故选：
D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【分析】分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．
【解答】解：
A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；
B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；
故选：
A．
4．一个三角形三个内角的度数之比为4：
5：
6，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的内角即可判断．
【解答】解：
∵三角形三个内角的度数之比为4：
5：
6，
∴这个三角形的内角分别为180°×
＝48°，180°×
＝60°，180°×
＝72°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：
C．
5．如图所示，直线a、b、c、d的位置如图所示，若∠1＝115°，∠2＝115°，∠3＝124°，则∠4的度数为（ ）
A．56°B．60°C．65°D．66°
【分析】根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出∠4＝∠5，即可求出答案．
【解答】解：
如图，∵∠1＝115°，∠2＝115°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝124°，
∴∠4＝∠5＝180°﹣∠3＝56°，
故选：
A．
6．如图是直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠CAB＝∠CBA＝45°，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AE∥BF，
∴∠α＝∠BAC＝45°，
故选：
B．
7．在下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
【解答】解：
如下图，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故选：
A．
8．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：
科目
小制作
足球
英语口语
计划人数
100
90
60
科目
小制作
英语口语
中国象棋
报名人数
280
250
200
若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（ ）
A．足球B．小制作C．英语口语D．中国象棋
【分析】所列表中中国象棋计划人数不在前三名内，所以计划人数≤60，足球报名数不在前三名，所以，报名人数≤200，求出各科目计划都生人数和报名人数的比值，找出最大即可得出结论．
【解答】解：
由表知，小制作：
；
英语口语：
；
足球：
计划招生90人，报名数不在前三名，即少于200人，所以比值大于
，即大于0.45；
中国象棋：
报名200人，计划数不在前三名，即少于60人，所以比值小于
，即小于0.3；
∴足球科目的满足指数最高（即比值最大）；
故选：
A．
二．填空题（共6小题）
9．学校开展象棋大赛，A、B、C、D四人进入决赛，赛前，甲猜测比赛成绩的名次顺序是：
从第一名开始，依次是B、C、D、A；乙猜测的名次依次是D、B、C、A，比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是B队，则第一名是 D 队．
【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第四名是错误的，因此甲猜的第一名和乙猜的二名也是错误的．因此甲猜的第二项和乙猜的第一项是正确的，即这四个队的名次顺序为D，C，A，B．
【解答】解：
由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第四名是B队．
可得甲只有可能猜对了C，D的名次，
当D的名次正确，则乙将全部猜错，
故甲一定猜对了C的名次，
故乙猜对了D的名次，
那么甲、乙的猜测情况可表示为：
甲：
错、对、错、错；乙：
对、错、错、错．
因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为：
D，C，A，B．
故答案为：
D．
10．在△ABC中，∠A＝50°，若∠B比∠A的2倍小30°，则△ABC是 锐角 三角形．
【分析】由已知求出∠B＝70°，由三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，即可得出△ABC是锐角三角形．
【解答】解：
∵∠B比∠A的2倍小30°，
∴∠B＝2×50°﹣30°＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：
锐角．
11．如图，∠3＝70°，∠4＝70°，∠1＝80°，则∠2的度数为 100 度．
【分析】依据∠3＝70°，∠4＝70°，即可得到a∥b，再根据平行线的性质以及邻补角的定义，即可得出结论．
【解答】解：
∵∠3＝70°，∠4＝70°，
∴∠3＝∠4，
∴a∥b，
∴∠5＝∠1，
又∵∠1＝80°，
∴∠5＝80°，
∴∠2＝180°﹣∠5＝100°，
故答案为：
100．
12．命题：
若a+c＝b+c，则a＝b．它的逆命题是 若a＝b，则a+c＝b+c ．
【分析】根据逆命题的写法解答即可．
【解答】解：
命题：
若a+c＝b+c，则a＝b．它的逆命题是若a＝b，则a+c＝b+c；
故答案为：
若a＝b，则a+c＝b+c
13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四句：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c与a相交，那么b与c相交．
其中正确的是 ①② ．
【分析】根据平行线的判定与平行公理，对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：
∵直线a，b，c在同一平面内，
∴①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故错误；
④如果b⊥a，c与a相交，那么b与c，故错误．
故正确的是①②．
故答案为：
①②．
14．如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：
①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：
①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．
③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．
故答案为①②．
三．解答题（共7小题）
15．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE＝20°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
【分析】由CE是△ABC的高．得到∠CEB＝90°，根据三角形的内角和得到∠CAB＝70°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAC＝70°÷2＝35°，求得∠B＝90°﹣40°＝50°，于是得到结论．
【解答】解：
∵CE是△ABC的高．
∴∠CEB＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠CAB＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝70°÷2＝35°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝35°+50°＝85°，
即∠ADC的度数是85°
16．图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：
将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° 邻补角的意义
因为∠2+∠3＝180° 已知
所以∠3＝∠4 同角的补角相等
因为 ∠1＝∠3 （已知）
所以∠1＝∠4 等量代换
所以AB∥DE 同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：
将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）
因为∠2+∠3＝180°（已知）
所以∠3＝∠4（同角的补角相等）
因为∠1＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4（等量代换）
所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
故答案为：
邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
17．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：
BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
【分析】
（1）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解答】
（1）证明：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF＝
∠ABF，
BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
（2）解：
∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
18．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°
（1）求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系
，并证明你的结论．
【分析】
（1）先根据三角形内角和可得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝
∠CAB＝45°，∠ADC＝90°，求出∠AEC，然后利用∠DAE＝90°﹣∠AEC计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C﹣∠B的关系．
【解答】解：
（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝
∠BAC＝45°．
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．
（2）由
（1）知，
∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（
）
又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．
∴∠DAE＝90°﹣∠B﹣
（180°﹣∠B﹣∠C），
＝
（∠C﹣∠B）．
19．如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB＝90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【解答】解：
∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣76°＝68°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝
×68°＝34°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣90°﹣34°＝56°．
20．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF；
解：
我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
已知：
如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF ．
求证：
∠ABC＝∠DEF ．（不能只填序号）
证明如下：
【分析】由BE＝CF⇒BC＝EF，所以，由1，2，4，可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC＝∠DEF；由1，3，4，可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC＝DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．
【解答】解：
将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：
如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
求证：
∠ABC＝∠DEF．
证明：
在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC＝∠DEF．
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：
如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．
求证：
AC＝DF．
证明：
在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，∠ABC＝∠DEF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF；
故答案为：
如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF；∠ABC＝∠DEF．
21．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：
∠BAN＝ 60 °；
（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？
（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题
（2），在射线AM到达AN之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？
若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：
∠BAN＝2：
1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：
当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：
∠BCD＝2：
1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：
（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：
∠BAN＝2：
1，
∴∠BAN＝180°×
＝60°；
（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得t＝110，
综上所述，射线AM转动30或110秒，两射线互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：
设射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：
∠BCD＝2：
1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
故答案为：
60．
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