人教高中数学选修45精品课件32一般形式的柯西不等式共20张PPT.docx
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人教高中数学选修45精品课件32一般形式的柯西不等式共20张PPT
二一般形式的柯西不等式
1
学习目标
重点难点
•理解三维形式的柯西不等式；
2•学会一般形式的柯西不等式.
重点:
三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式;难点:
一般形式的柯西不等式的应用.
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预习导引
1•三维形式的柯西不等式
设如如010203是实数，则
（«1+於+能）（骑+b孑+殒）2__二_一__—
当且仅当,、•，或存在一个数化使得妒血（归123）时，等号
成立.
2—般形式的柯西不等式
设U“2心3,…口a小2血，…，bn是实数，则（话+於+…+血）@孑+
b$+…+b?
）2；
当且仅当，或存在一个数£,使得（上1,2,..丿）
时，等号成立.
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预习导引
课堂合作探究
KETANGHEZUOTANJIU
交流
一般形式的柯西不等式如何应用?
问题导学
当堂检测
一、利用柯西不等式证明不等式
S3活动与探究
怎样巧用柯西不等式？
（2）常数的巧拆
在运用柯西不等式时，根据题中的数字特征,注意巧拆常数是一种
常用技巧.
（3）位置的巧换
柯西不等式中的量％伤具有广泛的选择余地,任意两个元素（或伤奶）的交换，可以得到不同的不等式，因此，在证明时根据需要重新安排各量的位置，按照特定的顺序对应,这种形式上的变更往往给解题带来意想不到的方便.
（4）项的巧添
利用柯西不等式证明某些不等式时，有些问题表面上看不能应用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或值为常数的项,就可以利用柯西不等式•这种添项问题往往需要很高的技巧，必须善于分析题目的特征，才能找到证题的突破口.
（5）因式的巧嵌
有时为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式.
例1已知如皿2,…，给都是正实数，且ai+a2+...+an=l.
2
求证:
旦+旦+...+丄-+旦2M
Q1+Q2©+^3an_i+anan+ar2
证法一:
根据柯西不等式，得
2
左边=旦+旦+...+丄1_+丄
al+a2a2+a3an^+anCLn+al
（an+a{）]x
=[（^1+么2）+@2+^3）+（6/3+匕4）+...+（6Zz?
_i+6Zn）+
〜2/\2/\2
+...+
a2+a3
（y亠
（知y
+口71丿
Qn+aJ
7a3+a4
=[（V^l+^2）2+（Va2+«3）2+…+（7an-l+an）2+（舛
/\2
1
X2
Ql
y/a1+a2
an-l
%1+如
21
问题导学
当堂检测
+
Ql
Jal+a2
Xr
\^n-l+
21=@1+^2+…+ejX-=¥=右边.
故原不等式成立.
^71-1
y/CLn+.
11
证法二:
若dWR+,贝I」匕+―$2皿22—.
aa
利用上面的结论，知
al
=Elx二鱼（2-CL^+d22CL^+CL22\
CLa+CIo
=a^~T~
同理，有孚
an-l>仏1+如处>如+灯
an-l+a^a，1~r4fan+a^a,r4以上式子相加整理，得
?
居+於H+_^—+处
ttl+tt2a2+a3an.i+anCLn+al
]
鼻㊁（。
1+。
2+…+Q/i）
_1
=2-
问题导学
当堂检测
Es移与应用
222
设a.b.c为正数，求证：
'+—+—^a+b+c.
bca
名師尊牌
通过以上题目可以看出，无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.
二、利用柯西不等式求最值
匕活动与探究
例2设2x+3y+5z=29,求函数u=〜2x+1+Jgy+4+a/5z+6的最大值.
Ea移与应用
把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形•问:
怎样截法,
才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值.
即/+『2+乙2$48,从而S$2x48=3,
16
当且仅当1=~=1时取等号，又x+y+z=12,・h=y=z=4时,5min=3.
故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3m2.
名師❽律
解决此类问题时，根据所求最值的目标函数的形式，对已知条件进行配凑，向柯西不等式形式转化.
问题导学
1.已矢口空+於+…+砧=1，好+坊+…+好=1，贝U如兀］+6/2兀2+…+Q局的最大值是（）
A.lB.2C.3D.4
问题导学
当堂检测
1❷34J
2.已知x,y,zWR+,且x+y+z=l，则x2+y2+z2的最小值是
问题导学
当堂检测
3.已知兀1,兀2，兀3，兀4为实数，且X[+X2+X3+X4=6,XI++X3+坊=2求
证:
0W兀W3（归1,2,3,4）・
问题导学
当堂检测
4•求实数兀莎z，使它们同时满
足:
①2x+3y+z=13;②AF+gy'+TJx+lSy+Szng?
.
问题导学
当堂检测
1234❺
5•求实数心的值，使（jM）2+（x+y・3）2+（2x+才6）2达到最小值.
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