四川省雅安市天全中学学年高二上学期第19周周练数学试题.docx

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四川省雅安市天全中学学年高二上学期第19周周练数学试题

天全中学2015—2016学年上期高二第19周周考

数学试题

班级：

姓名：

成绩：

一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如图所示的圆锥的俯视图为（　　）

A．B．C．D．

2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（　　）

A．（2，2）B．（1，1）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣1，﹣1）

3．边长为a的正四面体的表面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．对于直线l：

3x﹣y+6=0的截距，下列说法正确的是（　　）

A．在y轴上的截距是6B．在x轴上的截距是2

C．在x轴上的截距是3D．在y轴上的截距是﹣6

5．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0的圆心坐标是（　　）

A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣1，2）D．（1，2）

6．已知两条直线l1：

x+2ay﹣1=0，l2：

x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（　　）

A．

B．

C．﹣2D．2

7．直线y=2x+1关于y轴对称的直线方程为（　　）

A．y=﹣2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣1D．y=﹣x+1

8．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

9．下列叙述中错误的是（　　）

A．若P∈α∩β且α∩β=l，则P∈l

B．三点A，B，C确定一个平面

C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面

D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α．

10．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线D′A与DB所成的角可以表示为（　　）

A．∠D′DBB．∠AD′C′C．∠ADBD．∠DBC′

11．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）

A．25πB．50πC．125πD．都不对

12．（2011•封开县校级模拟）给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

13．坐标原点到直线4x+3y﹣12=0的距离为　　　　　　．

14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　　　　　　．

15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程　　　　　　．

16．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：

（1）a∥α，b∥β，则a∥b；

（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是　　　　　　．

三、解答题（本大题共6道小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．

（1）求直线l的方程；

（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：

MN∥平面PAD．

19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

（1）画出二面角A﹣B1C﹣C1的平面角；

（2）求证：

面BB1DD1⊥面AB1C．

20．（12分）求经过点M（﹣1，2），且满足下列条件的直线方程：

（1）与直线2x+y+5=0平行；

（2）与直线2x+y+5=0垂直．

21．（12分）已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．

（1）求BC边上的高所在直线的方程；

（2）求BC边上的中线所在直线的方程．

22．（14分）四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=

（1）求证：

AO⊥平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（3）求点C到平面AED的距离．

天全中学2015—2016学年上期高二第19周周考

数学参考答案

一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：

如图放置圆锥的俯视图是一个等腰三角形．故选C．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题容易误选B．

2．【解答】解：

由中点坐标公式可得，点A（﹣1，2），B（3，0），

那么线段AB中点的坐标为：

（（1，1）．故选B．

【点评】本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用．

3．【解答】解：

∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，

∴表面积为：

4×

a=

a2，故选：

D

【点评】本题考查了空间几何体的性质，面积公式，属于简单的计算题．

4．【解答】解：

由题意得，直线l的方程为：

3x﹣y+6=0，令x=0得y=6；令y=0得x=﹣2，

所以在y轴上的截距是6，在x轴上的截距是﹣2，故选：

A．

【点评】本题考查由直线方程的一般式求出直线在坐标轴上的截距，属于基础题．

5．【解答】解：

圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，

∴圆心坐标是（1，2），故选D．

【点评】本题考查圆的方程，将圆的方程化为标准方程是关键．

6．【解答】解：

根据两条直线l1：

x+2ay﹣1=0，l2：

x﹣4y=0，且l1∥l2，可得

，求得a=﹣2，故选C．

【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．

7．【解答】解：

直线y=2x+1与y轴的交点为A（0，1），设y=2x+1关于y轴对称的直线为l，

则l的倾斜角与直线y=2x+1的倾斜角互补，故l的斜率为﹣2，

故l的方程为y=﹣2x+1，故选：

A．

【点评】本题主要考查求一条直线关于y轴对称的直线方程的方法，利用对称直线过点A（0，1），且倾斜角与已知直线的倾斜角互补，故与已知直线的斜率互为相反数．

8．【解答】解：

连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A

∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角

而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．

9．【解答】解：

选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项C，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选B

【点评】本题考查命题真假，涉及线面位置关系的确定，属基础题．

10．【解答】解：

连接BC′，则BC′∥AD′，

∴∠DBC′即为异面直线D'A与DB所成的角，故选D．

【点评】本题主要考查异面直线所角的定义，同时，还考查转化思想和平面图形的特征，属基础题．

11．【解答】解：

因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：

，

所以球的半径为：

，所以这个球的表面积是：

=50π．故选B．

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．

12．【解答】解：

过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过这条直线的平面都和已知平面垂直，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直．故①不正确；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，过这条直线的平面都和已知直线平行，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行．故②不正确；过直线外一点无数条直线与已知直线垂直，故③不正确；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故④正确．故选B．

【点评】本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养．

二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

13．　

　．

14．　3：

1：

2　．【解答】解：

设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，则V圆柱=2π•R3，

V圆锥=

π•R3，V球=

π•R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：

3：

1：

2故答案为：

3：

1：

2

【点评】本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．

15．2x﹣y=0或x+y﹣3=0　．

【解答】解：

①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：

a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：

k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：

2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：

2x﹣y=0或x+y﹣3=0

【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．

16．　

（2）　．

【解答】解：

对于

（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；对于

（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；对于（3），a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α．故答案为：

（2）

【点评】本题考查线面位置关系的判定及性质，属于基础题．

三、解答题（本大题共6道小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：

（1）因为直线l的倾斜角的大小为60°，故其斜率为

，

又直线l经过点（0，﹣2），所以其方程为y﹣（﹣2）=

x即

．…（3分）

（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是

、﹣2，

所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积

．…（8分）

【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，其中根据直线l经过点（0，﹣2），结合直线的斜率，求出直线方程是解答的关键．

18．【解答】证明：

取CD的中点E，连接ME，NE．

由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，

∵NE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NE∥平面PAD．

由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AMED是平行四边形，∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．

【点评】熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理是解题的关键．

19．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离；空间角．

【分析】

（1）取B1C的中点O，连结AO，C1O，由AB1=AC，B1C1=CC1，得∠AOC1是二面角A﹣B1C﹣C1的平面角．

（2）由已知得AC⊥BD，AC⊥BB1，从而AC⊥平面BB1DD1，由此能证明面BB1DD1⊥面AB1C．

【解答】

（1）解：

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

取B1C的中点O，连结AO，C1O，∵AB1=AC，B1C1=CC1，

∴AO⊥B1C，C1O⊥B1C，∴∠AOC1是二面角A﹣B1C﹣C1的平面角．

（2）证明：

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，

∴AC⊥平面BB1DD1，∵AC⊂平面AB1C，∴面BB1DD1⊥面AB1C．

【点评】本题考查二面角的平面角的作法，考查平面与平面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

20．【解答】解：

（1）由题意，可设所求直线为：

2x+y+c=0，

因为点M（﹣1，2）在直线上，所以2×（﹣1）+2+c=0，

解得：

c=0，所以所求直线方程为：

2x+y=0；

（2）同理，设所求直线为：

x﹣2y+c=0．…（10分）因为点M（﹣1，2）在直线上，所以﹣1﹣2×2+c=0，解得：

c=5，所以所求直线方程为：

x﹣2y+5=0

【点评】本题考查直线方程的求法，注意直线与直线平行、直线与直线垂直等关系的合理运用是解决问题的关键，属基础题．

21．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程．

【专题】直线与圆．

【分析】

（1）根据B与C的坐标求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出BC边上的高所在直线的斜率，然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；

（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可．

【解答】解：

（1）BC边所在直线的斜率为

…（1分）

则BC边上的高所在直线的斜率为

…（3分）

由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：

y﹣0=6（x﹣4）化简得：

y=6x﹣24…（5分）

（2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得

，即点

…（7分）

由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：

…（9分）

化简得：

…（10分）

【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．

　22．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】

（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AO⊥OC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；

（2）取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，运用解直角三角形，即可得到；

（3）设点C到平面AED的距离为h，由VC﹣AED=VA﹣CDE，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C到平面AED的距离．

【解答】

（1）证明：

连接OC，已知O为BD中点，AB=AD=

，AC=BC=CD=BD=2，

故AO⊥BD，CO⊥BD，所以OA=

=1，OC=

，在△AOC中，

OA2+OC2=4=AC2，所以∠AOC=90°，则AO⊥OC，又AO⊥BD，BD∩OC=O，故AO⊥平面BCD．

（2）解：

取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，

所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，在△OME中，

EM=

，OE=

，又OM为Rt△AOC的斜边AC上的中线，故OM=1，

所以cos∠OEM=

，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为

．

（3）解：

（体积法）设点C到平面AED的距离为h，因为VC﹣AED=VA﹣CDE，

即有

hS△AED=

AO•S△CDE，又CA=BC=2，AB=

，设AE=x，则由余弦定理有

cos∠ABC=

=

，即有AE=

，△AED为等腰三角形，

而DE=

，等腰三角形△AED底边上的高为

，

故△AED的面积为S△AED=

=

．

则而AO=1，S△CDE=

，

故h=

，点E到平面ACD的距离为

．

【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：

体积法，考查运算能力，属于中档题．