高三新数学第一轮复习教案导数定积分.docx

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高三新数学第一轮复习教案导数定积分

2019-2020年高三新数学第一轮复习教案导数、定积分

一．课标要求：

1．导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算

①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x的导数；

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；

③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例

例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理

①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；

②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

（6）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二．命题走向

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：

单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计xx年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：

（1）考查形式为：

选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；

（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：

导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测07年高考呈现以下几个特点：

（1）新课标第1年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；

（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。

三．要点精讲

1．导数的概念

函数y=f（x）,如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f（x）在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。

如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’（x）=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。

相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．常见函数的导出公式．

　（１）（C为常数）　　　　（２）

　（３）　　　　　　　（４）

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：

两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差），

即：

（

法则2：

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则

.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：

分解——求导——回代。

法则：

y＇|=y＇|·u＇|

5．导数的应用

（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；

（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ在（a，b）内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ（a）、ƒ（b）；③将函数ƒ的各极值与ƒ（a）、ƒ（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

6．定积分

（1）概念

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

，即＝（ξi）△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②

；

③

（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a

如果图形由曲线y1＝f1（x），y2＝f2（x）（不妨设f1（x）≥f2（x）≥0），及直线x＝a，x＝b（a

四．典例解析

题型1：

导数的概念

例1．已知s=，

（1）计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度；

（2）求t=3秒是瞬时速度。

解析：

（1）

指时间改变量；

指时间改变量。

　　　　。

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。

（2）从

（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，

V==

=（6+=3g=29.4（米/秒）。

例2．求函数y=的导数。

解析：

，

，

=-。

点评：

掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。

题型2：

导数的基本运算

例3．

（1）求的导数；

（2）求的导数；

（3）求的导数；

（4）求y=的导数；

（5）求y＝的导数。

解析：

（1）,

（2）先化简,

（3）先使用三角公式进行化简.

（4）y’==；

（5）y＝－x＋５－

y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。

点评：

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

例4．写出由下列函数复合而成的函数：

（1）y=cosu,u=1+

（2）y=lnu,u=lnx

解析：

（1）y=cos（1+）；

（2）y=ln（lnx）。

点评：

通过对y=（3x-2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=..给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。

题型3：

导数的几何意义

例5．

（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

（2）（06全国II）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）

（A）（B）（C）（D）

解析：

（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为，故选A；

（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为

，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确，选D。

点评：

导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6．

（1）（06湖北卷）半径为r的圆的面积S（r）＝r2,周长C（r）=2r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则（r2）`＝2r

，

式可以用语言叙述为：

圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于

的式子：

；

式可以用语言叙述为：

。

（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。

解析：

（1）V球＝，又故

式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

”；

（2）曲线和在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。

点评：

导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。

题型4：

借助导数处理单调性、极值和最值

例7．

（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）≥0，则必有（）

A．f（0）＋f

（2）<2f

（1）B.f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C．f（0）＋f

（2）≥2f

（1）D.f（0）＋f

（2）>2f

（1）

（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（3）（06全国卷I）已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

解析：

（1）依题意，当x≥1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数；当x<1时，f'（x）≤0，f（x）在（－∞，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）≥f

（1），f

（2）≥f

（1），故选C；

（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。

（3）：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（－∞,1）∪（1,+∞）.对f（x）求导数得f'（x）=

e－ax。

（ⅰ）当a=2时,f'（x）=

e－2x,f'（x）在（－∞,0）,（0,1）和（1,+∞）均大于0,所以f（x）在（－∞,1）,（1,+∞）.为增函数；

（ⅱ）当00,f（x）在（－∞,1）,（1,+∞）为增函数.；

（ⅲ）当a>2时,0<

<1,令f'（x）=0,解得x1=－

x2=

；

当x变化时,f'（x）和f（x）的变化情况如下表:

x

（－∞,－

）

（－

）

（

1）

（1,+∞）

f'（x）

＋

－

＋

＋

f（x）

↗

↘

↗

↗

f（x）在（－∞,－

）,（

1）,（1,+∞）为增函数,f（x）在（－

）为减函数。

（Ⅱ）（ⅰ）当0

对任意x∈（0,1）恒有f（x）>f（0）=1；

（ⅱ）当a>2时,取x0=

∈（0,1）,则由（Ⅰ）知f（x0）

（ⅲ）当a≤0时,对任意x∈（0,1）,恒有

>1且e－ax≥1，

得：

f（x）=

e－ax≥

>1.综上当且仅当a∈（－∞,2]时,对任意x∈（0,1）恒有f（x）>1。

点评：

注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。

导函数的正负对应原函数增减。

例8．

（1）（06浙江卷）在区间上的最大值是（）

（A）－2（B）0（C）2（D）4

（2）（06山东卷）设函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的极值。

解析：

（1）

，令可得x＝0或2（2舍去），当－1≤x<0时，>0，当0

选C；

（2）由已知得，令，解得。

（Ⅰ）当时，，在上单调递增；

当时，，随的变化情况如下表：

0

+

0

0

极大值

极小值

从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。

点评：

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

题型5：

导数综合题

例9．（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求

（

）求点的坐标；

（

）求动点的轨迹方程.

解析：

（Ⅰ）令

解得；

当时,，当时,，当时，。

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。

所以,点A、B的坐标为。

（Ⅱ）设，，

，

，所以。

又PQ的中点在上，所以，消去得。

点评：

该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10．（06湖南卷）已知函数,数列{}满足:

证明:

（ⅰ）；（ⅱ）。

证明:

（I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…

（

）.当n=1时,由已知显然结论成立。

（

）.假设当n=k时结论成立,即。

因为0

又f（x）在[0,1]上连续，从而

.故n=k+1时,结论成立。

由（

）、（

）可知，对一切正整数都成立。

又因为时，

，所以，综上所述。

（II）．设函数，，

由（I）知，当时，，

从而

所以g（x）在（0,1）上是增函数。

又g（x）在[0,1]上连续,且g（0）=0，所以当时，g（x）>0成立。

于是

．故。

点评：

该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：

导数实际应用题

例11．（06江苏卷）请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：

设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为

（单位：

m）。

于是底面正六边形的面积为（单位：

m2）：

。

帐篷的体积为（单位：

m3）：

求导数，得；

令解得x=-2（不合题意，舍去）,x=2。

当1

所以当x=2时,V（x）最大。

答：

当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：

结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12．（06浙江卷）已知函数f（x）=x+x，数列｜x｜（x＞0）的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：

曲线x=f（x）在处的切线与经过（0，0）和（x,f（x））两点的直线平行（如图）求证：

当n时，

（Ⅰ）x

（Ⅱ）。

证明：

（

）因为所以曲线在处的切线斜率

因为过和两点的直线斜率是所以.

（

）因为函数当时单调递增，而

，

所以，即因此

又因为令则

因为所以

因此故

点评：

本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

题型7：

定积分

例13．计算下列定积分的值

（1）；

（2）；（3）；（4）；

解析：

（1）

（2）因为，所以

；

（3）

（4）

例14．

（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

解析：

（1）物体的速度。

媒质阻力

，其中k为比例常数，k>0。

当x=0时，t=0；当x=a时，，

又ds=vdt，故阻力所作的功为：

（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以

（1）

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a=0．

于是代入

（1）式得：

，；　

令S'（b）=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。

点评：

应用好定积分处理平面区域内的面积。

五．思维总结

1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主

主要考查：

（1）函数的极限；

（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；

（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

2．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。

2019-2020年高三暑期学习诊断性测试政治（加一）

xx年8月

考生注意：

1、考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求。

所有答题必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

3、答题前，务必在答题纸上填写姓名等相关信息。

一、单项选择题（共42分,每题2分。

每题只能选一个选项。

）

1．今年是香港回归祖国周年。

回归以来，“一国两制”的科学构想在香港变成了生动的现实。

A．13B．14C．15D．16

2．7月16日上午，蛟龙号载人潜水器海试队在圆满完成人类首次米级海底作业和科研实验任务后，乘坐“向阳红09”船返抵山东省青岛市。

A．7000B．7500C．8000D．8500

3．中非合作论坛第五届部长级会议于2012年7月19日上午在人民大会堂开幕。

本届部长级会议的主题是“”。

A．继往开来，开创中非新型战略伙伴关系新局面B．务实合作，面向行动

C．深化中非新型战略伙伴关系，谋求可持续发展D．友谊、和平、合作、发展

4．第30届国际奥林匹克运动会于2012年7月28日03时12分（北京时间）在英国伦敦开幕，中国运动员获得伦敦奥运会首金。

A．王明娟B．孙杨C．叶诗文D．易思玲

5．为落实江泽民同志关于重视学习中国历史的指示精神，中国社会科学院组织史学界专家学者编写的《简明中国读本》近日出版。

A．史B．史实C．政史D．历史

6．《重大节假日免收小型客车通行费实施方案》于2012年8月2日对社会公布。

今后等4个国家法定节假日，以及当年国务院办公厅文件确定的上述法定节假日连休日，免收7座及以下小型客车通行费。

A．春节、重阳节、劳动节、国庆节B．春节、清明节、劳动节、国庆节

C．春节、中秋节、劳动节、国庆节D．春节、元旦、劳动节、国庆节

7．下列对科学发展观的认识，正确的是

A．中国特色社会主义理论体系就是科学发展观

B．科学发展观是马克思主义中国化的最新成果之一

C．科学发展观的基本要求是发展

D．科学发展观的第一要义是以人为本

8．当消费者的合法权益受到损害时，可以选择多种途径解决。

下列途径中，最有权威性的是

A．向有关行政管理部门申诉

B．请求消费者权益保护委员会调解

C．根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁

D．向人民法院提起诉讼

9．第三产业与第一、二产业的区别是

A．前者是为生活服务的部门，后者是为生产服务的部门

B．前者不为社会创造财富，后者为社会创造财富

C．前者一般不生产有形的物质产品，后者为社会提供有形的物质产品

D．前者与消费关系密切，后者与消费没有关系

10．随着金融活动的发展，银行从事的中间业务种类越来越多，成为银行业务发展和相互竞争的主要舞台。

在银行的中间业务中，最重要的是

A．代理收付款项B．代理保险业务

C．转账结算业务D．提供保管箱服务

11．当前我国收入分配上的主要问题是收入差距过分悬殊。

收入差距过大

①是市场竞争的必然结果②会影响社会稳定

③制约社会消费需求增长④有悖于社会主义生产目的

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

12．“神舟八号”与“天宫一号”成功对接是我国载人航天事业的里程碑，我国财政收入的增加为我国航天事业的发展打下了坚实的物质基础。

这说明财政可以

A．有力地促进经济的发展B．促进科学、教育、文化、卫生事业的发展

C．促进人民生活水平的提高D．为巩固国防提供可靠的物质保障

13．下表是市民老王xx～xx两年家庭收支状况（单位：

万元）

年份

家庭收入

食品支出

衣物支出

学费支出

旅游支出

存款

xx

10

2.2

1.8

1.0

2.0

3.0

xx

12

2.5

1.5

1.5

4.0

2.5

和xx年相比，老王一家在xx年

A．恩格尔系数降低了约5％，消费结构有所改善

B．恩格尔系数降低了约1％，消费水平有所提高

C．恩格尔系数两年持平，消费结构不变

D．存款减少，消费水平整体下降

14．在现代社会条件下，有两种基本的资源配置方式：

计划的方式和市场的方式。

下列选项体现市场作为资源配置方式的是

A．江苏省投资17亿元支援青海海南州经济建设

B．中国海尔集团并购日本三洋电机公司白色家电业务

C．上海市政府对在校大学生提供物价补贴

D．中央财政加大“三农”支出

15．任何阶级或社会集团的政治活动，归根结底都是为了

A．夺取和掌握国家政权B．发展生产力，提高人民生活水平

C．维护本阶级的统治D．实现和维护本阶级的根本利益

16．我国是人民民主专政的社会主义国家，国家一切权力属于人民，人民行使国家权力的机关是

①全国人民代表大会②地方各级人民代表大会

③中央人民政府④地方各级人民政府

A．①②B．①③C．②③D．③④

17．根据宪法规定，公民依法享有选举权和被选举权。

通过直接或间接地参加选举，切实保障人民当