第一章综合素能检测人教版必修一数学.docx

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第一章综合素能检测人教版必修一数学

第一章综合素能检测

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的）

1．（2012～2013河南安阳一中分校月考试题）已知M＝{x|x≤5，x∈R}，a＝

，b＝

则（　　）

A．a∈M，b∉M　　　　　　B．a∈M，b∈M

C．a∈M，b∈MD．a∈M，b∈M

[答案]　A

[解析]　a＝

＜5，∴a∈M，

b＝

＞5，∴b∉M，故选A.

2．（2012～2013山东潍坊一中月考试题）已知集合A＝{x|0＜x＜

}，B＝{x|1≤x＜2}则A∪B＝（　　）

A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}

C．{x|1≤x＜

}D．{x|0＜x＜2}

[答案]　D

[解析]　如图

A∪B＝{x|0＜x＜2}．故选D.

3．如图，可作为函数y＝f（x）的图象是（　　）

[答案]　D

4．（2012·普通高等学校招生全国统一考试）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}；则B中所含元素的个数为（　　）

A．3　　　　B．6C．8　　　　D．10

[答案]　D

[解析]　x＝5，y＝1,2,3,4；x＝4，y＝1,2,3，x＝3；y＝1,2；x＝2，y＝1共10个．

5．（2012～2013山东冠县武训中学月考试题）设函数f（x）＝

，则f（f（f

（1）））＝（　　）

A．0　　　　B.

C．1　　　　D．2

[答案]　C

[解析]　f

（1）＝

＝0，f（0）＝2，f

（2）＝

＝1，∴f（f（f

（1）））＝1.故选C.

6．f（x）＝－x2＋mx在（－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（　　）

A．{2}B．（－∞，2]

C．[2，＋∞）D．（－∞，1]

[答案]　C

[解析]　f（x）＝－（x－

）2＋

的增区间为（－∞，

]，由条件知

≥1，∴m≥2，故选C.

7．（2012～2013河北冀州中学月考试题）若函数f（x）＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－

，－4]，则m的取值范围（　　）

A．（0,4]B．[

，4]

C．[

，3]D．[

，＋∞）

[答案]　C

[解析]　f（x）＝x2－3x－4的最小值为

.因此m≥

，又f（0）＝－4，f（3）＝－4，因此

≤m≤3，故选C.

8．（2012～2013河北衡水中学高一月考试题）若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）是偶函数，则m的值是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　B

[解析]　由f（x）＝f（x）得（m－2）x＝－（m－2）x，

∴m－2＝0，∴m＝2，故选B.

9．（瓮安二中2011～2012学年度第一学期高一年级期末考试）若f（x）是偶函数且在（0，＋∞）上减函数，又f（－3）＝1，则不等式f（x）<1的解集为（　　）

A．{x|x>3或－3

B．{x|x<－3或0

C．{x|x<－3或x>3}

D．{x|－3

[答案]　C

[解析]　由于f（x）是偶函数，∴f（3）＝f（－3）＝1，f（x）在（－∞，0）上是增函数，∴当x>0时，f（x）<1即为f（x）3，当x<0时，f（x）即f（x）

10．定义在R上的偶函数f（x）满足：

对任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<0，则（　　）

A．f（3）

（1）B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

（1）

[答案]　A

[解析]　若x2－x1>0，则f（x2）－f（x1）<0，

即f（x2）

∴f（x）在[0，＋∞）上是减函数，

∵3>2>1，∴f（3）

（2）

（1），

又f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f

（2），

∴f（3）

（1），故选A.

11．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f

（1）＝

，f（x＋2）＝f（x）＋f

（2），则f（5）＝（　　）

A．0B．1

C.

D．5

[答案]　C

[解析]　f

（1）＝f（－1＋2）＝f（－1）＋f

（2）＝

，又f（－1）＝－f

（1）＝－

，∴f

（2）＝1，

∴f（5）＝f（3）＋f

（2）＝f

（1）＋2f

（2）＝

.

12．已知f（x）＝3－2|x|，g（x）＝x2－2x，F（x）＝

则F（x）的最值是（　　）

A．最大值为3，最小值－1

B．最大值为7－2

，无最小值

C．最大值为3，无最小值

D．既无最大值，又无最小值

[答案]　B

[解析]　作出F（x）的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．（2011·江苏，1）设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

[答案]　1

[解析]　∵A∩B＝{3}，∴3∈B，

∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

14．（2012～2013河南安阳高中月考试题）若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数则a＝________.

[答案]　a＝0

[解析]　f（－x）＝x2－|a－x|，由偶函数定义得|x＋a|＝|a－x|，∴（a＋x）＋（a－x）＝0，∴a＝0.

15．如图，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．

[答案]　f（x）＝

[解析]　当x∈[－1,0]时，设y＝kx＋b，由图象得

，得

，∴y＝x＋1，当x>0时，设y＝a（x－2）2－1，由图象得0＝a（4－2）2－1，解得a＝

，∴y＝

（x－2）2－1，

综上可知f（x）＝

.

16．（2012～2013山东泗水一中月考试题）国家规定个人稿费纳税办法为：

不超过800元的部分不纳税；超过800元而不超过4000元按超过800的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%的税．某人出版了一书共纳税420，这个人的稿费为______元．

[答案]　3800万

[解析]　由于420＜4000×11%＝440，因此该人稿费不超过4000元，设稿费为x元，

则（x－800）×14%＝420解得x＝3800元．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）（2013～2013沈阳二中高一第三次月考试题）已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝

的定义域构成集合B，求：

（1）A∩B；

（2）（∁RA）∪B.

[解析]　y＝

的定义域，B＝{x|x≥5}，

则

（1）A∩B＝{x|5≤x<8}，

（2）∁RA＝{x|x<－4或x≥8}，

∴（∁RA）∪B＝{x|x<－4或x≥5}．

18．（本小题满分12分）（2012～2013河南南阳市一中月考试题）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象关于直线x＝1对称．

（1）求实数a的值

（2）若f（x）的图象过（2,0），求x∈[0,3]时f（x）的值域．

[解析]　

（1）二次函数f（x）＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－

，∴－

＝1，∴a＝－2.

（2）若f（x），过（2,0）点，∴f

（2）＝0，

∴22－2×2＋b＝0，∴b＝0，∴f（x）＝x2－2x.

当x＝1时f（x）最小为f

（1）＝－1，当x＝3时，f（x）最大为f（3）＝3，∴f（x）在[0,3]值域为[－1,3]．

19．（本小题满分12分）图中给出了奇函数f（x）的局部图象，已知f（x）的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f

（1）与f（3）的大小．

[解析]　奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f（3）>f

（1）．

20．（本小题满分12分）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．

（1）设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；

（2）小明家第一季度交纳电费情况如下：

月份

一月

二月

三月

合计

交费金额

76元

63元

45.6元

184.6元

则小明家第一季度共用电多少度？

[解析]　

（1）当0≤x≤100时，y＝0.57x；

当x>100时，y＝0.5×（x－100）＋0.57×100＝0.5x－50＋57＝0.5x＋7.

所以所求函数式为

y＝

（2）据题意，

一月份：

0.5x＋7＝76，得x＝138（度），

二月份：

0.5x＋7＝63，得x＝112（度），

三月份：

0.57x＝45.6，得x＝80（度）．

所以第一季度共用电：

138＋112＋80＝330（度）．

故小明家第一季度共用电330度．

21．（本小题满分12分）设函数f（x）在定义域R上总有f（x）＝－f（x＋2），且当－1

（1）当3

（2）判断函数f（x）在（3,5]上的单调性，并予以证明．

[解析]　

（1）∵f（x）＝－f（x＋2），

∴f（x＋2）＝－f（x）．

∴f（x）＝f[（x－2）＋2]＝－f（x－2）＝－f[（x－4）＋2]＝f（x－4）．

∵－1

又∵当3

∴f（x－4）＝（x－4）2＋2.

∴当3

（2）∵函数f（x）＝（x－4）2＋2的对称轴是x＝4，

∴函数f（x）＝（x－4）2＋2在（3,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增．

证明：

任取x1，x2∈（3,4]，且x1

f（x1）－f（x2）

＝[（x1－4）2＋2]－[（x2－4）2＋2]

＝（x1－x2）（x1＋x2－8）．

∵3

∴x1－x2<0，x1＋x2－8<0.

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

故函数y＝f（x）在（3,4]上单调递减．

同理可证函数在[4,5]上单调递增．

22．（2012～2013山东临沂一中月考试题）（本小题满分12分）定义在R上的函数f（x），满足当x>0时，f（x）>1，且对任意的x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）·f（y），f

（1）＝2.

（1）求f（0）的值；

（2）求证：

对任意x∈R，都有f（x）>0；

（3）解不等式f（3－2x）>4.

[解析]　

（1）对任意x，y∈R，

f（x＋y）＝f（x）·f（y）．

令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）·f（0），

即f（0）·[f（0）－1]＝0.

令y＝0，得f（x）＝f（x）·f（0），对任意x∈R成立，

所以f（0）≠0，因此f（0）＝1.

（2）证明：

对任意x∈R，

有f（x）＝f（

＋

）＝f（

）·f（

）＝[f（

）]2≥0.

假设存在x0∈R，使f（x0）＝0，

则对任意x>0，有

f（x）＝f[（x－x0）＋x0]＝f（x－x0）·f（x0）＝0.

这与已知x>0时，f（x）>1矛盾．

所以，对任意x∈R，均有f（x）>0成立．

（3）令x＝y＝1有

f（1＋1）＝f

（1）·f

（1），

所以f

（2）＝2×2＝4.

任取x1，x2∈R，且x1

则f（x2）－f（x1）

＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）

＝f（x2－x1）·f（x1）－f（x1）

＝f（x1）·[f（x2－x1）－1]．

∵x10，

由已知f（x2－x1）>1，

∴f（x2－x1）－1>0.

由

（2）知x1∈R，f（x1）>0.

所以f（x2）－f（x1）>0，

即f（x1）

故函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．

由f（3－2x）>4，得f（3－2x）>f

（2），

即3－2x>2.

解得x<

.

所以，不等式的解集是（－∞，

）．