高中数学必修3第二章 221一.docx
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高中数学必修3第二章221一
§2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
（一）
学习目标
1.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据.2.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计.
知识点一 数据分析的基本方法
思考 通过抽样获得的原始数据有什么缺点？
答案 因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息.
梳理
（1）借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.
（2）借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.
知识点二 频率分布表与频率分布直方图
思考 要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？
答案 分组，频数累计，计算频数和频率.
梳理
（1）频数指某组中包含的个体数，各组频数和等于样本容量；频率＝
，各组频率和等于1.
（2）在频率分布直方图中，纵轴表示
，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1.
1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.
（ √ ）
2.频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.（ × ）
3.频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.（ √ ）
类型一 频率分布概念的理解
例1 一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在[10,40）上的频率为（ ）
A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 C
解析 由题意可知频数在[10,40）的有13＋24＋15＝52（个），所以频率为
＝0.52.故选C.
跟踪训练1 容量为100的某个样本，数据拆分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组频率为________.
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 0.12
解析 设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1，而由频率和为1得0.79＋（x－0.05）＋（x－0.1）＋x＝1，解得x＝0.12.
类型二 频率分布直方图的绘制
例2 如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高（单位：
cm）.
区间界限
[122，126）
[126，130）
[130，134）
[134，138）
[138，142）
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142，146）
[146，150）
[150，154）
[154，158]
人数
20
11
6
5
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
考点 频率分布直方图
题点 作频率分布直方图
解
（1）样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122,126）
5
0.04
[126,130）
8
0.07
[130,134）
10
0.08
[134,138）
22
0.18
[138,142）
33
0.28
[142,146）
20
0.17
[146,150）
11
0.09
[150,154）
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00
（2）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知，身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
反思与感悟 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
跟踪训练2 一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下（单位：
cm）：
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6
5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8
6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4
6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4
6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0
5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7
5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35cm之间的麦穗所占的百分比.
考点 频率分布直方图
题点 作频率分布直方图
解
（1）计算极差：
7.4－4.0＝3.4.
（2）决定组距与组数：
若取组距为0.3，因为
≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12.
（3）决定分点：
使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.
（4）列频率分布表：
分组
频数
频率
[3.95,4.25）
1
0.01
[4.25,4.55）
1
0.01
[4.55,4.85）
2
0.02
[4.85,5.15）
5
0.05
[5.15,5.45）
11
0.11
[5.45,5.75）
15
0.15
[5.75,6.05）
28
0.28
[6.05,6.35）
13
0.13
[6.35,6.65）
11
0.11
[6.65,6.95）
10
0.10
[6.95,7.25）
2
0.02
[7.25,7.55]
1
0.01
合计
100
1.00
（5）绘制频率分布直方图如图.
从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35cm之间的麦穗约占41%.
类型三 频率分布表及频率分布直方图的应用
例3 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：
小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2）
6
2
[2,4）
8
3
[4,6）
17
4
[6,8）
22
5
[8,10）
25
6
[10,12）
12
7
[12,14）
6
8
[14,16）
2
9
[16,18]
2
合计
100
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.
考点 频率分布表
题点 求累计频率
解
（1）根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10（名），
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－
＝0.9.
故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
（2）课外阅读时间落在[4,6）组内的有17人，频率为0.17，所以a＝
＝
＝0.085.课外阅读时间落在[8,10）组内的有25人，频率为0.25，所以b＝
＝
＝0.125.
（3）样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.
反思与感悟 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.
跟踪训练3 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
考点 频率分布直方图
题点 求频率及容量
解
（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
因为第二小组的频率＝
，
所以样本容量＝
＝
＝150.
（2）由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为
×100%＝88%.
1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8，其累计频率为0.4，则这个样本的容量是（ ）
A.20B.40C.70D.80
考点 频率分布表
题点 求频数及容量
答案 A
解析 由已知不超过70分的人数为8，累计频率为0.4，则这个样本容量n＝
＝20.故选A.
2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为（ ）
A.20B.30C.40D.50
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 B
解析 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×（0.04＋0.1）]＝30.
3.统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示.若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ ）
A.20%B.25%C.60%D.80%
考点 频率分布直方图
题点 求频率和累计频率
答案 D
解析 样本中及格的频率为
（0.025＋0.035＋0.010＋0.010）×10＝0.8＝80%，由样本估计总体，得及格率是80%.故选D.
4.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60）内的频率为0.6，则估计样本在[40,50），[50,60）内的数据个数之和是________.
考点 频率分布表
题点 求频率及容量
答案 21
解析 根据题意，设分布在[40,50），[50,60）内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20,60）内的频率为0.6，样本容量为50，
∴
＝0.6，解得x＋y＝21.
即样本在[40,50），[50,60）内的数据个数之和为21.
5.如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18）内的频数为8.
（1）求样本在[15,18）内的频率；
（2）求样本容量；
（3）若在[12,15）内的小矩形面积为0.06，求在[18,33）内的频数.
考点 频率分布直方图
题点 求频率及容量
解 由样本频率分布直方图可知组距为3.
（1）由样本频率分布直方图得样本在[15,18）内的频率等于
×3＝
.
（2）∵样本在[15,18）内频数为8，由
（1）可知，样本容量为
＝8×
＝50.
（3）∵在[12,15）内的小矩形面积为0.06，故样本在[12,15）内的频率为0.06，故样本在[15,33）内的频数为50×（1－0.06）＝47，又在[15,18）内频数为8，故在[18,33）内的频数为47－8＝39.
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.
3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
一、选择题
1.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：
克）：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为（ ）
A.0.2B.0.3
C.0.4D.0.5
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 C
解析 在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134这10个数字中，落在[114.5,124.5）内的有116,120,120,122，共4个，
∴样本数据在[114.5,124.5）内的频率为
＝0.4.故选C.
2.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是（ ）
A.14和0.14B.0.14和14
C.
和0.14D.
和
考点 频率分布表
题点 求指定组的频率
答案 A
解析 x＝100－（10＋13＋14＋15＋13＋12＋9）＝100－86＝14，第三组的频率为
＝0.14.
3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出（单位：
元）在[50,60]内的学生有30人，则n的值为（ ）
A.100B.1000
C.90D.900
考点 频率分布表
题点 求频数及容量
答案 A
解析 由题意可知，前三组的频率之和为（0.01＋0.024＋0.036）×10＝0.7，
∴支出在[50,60）内的频率为1－0.7＝0.3，
∴n＝
＝100.
4.某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则这100个新生婴儿中，体重（单位：
kg）在[3.2,4.0）的人数是（ ）
A.30B.40C.50D.55
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 B
解析 在频率分布直方图中小长方形的面积为频率.
在[3.2,3.6）内的频率为0.625×0.4＝0.25，频数为0.25×100＝25，
在[3.6,4.0）内的频率为0.375×0.4＝0.15，频数为0.15×100＝15.
则这100个新生婴儿中，体重在[3.2,4.0）内的有25＋15＝40（人）.故选B.
5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60）内的汽车有（ ）
A.30辆B.40辆C.60辆D.80辆
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 C
解析 因为小长方形的面积即为对应的频率，
时速在[50,60）内的频率为0.3，
所以有200×0.3＝60（辆）.
6.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命在100～300h的电子元件的数量与寿命在300～600h的电子元件的数量的比是（ ）
A.1∶2B.1∶3
C.1∶4D.1∶6
考点 频率分布直方图
题点 求频率和累计频率
答案 C
解析 由题意，知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即1∶4.
7.为了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童中身高大于或等于98cm且小于104cm的有（ ）
A.90名B.75名
C.65名D.40名
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 A
解析 由图可知身高大于或等于98cm且小于104cm的儿童的频率为（0.1＋0.15＋0.125）×2＝0.75，抽查的120名儿童中有120×0.75＝90（名）儿童的身高大于或等于98cm且小于104cm.
8.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为（ ）
A.20B.27C.6D.60
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 D
解析 ∵n·
＝27，
∴n＝60.
9.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A.588B.480
C.450D.120
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 B
解析 ∵少于60分的学生人数为600×（0.05＋0.15）＝120，
∴不少于60分的学生人数为480.
二、填空题
10.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：
℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5），[21.5，22.5），[22.5,23.5），[23.5，24.5），[24.5,25.5），[25.5，26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________.
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 9
解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.
11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.则频率分布直方图中x的值为__________.
考点 频率分布直方图
题点 求频率和累计频率
答案 0.0044
解析 ∵（0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012）×50＝1，
∴x＝0.0044.
12.已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆.
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 80
解析 [70,80）的频率为1－（0.01×10＋0.03×10＋0.04×10）＝0.2，
∴[70,80）内的频数为0.2×400＝80.
三、解答题
13.为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组
频数
频率
一
[60.5,70.5）
a
0.26
二
[70.5,80.5）
15
c
三
[80.5,90.5）
18
0.36
四
[90.5,100.5]
b
d
合计
50
e
（1）求a，b，c，d，e的值；
（2）作出频率分布直方图.
考点 频率分布直方图
题点 作频率分布直方图
解
（1）根据题意，得分在[60.5,70.5）内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频数是b＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5）内的频率是c＝
＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率是d＝
＝0.08，频率和e＝1.
（2）根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示.
四、探究与拓展
14.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000）（单位：
元）内的应抽取________人.
答案 40
解析 月收入在[1500,2000）的频率为1－（0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001）×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40（人）.
15.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款________元.
考点 频率分布直方图
题点 求频数及容量
答案 37770
解析 根据统计图，得
高一人数为3000×32%＝960，
捐款960×15＝14400（元）；
高二人数为3000×33%＝990，
捐款990×13＝12870（元）；
高三人数为3000×35%＝1050，
捐款1050×10＝10500（元）.
所以该校学生共捐款14400＋12870＋10500＝37770（元）.
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