大学概率论期末考试解答题答案doc.docx

大学概率论期末考试解答题答案doc.docx

《大学概率论期末考试解答题答案doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学概率论期末考试解答题答案doc.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

大学概率论期末考试解答题答案doc

1、设两两相互独立的三事件A,8,C满足条件：

ABC=0,P（A）=P（B）=P（C）,且己知

9

P（AuBuC）=—,

求P（A）.

解：

P（Au8uC）=P（A）+P（B）+P（C）一P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

=P（A）+P（8）+P（C）一P（A）P（B）-P（A）P（C）一P（A）P（B）

q

=3P（A）-3P2（A）=—,

133

则P（A）=一或一，其中P（A）=一舍去，因为P（A）〈P（AuBuC）.

444

2、设事件A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是:

，试求P（A）及P（B）.

解：

由己知条件知：

P（AB）=P（AB）=-y贝ij

4

P（A）—P（A）P（B）=

4

P（B）-P（A）P（B）=：

;

4

解得P（A）=P（B）=~.

3、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4,0.5,0.7,又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2,若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6,若三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？

解：

设耳=｛甲炮射中飞机｝,A=（乙炮射中飞机｝,人=｛丙炮射中飞机｝,月=｛一门炮射中飞机｝,用=｛两门炮射中飞机｝，坊=｛三门炮射中飞机｝，。

=｛飞机坠毁｝，则由题

意可知事件相互独立，故

P（B〃=P（A[A2A3uAMoA瓦4）=P（"P（瓦）F0）+P0）PG42）P0）+P（A）P（瓦）P（A）=0.36

P（BD==P（A）P（总）P（瓦）+P（A）P（盅）RA3）

+P（A）F0）P（A3）=O.41

p（b3）=p（a”3）=P（A）P（H）P（A）=0.14

故由全概率公式可得：

P（C）=P（CB]uCB2uCB3）=P（CBJ+P（CBD+P（CB3）

=P（Bi）P（C|Bi）+P（B2）P（C|B2）+P（B3）P（C|B3）=0.360.2+0.41-0.6+0.14-1=0.458

4、已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

解：

设人=｛抽到的产品是合格品｝,•二｛抽到的产品是次品｝,B=｛抽到的产品认为是合格品｝.则由全概率公式可知：

P（B）=P（ABuAB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B\A）+P（A）P国A）=0.96-0.98+0.040.05=0.9428

5、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求:

解：

（1）X的可能取值为0,1,2,3,

X的分布律为

X

0

1

2

3

p

7

24

21_

40

21

120

1

120

（2）X的数学期望为

72121

E（X）=0x—+lx—+2x——+3x

244012012010

6、没有6题号

7、p26例1.4.9

8、设离散型随机变量X的分布列为

X

-2

-1

0

1

2

3

p

0.10

0.20

0.25

0.20

0.15

0.10

求：

（1）K=—2X的分布列；

（2）匕=X2的分布列.

解：

（1）*=—2X的分布律为

X

-6

-4

-2

0

2

4

P

0.10

0.15

0.20

0.25

0.20

0.10

（2）匕二乂2的分布律为:

X

0

1

4

9

P

0.25

0.40

0.25

0.10

t—2x,0

9、设随机变量X的概率密度f（x）=\口1，试求：

（1）随机变量Y=2X

〔0,具匕

的密度函数人（y）；

（2）数学期望E（Y）

—y,0

解：

（1）/（>9=2''

0,其它

f2194

（2）E（Y）=\-y2dy=-

10、设连续随机变量X分布函数为：

F（x）=A+Barctanx试求：

1）常数A、B；2）概

率密度函数/（%）,3）P（-l

limF⑴=lim（A+Barctanx）=0，limF（x）=jjm（A+Barctanx）=1

X->-oox—>-ooX->8X->oo

解：

1）[111

A—_=+===-

2227i

、/、^.1

2）f（x）=F（x）=（A+Barctanx）=—

〃（l+；r）

3）P（-l

11、设P{X=O}=P{V=O}=P{X=1}=P{V=1}=：

，两个随机变量X,丫是相互独立且同分布，求随机变量Z1=max（X,y）,Z2=X+y的分布律.

解：

（1）乙的所有可能取值为0,1,且

P{Z]=O}=P{max（X,Y）=O}=P{X=O,y=O}=P{X=O}P{Y=O}=；

p{乙=l}=P{max（X,K）=l}=P{X=O,K=1}+P{X=1,K=O}+P{X=1,Y=1}=2

4

故乙的分布律为：

乙01

（2）乙的所有可能取值为0,1,2,且

X

-1

1

2

1

0.2

0.1

0.1

2

0.3

0.2

0.1

Pg=0}=P{X+V=0}=P{X=O,F=O}=P{X=0}P{Y=0}=：

尸仁=1}=P{X+Y=1}=P{X=0,丫=1}+P{X=1,K=O}=：

P{Z2=2}=P（X+Y=2}=P{X=\,Y=}}=^

故Z2的分布律为：

012

Pk

J_J_j_424

12、设（X,Y）的联合分布律

试求：

（1）EX,EY；

（2）E（X-2Y）；（3）E（XY）；（4）方差DX,DY

解：

（1）EX=1XO.4+2X0.6=1.6E（Y）=-1x0.5+1x03+2x0.2=0.2

（2）E（X-2Y）=E（X）-2E（Y）=1.2

（3）E（XY）=-l*0.2+1*0.1+2*0.1+（-2）*0.3+2*0.2+4*0.1=0.3

（4）D（x）=E（XA2）-E（X）A2=l*0.4+4*0.6-1.6A2=0.24

D（y）=E（YA2）-E（Y）A2=1*0.5+1*0.3+4*0.2-0.2人2=1.56

13、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1,

一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：

（1）顾客买下该箱的概率；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.

解：

令A表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，

B,表示箱中恰有i件残次品，i=0,1,2.由题意可得：

P（B（））=0.8,P（B1）=P（B2）=0.1.

C44C412

P（A|Bo）=1,P（A|B1）=-^=-,P（A|B2）=-^=-.

。

2（）°。

20

（1）由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为:

2412

p（A）=^P（A|片）P（3）=0.8X1+0.1x—+0.1x—=0.94.

z=o519

（2）由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为:

14、设有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求

（1）现取出的零件是一等品的概率；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解：

（1）记4表示在第，次中取到一等品，，=1,2;片表示挑到第，箱.

则有P（吊）=P（弓|鸟）xP（月）+P（氏|B2）xP（B2）

lxl+^xl=0.4.

52302

（2）P（AlA2）=P（A[A2\Bi）xP（Bi）+P（A[A2\B2）xP（B2）

119|11817八c”

-x-x—+-x—x—=0.19423.

254923029

P（^A）_0.19423

P（A）一0.4

=0.4856.

15、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和K的联合概率分布.

解：

由题意知：

X口B（2」），rnB（2,-）.

52

因为X和Y相互独立，则

P{X=iJ=j}=P{X=i}xP{Y=j},iJ=0X2.

・1；4・；1

=C；（n«）2TG（s）2,i”=0,l,2.

从而随机变量X和Y的联合分布律为:

>

X

0

1

2

0

4/25

2/25

1/100

1

8/25

4/25

1/50

2

4/25

2/25

1/100

0x<-a

16^设连续型随机变量X的分布函数为F（x）=

（1）

1x>a

常数A,B；

（2）X的概率密度;

A+8arcsin（-tz）=0

解：

（1）因F（x）是连续函数，所以在点x=—点连续，故{,解得

[A+Barcsin（o）=1

A=-,B=-

2兀

（2）当一。

时，/（x）=Fz（x）=（―+—arcsinx）'=——，

2兀7TyJ\-X2

当尤<-ci,尤2q时,f{x）-F\x）-0

1

r,~CL

故X的概率密度为：

/（x）=^71-X2

0,其它

17、设二维随机变量（X,F）的联合概率密度为

\Ae~{x+y\x>0,y>0

心）^。

，其他

求

（1）A的值；

（2）P（X

解：

（1）

p+8p+8L+cO广+8-f-CO4-00

LL'e力妇）'=Ljo而-也蛔・b|o=A=1

4分

（2）P{Xvl,Yv2}=）么dy=厂[；=（1_°）（!

_丁）

18、某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度

1000

x>1000

其它

/•⑴=京-

0,

现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4只，问其中至少有一只寿命大

于2000小时的概率是多少？

解：

设4只器件中寿命大于1000小时的器件个数为*则K口Z?

（4,p）,

「2000I。

。

。

1

且其中p=P{X>2000}=l-P{X<2000}=1-［灿ck=一

looo尤2

2216

^p（r>i}=i-p（y

解：

Y=X2的分布函数化（），）为

当yvO时，FY（y）=P{X2

当y>0时，FY（y）=P{X2

=e~xdx-0=1-e~

-y>0

故Y=X2的概率密度函数为：

人（y）二弓（），）二2打

20、设随机变量K在（0,5）上服从均匀分布，则方程：

4J+4Kx+K+2=0有实根的概率.

解：

依题意可知，/CD（/（0,5）,则K的概率密度为：

0vS5

50,其他

若要使得方程4F+4Kr+K+2=0有实根，则有：

△=（4X）2—4x4（K+2）20,B|JK2-K-2>0；

解得K>2或1.

故方程有实根的概率为：

P（{K22}d{KV—1}）=P{KN2}+P{KV—l}=l—P{K<2}+0

21、设随机变量X服从均匀分布〃[0,1],求Y=-2\nX的概率密度.

dxj

解：

y的反函数为x=lny,且—

dyy

dx1

当Inyc（0,1）,即yu（"）时，£（y）=fx（Iny）|—1=-.

dyy

22、设随机变量X的概率密度为fx（x）=—,（一8

勿（1+x）

的概率密度fY3）.

解：

函数y=l-折严格单调，反函数为工=/2（y）=（l-y）3,则

fy（y）=fx（/?

（〉））I//（y）l=y）6）,一8V4-00.

23、设随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为

（1）X和Y的边缘密度函数；

（2）F{X〉0.5,K〉l}.

解：

（1）当OVxV1时,

fx（x）=匚f（x,y）dy=『6xe'3ydy=2x.

在其他情况下，&3）=j/（x,y）dy=0.

从而X的边缘密度函数为:

当）修OH寸,

/r（y）=J：

f（x,y）dx=£6xe~3ydx=3e'3v.

在其他情况下，人3）=「/。

》炒:

=0.

从而Y的边缘密度函数为:

3舛，y>Q

0,其他

（2）P{X>0.5,K>1}=J。

s[/（x,y^dxdy=J；|6xe~3ydxdy=je~y

2、24、设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为

显然对任意的x,ycR,恒有f^y）=fx（x）fY（y）f故随机变量X,K相互独立.

25、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互

2

独立的，并且概率都是一，设X为途中遇到红灯的次数，求

（1）X的分布律；

（2）X的期5

望.

223

解：

（1）由题意可知:

X/8（3,—）,P{X=，}=C；（—y（—）%•=0,1,2,3.

则P{X=O}=—,P（X=1}=—,P（X=2}=—,P（X=3}=—

125125125125

从而X的分布律为:

.27154_36_86

（2）EX=0x——+lx——+2x——+3x——=一.1251251251255

26、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，随机变量X表示取到的黑球数,

试求：

（1）随机变量X的分布律；

（2）数学期望E（X）。

解：

（1）X的可能取值为0,

1,2,3o

c3c°

P（X=0）=尚二

C【o

1r12C'21

P（X=1）=W=3

120C*120

厂3厂0厂2厂I厂'厂2厂0厂3

（2）£（X）=0jm+iu^+2U^4L+3^4L=2.1

GoGoGoGo

3a/x

27、设随机变量X的概率密度/（x）=O_,UV’Vl,试求:

0,其它

（1）概率

（2）数学期望E（X）。

2

解：

（1）

=1-J/（%）6^=1-1=0

—

28、设总体X服从正态分布N«g2）,X.X?

…，X〃是来自总体X的一个容量为〃的简单随机样本，试求“和b?

的最大似然估计量.

似然函数为:

“11

LW口石exp[-冰（玉2]

Y）vi\"

对数似然函数为：

InL（/z,r）一一Inb1r£0-A）2•

222b|

A1n

令—In£=—r【Zxi~叩1=°，

3〃a~钉

InL=—Hr£（xi~“尸=0.

da22a22（ct2）2tT

因此得以,3的最大似然估计量为：

fi=x9&2=—£（x,.一x）2.

n,=i

29、设总体x的概率密度为e；e）=Jd°：

尸，其中。

＞-1是未知参数,

0,其他

X|,乂2，…，XZ11是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求⑴。

的矩估计量尻⑵。

的最大似然估计量0.

解：

⑴顼X）=匚V3）心=£（。

+1）必dx=捋炒之|房拦.

nI1_y_1

令——=又,则。

的矩估计量为：

3=—二.

。

+21—X

⑵样本（X],X2，・・・，X〃）的似然函数为:

瑚）=II（。

+1）邸=（。

+1）〃（II•i=lZ=l

对数似然函数为：

InL（ff）=〃屁（。

+1）+6（£lnQ.

/=!

I、口zn/[5,KtdInZ/（0）yit八

求导得似然万程为：

=+VInx=0,

dee+\tr

/V77n

解得。

=—1——」一，故。

的最大似然估计量为：

e=—i——J—

（£lnx,）（£心）

/=!

/=1

30、设X],X,,・・・，X〃是来自参数为人的泊松分布总体的一个样本，试求人的最大似然估计量及矩估计量.

解：

⑴依题意可知，总体X□^-（A）,其分布律为P{X=k}=—e"X=O,l,・・・.k\

ng"n%/!

i=\

n2Xi*

则似然函数为：

=n—疽

f=lAi•

对数似然函数为：

InL（A）=In2^x.-mA-In,

Z=1i=l

X

工」、idlnL（/l）'八似然万程为：

1=呈一一〃=0,

d/i/t

解得A=-Yxi=x的最大似然估计量.

〃/=!

（2）因为总体X□）（4），则E（X）=4,故2二又为人的矩估计量.

31、设总体X〜N（〃，2.82）,（X|,X2，・・・，X|o）为总体X的一个样本，并且已知样本的平均值如=1500,

求〃的置信水平为0.95的置信区间.（z°05=、z°025=1・96）

（y

b=2.8,无=1500

解：

1—a=0.95,/.oc—0.05,—=0.025,〃=10,

2

.・.〃的置信水平为0.95的置信区间为

所以〃的置信水平为0.95的置信区间为

x±-^=Za=（1498.26,1501.74）

<2j

综合题:

1、已知事件A,B,C相互独立，证明：

AuB与C相互独立.

证明：

P[（AuB）C]=F（AC。

BC）=P（AC）+P（BC）-P（ABC）

=P（A）P（C）+P（B）P（C）-P（A）P（B）P（C）

=[P（A）+P（B）—P（A）P（8）]P（C）

=[P（A）+P（B）一P（AB）]P（C）=P（AuB）P（C）；

从而AuB和C相互独立.

2、设随机变量X服从标准正态分布N（O,1）,求Y=ex的概率密度.

1N.

解：

XDN（O,1）,则X的概率密度为：

/x（x）=-=^\-oo<%<+oo.

\j2,7T

dx1

因为丫=，为严格的单调增函数，其反函数为x=lny,且—

dyy

故Y=ex的概率密度为:

dx1

（Iny）—=^=e2,y>0

人3）='dy2岳】

0,y<0.

3、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

身、［x2+Axy,0

凡2'）=［。

，其他

求

（1）A的值；

（2）两个边缘概率密度函数。

解：

（1）由jj/（x,y^dxdy=1可得，dx^（x2+Axy）dy=1

nA=-

3

（2）两个边缘概率密度函数分别为

当0vyv1时，人（y）=[）6xdx=3y2,故

0

4、设随机向量（X,Y）的联合概率密度函数为

（1）常数C；

（2）联合分布函数F（x,y）；（3）P{0

解：

⑴由规范性，匚匚7（尤）'以My=1,则侦冰玲,,=1,得c=12.

（2）当x>0,y>0时，F（x,y）=jj/（x,y）dxdy=££I2e~（3x+4y）dxdy

在其他情况下，F（x,y）=fff（x,y）dxdy=0.

J—ooJ—co

从而联合分布函数F（x,y）为:

0,

x>0,y>0

其他

6x,0

0,其他

R一0其他

ri/2ri-xf1/21

（2）P（X+r<1）=£6xdxydy=£6x（l-2x）t/x=-.

试求：

（1）X的分布函数；

（2）y=3X的概率密度函数；（3）Y=e~x的数学期望。

解：

（1）当x<0M,尸以）=「fQ）c〃=0；当工>0时,%）=「f（t）dt=^e~ldt=l-e-x

[0,x

故X的分布函数为：

F（x）=\

[1一厂，x>0

（2）y=3x的反函数为>=马，且—=-,当xe（0,-H>o）即yc（0,+8）时,

3dy3

0

廿鼻，且E（X）=一,求c展及分布函数

，只匕4

心.

解：

由[f（x）cZx=cz+?

=l,E（X）=£xf（x）^=-|-+-^=^-,

可得a-2,b=-3o

当*<0时，F（x）=0；

当OVxvl时，F^x）=£=lx-x3；

当尤21时,F（x）=l.

0,x<0,

所以，F（x）=<2x-x3,0

1,x>1.

8、设总体X在（。

/?

）上服从均匀分布，其中为未知参数，又•••,%„为样本，求未

知参数Q,。

的矩估计量.

解：

因为

=E（X）=//

U2=£（X2）=£>（%）+［£（X）］2=<72+/z2

M,曰冬|。

+人（人一。

）29

故4=.,o=ki，得到—^=4\,=上_丁,

匕JL匕

A