二次函数期末复习题基础中等.docx

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二次函数期末复习题基础中等

二次函数期末复习题（基础-中等）

知识导图

考点精练

考点一：

二次函数的定义、解析式、图象及性质

1．（金华）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

第1题第2题

2．（凉山州）已知二次函数y＝ax2+bx+1的大致图象如图所示，那么函数y＝ax+b的图象不经过（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　）

A．﹣1或3B．﹣1C．3D．无法确定

4．（陕西）对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．抛物线y＝3（x+2）2﹣2的顶点坐标是　　．

6．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9＝　　．

7．（辽阳）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为．

考点二：

二次函数的图象变换

1．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣1

2．（山西）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3

C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣3

3．（山西）抛物线y＝﹣2x2﹣4x﹣5经过平移得到y＝﹣2x2，平移方法是（　　）

A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

4．如果将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　　．

5．（宁波）如图抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

考点三：

用待定系数法求二次函数解析式

1．（宁波）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．

2．（牡丹江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x＝﹣3，B（﹣1，0），F（0，1），请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系．

考点四：

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

1．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．（随州）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）

A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx＝3的两根之积为﹣3

C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小

3．（2018•莱芜）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：

①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3；

⑤（a+c）2＞b2。

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．（大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

6．若抛物线y＝2x2+mx+8与x轴只有一个公共点，则m的值为　　．

7．（兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．

（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

8．（荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0，其中k为常数．

（1）求证：

无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．

考点五：

建立二次函数模型解决实际问题

1．（株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）

A．4米B．3米C．2米D．1米

第1题第3题

2．（河北）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝

（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（　　）

A．40m/sB．20m/sC．10m/sD．5m/s

3．（枣庄）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣

x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（　　）

A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m

4．（营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：

当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

5．（安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　　．

6．如图所示，某农场要建一个矩形的菜地ABCD，四边用木栏围成，其中AB边留一个2米的门（门不用木栏）．现有木栏长40米，设CD＝x，菜地面积为y．

（1）菜地的面积能达到120平方米吗？

说明理由；

（2）求菜地的面积的最大值．

7．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；

（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；

（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

8．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25

（1）求喷出的水流离地面的最大高度；

（2）求喷嘴离地面的高度；

（3）若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

9．（随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：

m）与飞行时间t（单位：

s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？

最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：

m）与飞行时间t（单位：

s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

二次函数期末复习题（基础-中等）

参考答案与试题解析

考点一

1．【解答】解：

①∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，错误；

②∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

∴c＞0，正确；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，正确．

∴有2个正确的．故选：

C．

2．【解答】解：

由图中二次函数的图象开口向下可得a＜0，

再由对称轴x＝﹣

＜0，可得b＜0，

那么函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，

因此图象不经过第一象限．故选：

A．

3．【解答】解：

根据题意得m2﹣2m﹣3＝0，

所以m＝﹣1或m＝3，

又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，

所以m＝3．

故选：

C．

4．【解答】解：

把x＝1，y＞0代入解析式可得：

a+2a﹣1+a﹣3＞0，

解得：

a＞1，

所以可得：

﹣

，

，

所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：

C．

5．【解答】解：

由y＝3（x+2）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣2）．

故答案为：

（﹣2，﹣2）．

6．【解答】解：

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），

∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，

整理得，﹣2b+c＝7，

∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，

故答案为5．

7．【解答】解：

令x＝0，则y＝﹣3，

所以，点C的坐标为（0，﹣3），

∵点D的坐标为（0，﹣1），

∴线段CD中点的纵坐标为

×（﹣1﹣3）＝﹣2，

∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为﹣2，

∴x2﹣2x﹣3＝﹣2，

解得x1＝1﹣

，x2＝1+

，

∵点P在第四象限，

∴点P的横坐标为1+

．故选：

A．

考点二

1．【解答】解：

∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），

∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），

∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：

B．

2．【解答】解：

因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，

所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．故选：

D．

3．【解答】解：

y＝﹣2x2﹣4x﹣5＝﹣2（x+1）2﹣3，则该抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），

根据顶点由（﹣1，﹣3）平移到（0，0），得到向右平移1个单位，再向上平移3个单位．

故选：

D．

4．【解答】解：

设平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1+b，

把A（0，3）代入，得3＝﹣1+b，解得b＝4，

则该函数解析式为y＝x2﹣2x+3．故答案是：

y＝x2﹣2x+3．

5．【解答】解：

（1）把点C（5，4）代入抛物线y＝ax2﹣5ax+4a，

得25a﹣25a+4a＝4，

解得a＝1．

∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．

∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣

）2﹣

，

∴顶点坐标为P（

，﹣

）．

（2）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位．

得到的二次函数解析式为y＝（x﹣

+3）2﹣

+4＝（x+

）2+

，即y＝x2+x+2．

考点三

1．【解答】解：

（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），

可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得：

3a＝﹣3，

解得：

a＝﹣1，

故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，

∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴顶点坐标（2，1）；

（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y＝﹣x上（答案不唯一）．

2．【解答】解：

（1）∵B（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，

∴A（﹣5，0），

根据题意得：

，解得：

，

∴抛物线的解析式为：

y＝﹣x2﹣6x﹣5；

（2）当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣6×（﹣3）﹣5＝4，∴顶点E（﹣3，4），

当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），

设直线AC的解析式为：

y＝kx+b，

把A（﹣5，0）和C（0，﹣5）代入得：

，解得：

，

∴直线AC的解析式为：

y＝﹣x﹣5，

同理可得：

直线EF的解析式为：

y＝﹣x+1，

∴AC∥EF．

考点四

1．【解答】解：

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．

则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故选：

C．

2．【解答】解：

A、∵b2﹣4ac＝（2m）2+12＝4m2+12＞0，

∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；

B、方程x2﹣2mx＝3的两根之积为：

＝﹣3，故此选项正确，不合题意；

C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；

D、∵a＝1＞0，对称轴x＝m，

∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：

C．

3．【解答】解：

抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣

＝﹣1，

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．

故选：

A．

4．【解答】解：

①由图象可知：

△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，故①错误；

②∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），

∴抛物线的对称轴为x＝﹣1

∴（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点坐标为（1，0），

（﹣2，0）关于直线x＝﹣1的对称点坐标为（0，0）

由图象可知，令x＝1代入y＝ax2+bx+c，

∴y＝a+b+c＜0，故②错误；

③由对称轴可知：

x＝

＝﹣1，

∴2a﹣b＝0，故③正确；

④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），

∴3＝a﹣b+c，

∵b＝2a，

∴c﹣a＝3，故④正确；

⑤令x＝1，y＝a+b+c＜0，

令x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，

∴（a+c）2﹣b2＝（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，

∴（a+c）2＜b2，故⑤错误

故选：

B．

5．【解答】解：

抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；

当x＝4时，y＝a•5•1＝5a，

∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，

整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝

，所以④正确．故选：

B．

6．【解答】解：

∵抛物线与x轴只有一个公共点，

∴△＝0，

∴b2﹣4ac＝m2﹣4×2×8＝0；

∴m＝±8．

故答案为：

±8．

7．【解答】解：

（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），

∴点C的坐标为（﹣1，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），

把A（1，﹣4）代入，可得

﹣4＝a（1﹣3）（1+1），

解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）（x+1），

即y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由图可得，当函数值为正数时，

自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

8．【解答】

（1）证明：

∵△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）解：

∵二次函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，二次项系数a＝1，

∴抛物线开口方向向上，

∵△＝（k﹣3）2+12＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1•x2＝1﹣k≥0，

解得k≤1，

即k的取值范围是k≤1；

（3）解：

设方程的两个根分别是x1，x2，

根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，

即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，

又x1+x2＝5﹣k，x1•x2＝1﹣k，

代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，

解得k＜

．则k的最大整数值为2．

考点五

1．【解答】解：

∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，

∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，

∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点坐标为：

（2，4），

∴喷水的最大高度为4米，故选：

A．

2．【解答】解：

当刹车距离为5m时，

即y＝5，代入二次函数解析式：

5＝

x2．

解得x＝±10，（x＝﹣10舍），

故开始刹车时的速度为10m/s．故选：

C．

3．【解答】解：

如图，把C点纵坐标y＝3.05代入y＝

x2+3.5中得：

x＝±1.5（舍去负值），即OB＝1.5，

所以L＝AB＝2.5+1.5＝4m．故选：

B．

4．【解答】解：

设定价为x元，每天的销售利润为y．

根据题意得：

y＝（x﹣15）[8+2（25﹣x）]＝﹣2x2+88x﹣870，

∴y＝﹣2x2+88x﹣870＝﹣2（x﹣22）2+98，

∵a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x＝22时，y最大值＝98．故答案为：

22．

5．【解答】解：

∵一月份新产品的研发资金为a元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，

∴2月份研发资金为a×（1+x），

∴三月份的研发资金为y＝a×（1+x）×（1+x）＝a（1+x）2．

故填空答案：

a（1+x）2．

6．【解答】解：

（1）设CD＝x，则AD＝

＝21﹣x，

根据题意得：

x（21﹣x）＝120，

整理得：

x2﹣21x+120＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝441﹣480＜0，

∴菜地的面积不能达到120平方米．

（2）根据题意得：

y＝x（21﹣x）＝﹣x2+21x＝﹣（x﹣

）2+

，

所以面积的最大值为

．

7．【解答】解：

（Ⅰ）设P＝kx+b，

根据题意，得：

，解得：

，

则P＝﹣x+120；

（Ⅱ）y＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900；

（Ⅲ）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，

∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，

又当x≤90时，y随x的增大而增大，

∴当x＝90时，y取得最大值，最大值为900，

答：

销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．

8．【解答】解：

（1）∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25，

∴喷出的水流离地面的最大高度为：

2.25m；

（2）当x＝0，则y＝﹣（0﹣1）2+2.25＝1.25（m），

答：

喷嘴离地面的高度为1.25m；

（3）由题意可得；y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2.25

解得：

x1＝﹣0.5，x2＝2.5，

答：

水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池外．

9．【解答】解：

（1）由题意得：

函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴

，解得：

，

∴抛物线的解析式为：

y＝﹣

t2+5t+

，

∴当t＝

时，y最大＝4.5；

（2）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，

∴当t＝2.8时，y＝﹣

×2.82+5×2.8+

＝2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．