创新设计一轮复习 第二章 第3节.docx

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创新设计一轮复习第二章第3节

第3节　函数的奇偶性与周期性

考试要求　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.

[微点提醒]

1.

（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）.

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）.

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a>0）.

4.对称性的三个常用结论

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b，0）中心对称.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）时是偶函数.（　　）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）

（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.（　　）

解析　

（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在（0，＋∞）上不具有奇偶性，

（1）错.

（2）由奇函数定义可知，若f（x）为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f（0）＝0，

（2）错.

（3）由周期函数的定义，（3）正确.

（4）由于y＝f（x＋b）的图象关于（0，0）对称，根据图象平移变换，知y＝f（x）的图象关于（b，0）对称，正确.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2.（必修1P35例5改编）下列函数中为偶函数的是（　　）

A.y＝x2sinxB.y＝x2cosx

C.y＝|lnx|D.y＝2－x

解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f（－x）＝f（x）且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为（0，＋∞），不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.

答案　B

3.（必修4P46A10改编）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝则f＝________.

解析　由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.

答案　1

4.（2019·济南调研）下列函数既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A.y＝x3B.y＝x

C.y＝|x|D.y＝|tanx|

解析　对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；

对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；

对于D，y＝|tanx|是偶函数，但在区间（0，＋∞）上不单调递增.

答案　C

5.（2017·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

解析　∵x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，且f（x）在R上为奇函数，

∴f

（2）＝－f（－2）＝－[2×（－2）3＋（－2）2]＝12.

答案　12

6.（2019·上海崇明区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x＋1），则当x∈[1，2]时，f（x）＝________.

解析　当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，

又f（x）在R是上以2为周期的偶函数，

∴f（x）＝f（x－2）＝f（2－x）＝log2（2－x＋1）＝log2（3－x）.

答案　log2（3－x）

考点一　判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝＋；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝

解　

（1）由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f（x）的定义域为{－，}，

从而f（x）＝＋＝0.

因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），

∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

（2）由得定义域为（－1，0）∪（0，1），关于原点对称.

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝.

又∵f（－x）＝＝－＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数.

（3）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；

当x>0时，－x<0，

则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；

综上可知：

对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数.

规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.

【训练1】

（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosx

C.y＝2x＋D.y＝x2＋sinx

（2）已知f（x）＝，g（x）＝，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）＋g（x）是偶函数B.f（x）＋g（x）是奇函数

C.f（x）g（x）是奇函数D.f（x）g（x）是偶函数

解析　

（1）对于A，定义域为R，f（－x）＝－x＋sin2（－x）＝－（x＋sin2x）＝－f（x），为奇函数；对于B，定义域为R，f（－x）＝（－x）2－cos（－x）＝x2－cosx＝f（x），为偶函数；对于C，定义域为R，f（－x）＝2－x＋＝2x＋＝f（x），为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数.

（2）令h（x）＝f（x）＋g（x），

因为f（x）＝，g（x）＝，

所以h（x）＝＋＝，

定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.

因为h（－x）＝＝＝h（x），

所以h（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数，

令F（x）＝f（x）g（x）＝，

定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.

所以F（－x）＝＝，

因为F（－x）≠F（x）且F（－x）≠－F（x），

所以F（x）＝g（x）f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

答案　

（1）D　

（2）A

考点二　函数的周期性及其应用

【例2】

（1）（一题多解）（2018·全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A.－50B.0C.2D.50

（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.

解析　

（1）法一　∵f（x）在R上是奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x）.

∴f（x＋1）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x）.

因此f（x＋4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的函数，

由于f（1－x）＝f（1＋x），f

（1）＝2，

故令x＝1，得f（0）＝f

（2）＝0

令x＝2，得f（3）＝f（－1）＝－f

（1）＝－2，

令x＝3，得f（4）＝f（－2）＝－f

（2）＝0，

故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋0－2＋0＝0，

所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

法二　取一个符合题意的函数f（x）＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f（n）}（n∈N*）是以4为周期的周期数列.

故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f

（1）＋f

（2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.

（2）因为当0≤x<2时，f（x）＝x3－x.又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0）＝0，

则f（6）＝f（4）＝f

（2）＝f（0）＝0.

又f

（1）＝0，∴f（3）＝f（5）＝f

（1）＝0，

故函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.

答案　

（1）C　

（2）7

规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f（x＋a）＝－f（x）（a是常数，且a≠0），则2a为函数f（x）的一个周期.第

（1）题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.

【训练2】

（1）（2019·南充二模）设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1＋x），则f＝（　　）

A.－B.－C.D.

（2）（2017·山东卷）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）.若当x∈[－3，0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

解析　

（1）∵f（x）是周期为4的奇函数，

∴f＝－f＝－f

又0≤x≤1时，f（x）＝x（1＋x）

故f＝－f＝－＝－.

（2）∵f（x＋4）＝f（x－2），

∴f[（x＋2）＋4]＝f[（x＋2）－2]，即f（x＋6）＝f（x），

∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f

（1），

又f（x）在R上是偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6－（－1）＝6，即f（919）＝6.

答案　

（1）A　

（2）6

考点三　函数性质的综合运用　

多维探究

角度1　函数单调性与奇偶性

【例3－1】（2019·石家庄模拟）设f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（　　）

A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]

解析　因为f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f（x）在[－6，0]上为增函数，得f（x）在（0，6]上为减函数.故f（x－1）≥f（3）⇒f（|x－1|）≥f（3）⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.

答案　B

规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f（x）＝f（|x|），避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

角度2　函数的奇偶性与周期性

【例3－2】

（1）（2019·山东省实验中学检测）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋5）＝f（x），且当x∈时，f（x）＝x3－3x，则f（2018）＝（　　）

A.2B.－18C.18D.－2

（2）（2019·洛阳模拟）已知函数y＝f（x）满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f

（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（　　）

A.B.C.πD.

解析　

（1）∵f（x）满足f（x＋5）＝f（x），

∴f（x）是周期为5的函数，

∴f（2018）＝f（403×5＋3）＝f（3）＝f（5－2）＝f（－2），

∵f（x）是奇函数，且当x∈时，f（x）＝x3－3x，

∴f（－2）＝－f

（2）＝－（23－3×2）＝－2，

故f（2018）＝－2.

（2）由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知f（－x）＝f（x），且f（x＋2）＝f（－x＋2），则f（x＋2）＝f（x－2）.

∴f（x＋4）＝f（x），则y＝f（x）的周期为4.

所以F（3）＝f（3）＋f（－3）＝2f（3）＝2f（－1）＝2f

（1）＝.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【训练3】

（1）（2019·重庆九校模拟）已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f（x）＝－x，则f（－16）＝________.

（2）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是单调递增函数.如果实数t满足f（lnt）＋f≤2f

（1），那么t的取值范围是________.

解析　

（1）根据题意，函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，则有f（x）＝f（6－x），

又由函数为奇函数，则f（－x）＝－f（x），

则有f（x）＝－f（6－x）＝f（x－12），

则f（x）的最小正周期是12，

故f（－16）＝f（－4）＝－f（4）＝－f

（2）＝－（－2）＝2.

（2）由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，

所以f（lnt）＝f，

由f（lnt）＋f≤2f

（1），

得f（lnt）≤f

（1）.

又函数f（x）在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，

所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故≤t≤e.

答案　

（1）2　

（2）

[思维升华]

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

（1）求函数值；

（2）求解析式；（3）求函数解析式中参数的值；（4）画函数图象，确定函数单调性.

3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期”的应用.

[易错防范]

1.f（0）＝0既不是f（x）是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.

数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论

类型1　奇函数的最值性质

已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0.

【例1】设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

解析　显然函数f（x）的定义域为R，

f（x）＝＝1＋，

设g（x）＝，则g（－x）＝－g（x），

∴g（x）为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，

∴M＋m＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.

答案　2

类型2　抽象函数的周期性

（1）如果f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝2a.

（2）如果f（x＋a）＝（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

（3）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【例2】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），且当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，则f（－2017）＋f（2018）＝（　　）

A.3B.2C.1D.0

解析　因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，

所以f（－2017）＝－f（2017），

因为当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），

所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.

又当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，

∴f（2017）＝f（336×6＋1）＝f

（1）＝2，

f（2018）＝f（336×6＋2）＝f

（2）＝3.

故f（－2017）＋f（2018）＝－f（2017）＋3＝1.

答案　C

类型3　抽象函数的对称性

已知函数f（x）是定义在R上的函数.

（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，特别地，若f（a＋x）＝f（a－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，即f（x）＝－f（2a－x），则f（x）的图象关于点（a，0）对称.

【例3】（2019·日照调研）函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，f

（1）＝4，则f（2016）＋f（2017）＋f（2018）的值为________.

解析　因为函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，

所以函数y＝f（x）的图象关于（0，0）对称，

所以f（x）是R上的奇函数，

f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故f（x）的周期为4.

所以f（2017）＝f（504×4＋1）＝f

（1）＝4，

所以f（2016）＋f（2018）＝－f（2014）＋f（2014＋4）

＝－f（2014）＋f（2014）＝0，

所以f（2016）＋f（2017）＋f（2018）＝4.

答案　4

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（2019·玉溪模拟）下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是（　　）

A.y＝|log3x|B.y＝x3

C.y＝e|x|D.y＝cos|x|

解析　对于A选项，函数定义域是（0，＋∞），故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.

对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈（0，＋∞）时，函数是增函数，故在（0，1）上单调递增，正确.

对于D选项，y＝cos|x|在（0，1）上单调递减.

答案　C

2.（一题多解）（2019·河北“五个一”名校联盟二模）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝则g（－8）＝（　　）

A.－2B.－3C.2D.3

解析　法一　当x<0时，－x>0，且f（x）为奇函数，

则f（－x）＝log3（1－x），所以f（x）＝－log3（1－x）.

因此g（x）＝－log3（1－x），x<0，

故g（－8）＝－log39＝－2.

法二　由题意知，g（－8）＝f（－8）＝－f（8）＝－log39＝－2.

答案　A

3.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（－2，0）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于（　　）

A.－2B.2C.－98D.98

解析　由f（x＋4）＝f（x）知，f（x）是周期为4的函数，

f（2019）＝f（504×4＋3）＝f（3），

又f（x＋4）＝f（x），∴f（3）＝f（－1），

由－1∈（－2，0）得f（－1）＝2，

∴f（2019）＝2.

答案　B

4.（一题多解）（2017·天津卷）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.b

解析　法一　易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，

∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.

∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.

又3>log25.1>2>20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），

∴g（3）>g（log25.1）>g（20.8），则c>a>b.

法二　（特殊化）取f（x）＝x，则g（x）＝x2为偶函数且在（0，＋∞）上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b.

答案　C

5.（2019·山东、湖北部分重点中学模拟）已知定义在R上的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）是偶函数，不等式f（m＋2）≥f（x－1）对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.[－3，1]B.[－4，2]

C.（－∞，－3]∪[1，＋∞）D.（－∞，－4]∪[2，＋∞）

解析　因为f（x＋1）是偶函数，所以f（－x＋1）＝f（x＋1），所以f（x）的图象关于x＝1对称，由f（m＋2）≥f（x－1）得|（m＋2）－1|≤|（x－1）－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.

答案　A

二、填空题

6.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

解析　f（x）为偶函数，则y＝ln（x＋）为奇函数，

所以ln（x＋）＋ln（－x＋）＝0，

则ln（a＋x2－x2）＝0，∴a＝1.

答案　1

7.若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

（2）＝________.

解析　∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，

又f（x）在R上的周期为2，

∴f

（2）＝f（0）＝0.

又f＝f＝－f＝－4＝－2，

∴f＋f

（2）＝－2.

答案　－2

8.设函数f（x）＝ln（1＋|x|）－，则使得f（x）＞f（2x－1）成立的x的取值范围是________.

解析　由f（x）＝ln（1＋|x|）－，知f（x）为R上的偶函数，于是f（x）＞f（2x－1）即为f（|x|）＞f（|2x－1|）.

当x≥0时，f（x）＝ln（1＋x）－，所以f（x）为[0，＋∞）上的增函数，则由f（|x|）＞f（|2x－1|）得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.

答案　

三、解答题

9.已知函数f（x）＝是奇函数.

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

解　

（1）设x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.

于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，

结合f（x）的图象知所以1

故实数a的取值范围是（1，3].

10.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f＝－f成立.

（1）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期