计算方法实验报告册.docx
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计算方法实验报告册
实验一——插值方法
实验学时：
4
实验类型：
设计
实验要求：
必修
一实验目的
通过本次上机实习，能够进一步加深对各种插值算法的理解；学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法，结合相应软件（如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/TurboC）编程实现数值方法的求解。
并用该软件的绘图功能来显示插值函数，使其计算结果更加直观和形象化。
二实验内容
通过程序求出插值函数的表达式是比较麻烦的，常用的方法是描出插值曲线上尽量密集的有限个采样点，并用这有限个采样点的连线，即折线，近似插值曲线。
取点越密集，所得折线就越逼近理论上的插值曲线。
本实验中将所取的点的横坐标存放于动态数组
中，通过插值方法计算得到的对应纵坐标存放于动态数组
中。
以VisualC++.Net2005为例。
本实验将Lagrange插值、Newton插值和三次样条插值实现为一个C++类CInterpolation，并在Button单击事件中调用该类相应函数，得出插值结果并画出图像。
CInterpolation类为
classCInterpolation
{
public:
CInterpolation（）;//构造函数
CInterpolation（float*x1,float*y1,intn1）;//结点横坐标、纵坐标、下标上限
~CInterpolation（）;//析构函数
…………
…………
intn,N;//结点下标上限，采样点下标上限
float*x,*y,*X;//分别存放结点横坐标、结点纵坐标、采样点横坐标
float*p_H,*p_Alpha,*p_Beta,*p_a,*p_b,*p_c,*p_d,*p_m;//样条插值用到的公有指针，分别存放
，
，
，
，
，
，
和
};
其中，有参数的构造函数为
CInterpolation（float*x1,float*y1,intn1）
{
//动态数组x1，y1中存放结点的横、纵坐标，n1是结点下标上限（即n1+1个结点）
n=n1;
N=x1[n]-x1[0];
X=newfloat[N+1];
x=newfloat[n+1];
y=newfloat[n+1];
for（inti=0;i<=n;i++）
{
x[i]=x1[i];
y[i]=y1[i];
}
for（inti=0;i<=N;i++）
X[i]=x[0]+i;
}
2.1Lagrange插值
，其中
对于一个自变量
，要求插值函数值
，首先需要计算对应的Lagrange插值基函数值
floatl（floatxv,inti）//求插值基函数
的值
{
floatt=1;
for（intj=0;j<=n;j++）
if（j!
=i）
t=t*（xv-x[j]）/（x[i]-x[j]）;
returnt;
}
调用函数l（floatx,inti），可求出
floatp_l（floatx）//求
在一个点的插值结果
{
floatt=0;
for（inti=0;i<=n;i++）
t+=y[i]*l（x,i）;
returnt;
}
调用p_l（floatx）可实现整个区间的插值
float*Lagrange（）//求整个插值区间上所有采样点的插值结果
{
float*Y=newfloat[N+1];
for（intk=0;k<=N;k++）
Y[k]=p_l（x[0]+k*h）;
returnY;
}
2.2Newton插值
，
其中
，
对于一个自变量
，要求插值函数值
，首先需要计算出
和
float*f（）
{
//该函数的返回值是一个长度为n＋1的动态数组，存放各阶差商
}
floatw（floatx,inti）
{
//该函数计算
}
在求
的函数中调用*f（）得到各阶差商，然后在循环中调用w（floatx）可得出插值结果
floatp_n（floatx）
{
//该函数计算
在一点的值
}
调用p_n（floatx）可实现整个区间的插值
float*Newton（）
{
//该函数计算出插值区间内所有点的值
}
2.3三次样条插值
三次样条插值程序可分为以下四步编写：
（1）计算结点间的步长
、
、
；
（2）利用
、
、
产生三对角方程组的系数矩阵和常数向量；
（3）通过求解三对角方程组，得出中间结点的导数
；
（4）对自变量x，在对应区间
上，使用Hermite插值；
（5）调用上述函数，实现样条插值。
将每步写成函数：
（1）
voidGetH（void）
{
//该函数计算数组
}
voidGetAlpha（void）
{
//该函数计算数组
}
voidGetBeta（void）
{
//该函数计算数组
}
（2）
voidGeta（void）
{
//该函数计算数组下对角线
}
voidGetb（void）
{
//该函数计算数组主对角线
}
voidGetc（void）
{
//该函数计算数组上对角线
}
voidGetd（void）
{
//该函数计算方程组右端常数项
}
（3）
float*Chasing（float*pa,float*pb,float*pc,float*pd,intn）
{
//追赶过程，计算各点斜率
}
（4）
floatF0（floatx）
{
//该函数计算函数
的值
}
floatF1（floatx）
{
//该函数计算函数
的值
}
floatP0（floatx）
{
//该函数计算函数
的值
}
floatP1（floatx）
{
//该函数计算函数
的值
}
调用上述函数，实现三次样条插值
float*Cubic_Spline（）
{
//该函数计算所有点的插值结果
}
三实验组织运行要求
实验前，由任课教师落实实验任务，每个学生事先编写好算法设计源程序代码。
集中上机、调试并通过计算机图形可视化演示操作实例来测试、验证所学的数值分析理论。
四实验条件
为每个学生提供一台具有WINDOWS98/XP/NT/2000操作系统的计算机；同时提供VC++/VB/JAVA/TC等集成语言开发环境来编程设计计算方法的上机实验。
五实验步骤
1．根据实验内容和算法流程图预先编好程序初稿，上机调试、运行，输出正确的结果。
2．三种类型的插值函数所生成的图形要显示在同一坐标轴上，并用三种不同的颜色分别表示出来。
3．分析它们的运行结果，并比较三种插值函数各自不同的特点。
4．实验完毕后提交实验报告
六实验程序
NInterpolation.cpp
#include"stdafx.h"
#include"NInterpolation.h"
NInterpolation:
:
NInterpolation（void）
{
}
NInterpolation:
:
NInterpolation（double*x,double*y,intn）
{
this->n=n;
this->x=newdouble[n+1];
this->y=newdouble[n+1];
for（inti=0;i<=n;i++）
{
this->x[i]=x[i];
this->y[i]=y[i];
}
N=x[n]-x[0];
X=newdouble[N+1];
Y=newdouble[N+1];
for（inti=0;i<=N;i++）
X[i]=x[0]+i;
a=newdouble[n+1];
for（intk=0;k<=n;k++）
{
doublet=0;
for（inti=0;i<=k;i++）
{
doublem=1;
for（intj=0;j<=k;j++）
{
if（j==i）
continue;
else
m*=（x[i]-x[j]）;
}
t+=y[i]/m;
}
a[k]=t;
}
}
NInterpolation:
:
~NInterpolation（void）
{
}
voidNInterpolation:
:
Netwon（void）
{
for（inti=0;i<=N;i++）
{
Y[i]=0;
for（intj=0;j<=n;j++）
{
Y[i]+=（（l（X[i],j）*a[j]））;
}
}
}
doubleNInterpolation:
:
l（doublemx,intp）
{
doublem=1;
for（inti=0;i{
m*=（mx-x[i]）;
}
returnm;
}
ZInterpolation.cpp
#include"StdAfx.h"
#include"ZInterpolation.h"
ZInterpolation:
:
ZInterpolation（void）
{
}
ZInterpolation:
:
ZInterpolation（double*x,double*y,intn）
{
this->n=n;
this->x=newdouble[n+1];
this->y=newdouble[n+1];
for（inti=0;i<=n;i++）
{
this->x[i]=x[i];
this->y[i]=y[i];
}
N=x[n]-x[0];
X=newdouble[N+1];
Y=newdouble[N+1];
for（inti=0;i<=N;i++）
X[i]=x[0]+i;
}
ZInterpolation:
:
~ZInterpolation（void）
{
}
doubleZInterpolation:
:
l（doublemx,inti）
{
doublet=1;
for（intj=0;j<=n;j++）
if（j==i）
continue;
else
t*=（mx-x[j]）/（x[i]-x[j]）;
returnt;
}
doubleZInterpolation:
:
L（doublemx）
{
doublet=0;
for（inti=0;i<=n;i++）
t+=y[i]*l（mx,i）;
returnt;
}
voidZInterpolation:
:
lagrange（void）
{
for（inti=0;i<=N;i++）
Y[i]=L（X[i]）;
}
x=[1234];
y=[12-834100];
xi=1:
0.1:
4;
yi=interp1（x,y,xi,'spline'）;
plot（x,y,'o',xi,yi）;
七实验结果
NInterpolationZInterpolation
Cubic_Spline
上述是第一个实验——插值方法程序的构思和编写过程。
将其简单概括，可分为以下几步：
（1）按照本实验指导书的开篇——“集成开发环境VisualC++.Net的使用”中的第一部分——“开发环境介绍”建立项目。
（2）为项目添加一个类，在该类中编写插值算法。
该类需要一个有参数的构造函数将类外的插值条件数据传递到类中。
（3）按照“集成开发环境VisualC++.Net的使用”所述为项目添加对话框双击事件响应程序，将鼠标双击的坐标存放于数组或线性表中，用于插值，并将双击的点用小圆圈标出。
（4）在对话框上添加一个Button（按钮），双击改按钮，添加响应程序，调用拉格朗日插值函数，并将得到的相邻插值点用直线连接起来。
连线的方法在“集成开发环境VisualC++.Net的使用”有介绍。
（5）用与（4）类似的方法添加牛顿插值和三次样条插值的Button和相应的响应程序。
对于插值结点的存储，可以采用线性表。
为了通过插值结点确定插值区间，可将这些点按照横坐标递增排序。
务必熟练实验一程序编写的每一步骤，做到能够从头至尾独立编写。
在项目的建立、画图、类的添加和编程思维各方面，后面的四个实验与实验一都是类似的。
本实验指导书对后面的四个实验不再如此赘述。
实验二——数值积分
实验学时：
2
实验类型：
设计
实验要求：
必修
一实验目的
通过该课程实习，学会使用数值积分的各种方法求解定积分计算的问题，体会各种方法的精度差异。
二实验内容
本实验将梯形法的递推化和龙贝格算法编写为类CIntegration，在工程中调用该类得出积分结果并画出区间二分图像。
首先画出被积函数图像，并储存被积函数在图像中每个像素对应的采样点的横坐标（存放于float型指针p_X中）和纵坐标（存放于int型指针p_Y中）；然后调用CIntegration类中相应函数，计算积分结果；最后将x轴上的区间二分点与其对应的被积函数值的点连线。
CIntegration有公有变量和指针floata,b,h,*x;intn和带参数的构造函数
CIntegration:
:
CIntegration（floatma,floatmb）
{
a=ma;//a、b分别为积分区间左右端点
b=mb;
n=1;//区间二分个数
h=b-a;//步长
x=newfloat[n+1];//存放区间二分点
x[0]=a;
x[1]=b;
}
另需被积函数
floatCIntegration:
:
f（floatx）
{
floatmTemp=sin（x）;//可替换为其他函数
returnmTemp;
}
绘制函数图像时，需要将图像按照比例放大。
2.1梯形法的递推化
梯形法递推化公式为
该过程是下列过程的往复循环
（1）求已有各区间中点函数值的和
；
（2）求积分值
。
（3）区间二分，即更新结点，并将步长
减半。
要实现该算法过程，需要先编写下面两个函数
floatCIntegration:
:
Sum（void）
{
//该函数求
的值
}
voidCIntegration:
:
Divide（void）
{
//该函数实现区间二分和步长更新
float*px=newfloat[2*n+1];
for（inti=0;i{
px[2*i]=x[i];
px[2*i+1]=（x[i]+x[i+1]）/2;
}
px[2*n]=x[n];
deletex;
x=px;
n=n*2;
h=h/2;
}
为了后面编程的方便，可将单次二分过程写为函数
floatCIntegration:
:
T1ToT2（floatT1）
{
}
最后，调用T1ToT2，可实现梯形法递推化的函数
floatCIntegration:
:
Trapezium_Recurrence（floate）
{
}
在后面的Romberg函数中，还需要用到迭代一定次数的梯形法递推函数
floatCIntegration:
:
Trapezium_Recurrence（intN）
{
}
2.2龙贝格算法
……
……
……
……
其中
调用梯形法递推函数Trapezium_Recurrence（intN）可以很方便的实现单次龙贝格算法的函数
floatCIntegration:
:
R1（float*T）
{
}
调用函数R1可实现迭代的龙贝格函数
floatCIntegration:
:
Romberg（floate）
{
}
三实验组织运行要求
实验前，由任课教师落实实验任务，每个学生事先编写好算法设计源程序代码。
集中上机、调试并通过计算机图形可视化演示操作实例来测试、验证所学的数值分析理论。
四实验条件
为每个学生提供一台具有WINDOWS98/XP/NT/2000操作系统的计算机；同时提供VC++/VB/JAVA/TC等集成语言开发环境来编程设计计算方法的上机实验。
五实验步骤
1、根据实验内容和算法流程图预先编好程序初稿，上机调试、运行。
2、用绘图函数绘出曲边梯形的面积并计算其值并输出正确的结果。
3、测试、分析它们的运行结果，比较两种方法的精度差异。
4、实验完毕后提交实验报告。
六实验程序
Trapezium_Recurrence.cpp
//Trapezium_Recurrence.cpp:
定义控制台应用程序的入口点。
#include"stdafx.h"
#include"math.h"
#include
usingnamespacestd;
doublef（doublex）
{
return1/x;
}
doublesum（intn,doublea,doubleb）
{
doublet=（b-a）/n;
doubles=0;
for（inti=0;i{
s+=f（a+t+i*（（b-a）/（n/2）））;
}
returns;
}
doubleTrapezium_Recurrence（doublea,doubleb,doublee）
{
doublet=b-a;
doubleR=t/2*（f（a）+f（b））;
for（inti=2;;i*=2）
{
doubletemp=R;
R=1./2*R+（t/i）*sum（i,a,b）;
if（abs（R-temp）<=e）
break;
else
continue;
}
returnR;
}
int_tmain（intargc,_TCHAR*argv[]）
{
doublea=1,b=2,e=0.0001;
doubleresult=Trapezium_Recurrence（a,b,e）;
cout<system（"pause"）;
return0;
}
Romberg.cpp
//Romberg.cpp:
定义控制台应用程序的入口点。
#include"stdafx.h"
#include"math.h"
#include
usingnamespacestd;
doublef（doublex）
{
return1/x;
}
doubleRomberg（doublea,doubleb,doublee）
{
intk=1;
doubleh=b-a;
doubleT1=h/2*（f（a）+f（b））;
doubleT2=0,S1=0,S2=0,C1=0,C2=0,R1=0,R2=0;
for（;;k++,h=h/2,T1=T2,S1=S2）
{
doubles=0,x=a+h/2;
for（;xT2=T1/2+h/2*s;
S2=T2+（T2-T1）/3;
if（k==1）
continue;
else
C2=S2+（S2-S1）/15;
if（k==2）
{
C1=C2;
continue;
}
else
R2=C2+（C2-C1）/63;
if（k==3）
{
R1=R2;
C1=C2;
continue;
}
else
if（abs（R2-R1）>=e）
{
R1=R2;
C1=C2;
continue;
}
else
returnR2;
}
}
int_tmain（intargc,_TCHAR*argv[]）
{
doublea=1,b=2,e=0.0001;
doubleresult=Romberg（a,b,e）;
cout<system（"pause"）;
return0;
}
七实验结果
Trapezium_Recurrence
Romberg
实验三——微分方程
实验学时：
2
实验类型：
综合/设计
实验要求：
必修
一实验目的
通过本次实验，熟悉求解常微分方程初值问题的有关方法和理论，主要是欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格库塔法，学会编制这三种方法的计算程序。
体会这三种解法的功能、优缺点及适用场合。
二实验内容
本实验将欧拉法、改进欧拉法和经典四阶龙哥库塔法编写为一个类CDifferential_Equation，调用该类实现一阶微分方程初值问题的求解，并画出解函数的图像。
CDifferential_Equation的框架如下
classCDifferential_Equation
{
public:
CDifferential_Equation（floatma,floatmb,floatmh,floatmy0）;
~CDifferential_Equation（void）;
floatf（floatx,floaty）;
voidEuler（void）;//欧拉法
voidEuler_Improved（void）;//改进欧拉法
voidClassical_Forth_Order_Runge_Kutta（void）;//经典四阶龙哥库塔法
floata,b,h,y0;//分别为区间左端点、区间右端点、步长
float*x,*y;//存放各个结点和横、纵坐标
intn;//结点个数，构造函数中得到
};
其中有参数的构造函数为
CDifferential_Equation:
:
CDifferential_Equation（floatma,floatmb,floatmh,floatmy0）
{
a=ma;b=mb;h=mh;
n=（b-a）/h;
x=newfloat[n+1];
y=newfloat[n+1];
for（inti=0;i<=n;i++）
x[i]=a+h*i;
y[0]=my0;
}
三实验组织运行要求
实验前，由任课教师落实实验任务，每个学生事先编写好算法设计源程序代码。
集中上机、调试并通过计算机图形可视化演示操作实例来测试、验证所学的数值分析
升级会员 