第十七章勾股定理.docx

第十七章勾股定理.docx

《第十七章勾股定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十七章勾股定理.docx（92页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第十七章勾股定理

第十七章　勾股定理

　1.掌握勾股定理,能应用勾股定理进行简单的计算和实际应用.

　2.掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法）,会运用勾股定理逆定理解决相关问题.

　体验勾股定理的探索过程,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

　1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.

　2.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情.

　本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用,教材从实践探索入手,给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法）,最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用.勾股定理是安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后,它反映了直角三角形三边之间一种美妙的数量关系,将数与形密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置,在理论和实践上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,勾股定理知识将得到更重要的应用.

　【重点】　会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题,掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程,并会应用其解决一些实际问题.

　【难点】　掌握勾股定理的探索过程及适用范围,理解勾股定理及其逆定理.

　1.注重使学生经历探索勾股定理等过程.本章从实践探索入手,创设学习情境,研究勾股定理及它的逆定理,并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题.在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神,提高合作交流能力和解决实际问题的能力.

　2.注重创设丰富的现实情境,体现勾股定理及其逆定理的广泛应用.本章对勾股定理的探索就来源于生活,勾股定理的应用又直接应用于生活.因此,在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境,使学生能根据生活经验比较好地进行勾股定理应用的建模过程.教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段,以丰富课堂教学.

　3.尽可能地介绍有关勾股定理的历史,体现其文化价值.与勾股定理有关的背景知识丰富,在教学中,应注意展现与勾股定理有关的背景知识,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理的丰富文化内涵,激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情,培养他们的民族自豪感,同时教育学生发奋图强,努力学习,为将来担负起振兴中华的重任打下基础.

　4.注意渗透数形结合的思想.数形结合是重要的数学思想方法,本章内容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料,因此,应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.

17.1勾股定理

3课时

17.2勾股定理的逆定理

1课时

单元概括整合

1课时

17.1　勾股定理

　1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.

　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

　1.经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.

　2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.

　通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.

　【重点】　知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

　【难点】　勾股定理的灵活运用.

第

课时

　1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.

　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

　1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.

　2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.

　通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.

　【重点】　探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

　【难点】　用拼图的方法验证勾股定理.

　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.

　【学生准备】　三角板、方格纸、三角形模型.

导入一:

　国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.

　大会的会徽图案有什么特殊含义呢?

这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.

　我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?

我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.

　[设计意图]　勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.

导入二:

　请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?

它们之间有联系吗?

　封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.

　目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.

　你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?

本节课,我们一起来解读图中的奥秘.

　[设计意图]　以生活课本中的图案、故事导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.

导入三:

　如图所示,一座城墙高11.7m,城墙外有一条宽为9m的护城河,那么一架长为15m的云梯能否达到城墙的顶端?

　这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理——“勾股定理”.

　[设计意图]　以学生熟悉的生活情境作为教学活动的切入点,使学生对问题产生兴趣.让学生主动去分析,发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”的主观愿望.

　1.探索勾股定理

（1）探索等腰直角三角形三边之间的关系.

　　[过渡语]　（如教材第22页图）相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.

　师:

这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?

（出示教材图17.1-2）

（1）问题提出:

在图17.1-2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?

三个正方形之间的面积关系说明了什么?

（2）学生活动:

质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.

　学生的探索方法可能是:

通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.

　（3）教师总结:

通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:

小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

　追问:

在图17.1-2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?

如图所示.

　[设计意图]　这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.

（2）探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.

　思路一

　　[过渡语]　除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗?

　（出示教材图17.1-3）

　提出问题:

（结合带提示的下图）

　1.正方形A,B,C的面积分别是多少?

它们之间的数量关系说明了什么?

　2.正方形A',B',C'的面积分别是多少?

它们之间的数量关系说明了什么?

　学生活动:

依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'的面积.

　探究提示:

正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.

　同理,正方形A',B'的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C'的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C'的面积为34.

　活动总结:

直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.

　[设计意图]　由特殊到一般,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.

　思路二

　1.画一个两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.

　你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系?

　学生计算后发现:

32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.

　学生讨论:

对于任意的直角三角形,也有这个性质吗?

　2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.

A的面积

B的面积

C的面积

左上图

16

9

25

右下图

4

9

13

　探究提示:

右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.

　学生计算后发现:

小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.

　追问:

由以上你能得出什么结论?

若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?

　教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:

直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:

a2+b2=c2.

　[设计意图]　通过学生画、量、算等形式,让学生在探究中发现结论,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.

　2.勾股定理的证明

　教师提问:

对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?

　教师引导学生猜想:

如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

　追问:

以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?

　思路一

　（出示教材图17.1-5）让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.

　图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为（b-a）2,则有c2=ab×4+（b-a）2,即a2+b2=c2.

　教师适时介绍:

这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:

四个全等的直角三角形（朱实）可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形（黄实）.我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.

　教师在学生归纳基础上总结:

直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.

　[设计意图]　通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维,使学生对定理的理解更加深刻,体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.通过了解勾股定理的证明方法,增强学生学习数学的自信心.

　思路二

　学生利用拼图游戏验证定理,并思考:

能用右图证明这个结论吗?

　已知:

在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c.

　求证:

a2+b2=c2.

（1）让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.

（2）拼成如图所示,其等量关系为4×ab+（b-a）=c2,化简可证.

　（3）发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.

　利用下面这些图也能证明这个结论吗?

　教师指导学生验证.

　我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.

　请同学们用不同的表达方式（文字语言、符号语言）表述这一定理.

　勾股定理的名称介绍:

3000多年前,我国古代有一个叫商高的人说:

“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5.因为勾股定理内容最早出现在商高的话中,所以又称“商高定理”.一千多年后,西方的毕达哥拉斯证明了此定理,因此又叫“毕达哥拉斯定理”,当时毕达哥拉斯学派为了纪念这一发现,杀了一百头牛庆功,故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此多的“头衔”,可见勾股定理的不凡.

　[设计意图]　通过拼图活动,充分调动学生的积极性,进一步激发学生的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.

　思路三

　　[过渡语]　以上猜想经过古今中外的人多次证明都是成立的.我国人称它为“勾股定理”,在西方,它被称作“毕达哥拉斯定理”.目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下500种.

　1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗?

　证明:

以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上.

　∵Rt△EAD≌Rt△CBE,

　∴∠ADE=∠BEC.

　∵∠AED+∠ADE=90°,

　∴∠AED+∠BEC=90°.

　∴∠DEC=180°-90°=90°.

　∴△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2.

　又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°,

　∴AD∥BC.

　∴四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于（a+b）2.

　∴（a+b）2=2×ab+c2.

　∴a2+b2=c2.

　学生思考后,教师再展示证明过程.

　[设计意图]　通过了解勾股定理的不同证明方法,丰富自己的知识;通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.

　[知识拓展]　解决直角三角形有关计算和证明的问题时,要注意:

（1）求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.

（2）要证明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.（3）由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=（c+b）（c-b）,b2=c2-a2=（c+a）（c-a）等.（4）在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.

　3.例题讲解

　（补充）在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度.

　引导分析:

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.通过对等式变形,可以得出直角三角形三边之间的关系:

c=,b=,a=.

　解:

（1）根据勾股定理,得AB===.

（2）根据勾股定理,得AB===2.

　[解题策略]　在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题.

　（补充）有两边长分别为3cm,4cm的直角三角形,其第三边长为　　　　cm. 

　〔解析〕　分情况讨论:

当4cm为直角边长时,当4cm为斜边长时,依次求出答案即可.①当4cm是直角边长时,斜边==5（cm）,此时第三边长为5cm;②当4cm为斜边长时,第三边==（cm）.综上可得第三边的长度为5cm或cm.故填5或.

　[解题策略]　注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

　1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.

　2.注意事项:

（1）注意勾股定理的使用条件:

只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.

（2）注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.

　（3）注意勾股定理公式的变形:

在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即c=,b=,a=.

　1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是　　（　　）

　A.12　　　　B.13

　C.144　　D.194

　解析:

根据勾股定理知,斜边长的平方等于两直角边长的平方和,则字母B所代表的正方形的面积等于以三角形斜边长为边长的正方形的面积减去以另一直角边长为边长的正方形的面积,即169-25=144.故选C.

　2.如图所示,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是（结果精确到0.1m）　　（　　）

　A.34.64m　　　　B.34.6m

　C.28.3m　　D.17.3m

　解析:

∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°,∴AB=2AC,∵AC=20,∴AB=40,∴BC====20≈34.6（m）.故选B.

　3.在Rt△ABC中,∠C=90°.

（1）若a=3,b=4,则c=　　　　; 

（2）若b=6,c=10,则a=　　　　; 

　（3）若a=5,c=13,则b=　　　　; 

　（4）若a=1.5,b=2,则c=　　　　. 

　解析:

:

根据勾股定理计算即可.

（1）c===5;

（2）a===8;（3）b===12;（4）c===2.5.

　答案:

（1）5　

（2）8　（3）12　（4）2.5

　4.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

（1）求DE的长;

（2）求△ADB的面积.

　解:

（1）∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3.　

（2）在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===10,∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15.

　第1课时

　1.探索勾股定理

　2.勾股定理的证明

　3.例题讲解

　例1　例2

一、教材作业

【必做题】

　教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.

【选做题】

　完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是　　（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.如图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边长分别为AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于　　（　　）

A.2cm　　　　B.3cm

C.4cm　　　　D.5cm

3.（2015·黑龙江中考）△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是　　（　　）

A.4.8　　B.4.8或3.8

C.3.8　　D.5

4.如图所示,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是　　　　. 

【能力提升】

5.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足+=0,则该直角三角形的斜边长为　　　　. 

6.如图所示,在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点,已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.

7.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长.

8.（2014·温州中考）勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:

当两个全等的直角三角形按图

（1）或图

（2）摆放时,都可以用“面积法”来证明.

下面是小聪利用图

（1）证明勾股定理的过程:

将两个全等的直角三角形按如图

（1）所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:

a2+b2=c2.

证明:

连接DB,过点D作DF⊥BC于F,则DF=EC=b-a.

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b-a）,

∴b2+ab=c2+a（b-a）.

∴a2+b2=c2.

请参照上述证法,利用图

（2）完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按如图

（2）所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:

a2+b2=c2.

证明:

连接　　　　　　　　　　. 

∵S五边形ACBED=　　　　　　　　　　, 

又∵S五边形ACBED=　　　　　　　　　　, 

∴　　　　　　　　　　. 

∴a2+b2=c2.

【拓展探究】

9.如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为（3,）.点C的坐标为,点P为斜边OB上的一个动点,求PA+PC的最小值.

【答案与解析】

1.A（解析:

如图所示,∵AC=9,BC=12,∠ACB=90°,∴由勾股定理可得AB=15,再由等面积法可得×9×12=×15×CD,∴CD=.故选A.）

2.B（解析:

由题意可知△ACD和△AED关于直线AD对称,因而有△ACD≌△AED,所以AE=AC=6cm,CD=ED,∠AED=∠ACD=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===10（cm）.若设CD=ED=xcm,则在Rt△BDE中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+（10-6）2=（8-x）2,解得x=3.所以CD=3cm.）

3.A（解析:

过A点作AF⊥BC于F,连接AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,∴在△ABF中,AF==3,∴×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5×（PD+PE）,∴PD+PE=4.8.故选A.）

4.（解析:

由题意知S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA=2×2-×1×2-×1×1-×1×2=.∵BC==,∴△ABC中BC边上的高是×2÷=.）

5.5（解析:

∵+=0,∴a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,∵