勾股定理 和勾股定理的逆定理及其运用.docx

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勾股定理和勾股定理的逆定理及其运用

勾股定理

知识点：

※勾股定理：

直角三角形两条直角边（a,b）的平和等于斜边（c）的平方。

即：

_______________。

※勾股定理逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c（最长边）满足_______________，那么这个三角形是_______________。

※满足条件_______________的三个正整数，称为勾股数。

练习：

1、常见的勾股数组有：

（3，4，___）；（6，8，___）；（5，12，___）；（7，24，___）；（8，15，___）；（9，40，___）；（20，21，___）；……（这些勾股数组的_____数仍是勾股数）

2、写出三组勾股数：

...

3、请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：

，，.

4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍

5、小明的爸爸买了一部29英寸（74厘米）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（　　）

A．小明认为指的是荧屏的长度B．妈妈认为指的是荧屏的宽度

C．爸爸认为指的是荧屏的周长D．售货员认为指的是荧屏对角线的长度

6、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15

7、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，求AC的长。

8、△ABC中，∠C=90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,若a=8，c=17，则b=

9、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）

A、100cmB、50cmC、140cmD、80cm

10、由于风向改变，一帆船先向正西方航行80km，然后向正南方航行150km，此时它距离出发点km。

11、已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距km．

12、小明放学后先到书店买书再回家，已知书店在学校正西方300米，而小明家在学校正南方，小明家与学校的距离为400米，则小明从书店直路回到家共走了米

13、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A、40海里B、35海里C、30海里D、25海里

14、在

中，

，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（）

A、6B、7C、8D、9

15、在△ABC中∠C=90°若a=24c=30则b=。

若a=12b=5则c=。

16、在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上高线AD之长为cm．

17、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为

18、如图，直角三角形中未知边长是

19、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

20、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：

先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度。

（10分）

21、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．

22、根据右图证明勾股定理。

23、请你用如图所示的四个这样的全等的直角三角形，

它的两直角边分别为a、b，斜边为c，设计一个拼图验证勾股定理。

（画出图形，并写出验证过程）

24、斜边长为17cm，一条直角边为15cm的直角三角形的面积为（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

25、做一个直角三角形的模板，一直角边长5cm，斜边长13cm做成这样的模板要平方厘米的纸板。

26、如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

27、如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，

其中∠B=90º，AB=3㎝，BC=4㎝，CD=12㎝，AD=13㎝，

求这块草坪的面积。

28、一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，

，则木板的面积为（）

A、60B、24C、30D、12

29、一个三角形的三边的比为5：

12：

13，它的周长为60cm，则它的面积是120cm2。

30、直角三角形一直角边为

，斜边长为

，则它的面积为30cm2.

31、等腰三角形的腰长为10，底边长为12，求这个等腰三角形的面积。

48cm2

32、如图，在

中，

，AC＝5cm，BC＝12cm，其中斜边上的高为（C）

A、6cmB、8.5cmC、

cmD、

cm

33、如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则带阴影的正方形面积是100cm2．

34、一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　A　）

A.斜边长为5B．三角形的周长为25

C．斜边长为25D．三角形的面积为20

35、三个正方形的面积如图，当B＝144、C＝169时，则A的值为（D）

A、313B、144C、169D、25

36、如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是336

37、如图正方形ABGF和正方形CDEB的面积分别是100和36，

则以AC为直径的半圆的面积是8

。

38、如图所示，图中所的四边形都是正方形，

所有的三角形都是直角三角形（不包括组合图形），

若最大的正方形的边长为8cm，则正方形A、

B、C、D的面积之和为64cm2

39、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为______49_____cm2。

40、如图1-2，以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9和16，求以斜边为边长的正方形DEFG的面积。

25

41、如图正方形CDEF的面积为169AF=12，AB=4，∠FAC=90°，

∠ABC=90°则BC=3。

42、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，

要爬行的最短路程（π取3）是（　B　）

A．12cmB．10cmC．14cmD．无法确定

43、如图,一圆柱高8cm,底面半径为

cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是________________cm。

44、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

45、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）．

（A）3（B）

（C）2（D）1

如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（　　）

46、已知：

如图，观察图形回答下面问题：

（1）此图形的名称为圆锥

．

（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个扇

形．

（3）如果点C是SA的中点，在C处有蜗牛想吃到的食品，恰好在A处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？

若圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．

47、如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，请你求出CE的长。

3cm

48、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（B）

A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm

49、如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=6，将矩形沿AE折叠，使D点落在BC边的点F处，求EC的长。

8/3

50、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（　A　）

A．3cmB．

cmttC、

cmD．9cm

51、如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是__12m。

52、如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？

（只列出方程即可）

53

（1）、如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC=

53

（2）、生活经验表明：

靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的

时，则梯子比较稳定。

现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？

54、如图,一梯子AB长25m顶端A斜靠在墙AC上,梯子底端离墙7m,则梯子的顶端离地面多远？

如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动8m,则梯子的顶端下滑多远？

（12分）

（第13题）

55、如图，一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶m。

56、印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题．

57、新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰

，AC＝BC＝13米，AB＝24米。

求AB边上的高CD的长度？

58、有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺。

请求竹竿高与门高。

59、如图3，在一棵树CD的10m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高？

60、在某一平地上，有一棵高6米的大树，一棵高3米的小树，两树之间相距4米。

今一只小鸟在其中一棵树的树梢上要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？

61、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米．今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？

（画出草图然后解答）

62、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A、2，3，4B、

，

，

C、6，8，10D、

，

，

63、下列说法中正确的是（）

A、已知

是三角形的三边，则

B、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C、在

中，

，所以

D、在

中，

，所以

64、下列四组数：

①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a>0）；

④32，42，52。

其中可以构成直角三角形的边长有（）

A、1组B、2组C、3组D、4组

65、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　　）

A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形

66、适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）

①a=

，b=

c=

②a=6，∠A=45°③∠A=32°，∠B=58°

④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4

A．2个;B．3个;C．4个;D．5个;

67、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形．

68、有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）（A）3（B）

（C）3或

（D）3或

69、在下列各组数中能组成直角三角形的有（）

19、80、81②10、24、25③15、20、25④8、15、17

A1组B2组C3组D4组

70、△ABC的三边分别是a、b、c且满足（a+b）2-c2=2ab,则此三角形是（）

A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形

71、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、6，7，8B、1，

，

C、2，

，7D、1.2，1，1.3

72、如果△ABC的三边分别为

，

，

（

＞1）；

求证：

△ABC是直角三角形。

73、已知△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338，请你判断△ABC的形状，并说明理由．

74、在△ABC中，若BC2+AB2=AC2，则∠A+∠C=

75、下列结论错误的是（　　）

A．三个角度之比为1：

2：

3的三角形是直角三角形

B．三个边长之比为3：

4：

5的三角形是直角三角形

C．三个边长之比为8：

16：

17的三角形是直角三角形

D．三个角度之比为1：

1：

2的三角形是直角三角形

76、如图,在正方形网格中,小格的顶点叫格点,小明按下列要求作图:

①在正方形网格的三条不同实践上各取一个格点,使其中任意两点不在同一直线上;②联结三个结点,使之均构成直角三角形,并使三个网格中的直角三角形面积不等.