全国初中数学竞赛试题6.doc

全国初中数学竞赛试题6.doc

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2004年全国初中数学竞赛试题

一、选择题:

1、已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3-3（a+1）,3（b+1）=3-（b+1）2。

则b+a的值为（）

A、23;B、-23;C-2;D-13

2、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）

A、ab=h;B、+=;C、+=;D、a2+b2=2h2

3、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）

A、只有a;B、只有b;C、只有c;D、只有a和b

4、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB

的距离之比为1：

2。

若△ABC的面积为32，△CDE的面

积为2，则△CFG的面积S=（）

A、6;B、8;C、10;D、12

5、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0，那么x+y等于（）

A、3;B、;C、;D、4-

二、填空题:

6、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=600，则∠EDC=_____________（度）。

7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：

万人）以及两个城市间的距离d（单位：

km）有T=的关系（k为常数）。

现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为次（用t表示）。

8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=。

9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=900，

BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE的长度为。

10、实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.

三、解答题:

11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。

当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。

12、已知a、b是实数，关于x、y的方程组有整数解，求a、b满足的关系式。

13、D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP=∠ACB，求的值。

14、已知a＜0,b≤0,c＞0,且=b-2ac,求b2-4ac的最小值。

数学奥林匹克竞赛题：

例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。

这n条直线可以把平面分割成多少个部分？

   此问题的变例（即特殊情况）：

   变例1：

十刀最多可以把一张饼分成多少块？

   变例2：

一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？

   对变例2，我们首先猜测其结论：

   令S1，S2，……，Sn分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，则有

   S1=2=1+1

   S2=4=1+1+2

   S3=7=1+1+2+3

   S4=11=1+1+2+3+4

   ……

   Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+（n+1）·n

   ∴当n=100时，有S100=1+（100+1）·100=5051（块）

解：

设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有bn=n+1.

   设an-1为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前n-1条直线与第n条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有：

   an=an-1+bn-1（n＞1，n∈N）

   又：

bn-1=n

   ∴an=an-1+n=an-2+（n-1）+n=……

       =n+（n-1）+（n-2）+……+2+a1

   又：

a1=2=1+1

   ∴an=n+（n-1）+（n-2）+……+2+1+1

例2.有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？

解：

考虑更一般的情况：

在同样条件下走n级台阶，情况如何？

   设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。

若第一次走一级，则余下的n-1级有an-1种走法；若第一次走两级，则余下的n-2级有an-2种走法。

   ∴an=an-1+an-2（n＞2，n∈N）

   显然a1=1，a2=2

   ∴a3=a1+a2=3

     a4=a3+a2=5

     a5=a4+a3=8

     a6=a5+a4=13

     a7=a6+a5=21

     a8=a7+a6=34

     a9=a8+a7=55

     a10=a9+a8=89

思考题：

用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？

解题新思路：

  探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。

下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的：

例：

如图

（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.

  求证：

EF=FB

分析：

这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：

证明一：

如图所示，作BQ∥AD,交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证△CEF≌△QBF,得证EF=FB.

证明二：

如左图所示：

作FM∥DA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证.

证明三：

作CN∥EB交AB于N，则四边形CNBF是□，从而CN=FB.

   再证：

△ANC≌△DFE，可得CN=EF，即EF=FB.

证明四：

作DP∥FB交AB于P，证明△ADP≌△CEF，从而得出结论.

证明五：

延长EC交AB于G，则四边形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中点.又CF∥GB，∴F是EB中点，结论得证.

证明六：

连结AE交CD于O点，则O是AE中点，又OF∥AB，∴F是AB中点，得证.

证明七：

延长ED交BA延长线于H点，则HACD是□,∴CA=DH=ED ∴D是EH中点.又DF∥HB∴F是EB中点，得证.

证明八：

作ES∥CD交AD延长线于S，则CDSE是□∴DS=CE=AD∴D是AS中点.又SE∥CD∥AB∴F是EB中点，得证.

证明九：

在证明一作的辅助线基础上，连结EQ，则可得ECBQ是□，从而F是□ECBQ对角线EB的中点。

   总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：

   ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。

   ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。

   这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。