全国初中数学竞赛试卷.doc
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2014年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填得零分）
1．设，则代数式的值为（）．
（A）0（B）1（C）﹣1（D）2
2．对于任意实数，，，，定义有序实数对（，）与（，）之间的运算“△”：
（，）△（，）＝（，）。
如果对于任意实数，，
都有（，）△（，）＝（，），那么（，）为（）．
（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，﹣1）
3．已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数所有可能值的和为（）．
（A）－（B）－（C）1（D）
4．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF＝S1，S△BDF＝S2，S△BCF＝S3，S△CEF＝S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（）．
（A）S1S3＜S2S4（B）S1S3＝S2S4（C）S1S3＞S2S4（D）不能确定
A
C
B
F
D
E
5．设S＝，则4S的整数部分等于（）．
（A）4（B）5（C）6（D）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．两条直角边长分别是整数，（其中＜2011）斜边是的直角三角形的个数为．
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是．
8．如图，双曲线（＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为．
E
C
F
O
A
B
9．⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为．
10．设四位数满足，则这样的四位数的个数为．
三、解答题（共4题，每14题20分，共80分）
11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值？
12．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：
点P为CH的中点．
A
D
C
B
H
P
O1
O2
13．若从1，2，3，…，中任取5个两两互素的不同的整数，，，，，其中总有一个整数是素数，求的最大值．
C
A
P
B
14．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC．点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
2014年全国初中数学竞赛预赛
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填得零分）
1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为（）．
（A）2013（B）2014（C）2015（D）0
2．已知实数，，满足．则代数式的值是（）．
（A）﹣3（B）3（C）﹣7（D）7
3．已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为（）．
（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上
（第3题图）
O
1
﹣1
（第4题图）
A
B
O
4．如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB＝90°，AO＝2BO，当A点在反比例函数（＞0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为（）．
（A）（＜0）（B）（＜0）
（C）（＜0）（D）（＜0）
5．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN在图2中的对应线段是（）．
（A）（B）（C）（D）
（第5题图）
图1
N
M
图2
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（）．
（A）1（B）2（C）3（D）6
A
B
C
R
P
N
D
E
M
G
F
Q
K
H
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．已知＜＜0，化简得．
8．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为．
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为．
A
O
B
C
D
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1＝．
A
E
B
D
C
A1
12．已知、、、是四个不同的整数，且满足+++＝5，若是关于的方程
中大于、、、的一个整数根，
则的值为．
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13．某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE＝6．
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PH⊥DE于H，设DP为，四边形AEHP的面积为，试求与的函数解析式；
（2）若AE＝2EB．
①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；
②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？
（直接写出满足条件的圆的个数即可．）
A
D
E
C
F
B
15．如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA＝AB＝BC，∠AOC＝60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点．
（1）连接PA、PE，求证：
PA＝PE；
（2）连接PC，若PC+PE＝，试求AB的最大值；
（3）在
（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为，当△MNC为钝角三角形时，求的范围．
A
B
O
P
C
E
图1
D
M
A
B
O
C
图2
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