立体几何的动态问题翻折问题.docx

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立体几何的动态问题翻折问题

立体几何的动态问题之二

———翻折问题

立体几何动态问题的基本类型：

点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等

一、面动问题（翻折问题）：

（一）学生用草稿纸演示翻折过程:

（二）翻折问题的一线五结论

五结论：

1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；

折线两侧的几何量和位置关系发生改变；

二、翻折问题题目呈现：

（一）翻折过程中的范围与最值问题

1、（2016年联考试题）平面四边形ABCDxx，AD=AB=，CD=CB=,且，现将△ABD沿对角线BD翻折成，则在折起至转到平面BCD的过程xx，直线与平面BCD所成最大角的正切值为_______.

解：

由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以。

【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误进行分析，找出错误的原因。

2、2015年10月xx学业水平考试18）.如图，在菱形ABCDxx，∠BAD=60°，线段AD，BD的xx点分别为E，F。

现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是

A.B.C.D.

分析：

这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。

方法一：

特殊值法（可过F作FH平行BE,找两个极端情形）

方法二：

定义法：

利用余弦定理：

，有

异面直线BE与CF所成角的取值范围是

方法三：

向量基底法：

方法四：

建系：

3、（2015年xx·理8）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（B）

A.B.C.D.

方法一：

特殊值

方法二：

定义法作出二面角，在进行比较。

方法三：

抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。

4、（14年1月xx学业学考试题）如图在Rt△ABCxx，AC＝1，BC＝x，D是斜边AB的xx点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程xx存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　A　）

A．（0，]B.C．（，2]D．（2，4]

方法一：

利用特殊确定极端值

方法二：

在xx利用余弦定理转化为的函数求解。

方法三：

取BC的xx点E,连接EA,ED在xx利用两边之和大于第三边求解。

（二）翻折之后的求值问题

5、（2016届xx一模13）已知正方形，E是边AB的中点，将沿折起至，如图所示，若为正三角形，则与平面所成角的xx值是

6、（2016届xx一模8）如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的xx值为（D）

A．B．C．D．

三、课后练习

1、（2012年xx10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=。

将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（B）

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

2（2009年xx17）如图，在长方形ABCDxx，AB=2,BC=1,E为DC的xx点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_______.

3、（16年xx六校联考）如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，

现将△所在平面沿折起，使点在平面上的射

影在直线上，当从点运动到，再从运动到，

则点所形成轨迹的xx为______.

4、（2010年xx19改编）如图，在矩形中，点E，F分别在线段，上，．沿直线将翻折成，使平面平面．点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，则线段的长为________

5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCDxx，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BCxx，且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEFxx的射影H在直线DExx.

（Ⅰ）求证:

CD⊥BE;

（Ⅱ）求线段BH的xx；

（Ⅲ）求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.

17.解：

（1）由于平面，∴，又由于，，

∴，∴.

法一：

（2）设，，过作垂直于点，因为线段，在翻折过程中xx不变，根据勾股定理：

，可解得，

∴线段的xx为.

（2）延长交于点，因为，∴点到平面的距离为点到平面距离的，∴点到平面的距离为，而，直线与平面所成角的正弦值为.

法二：

（2）如图，过点作，过点作平面，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设点，

由于，，，

∴解得于是，所以线段的xx为.

（3）从而，故，，

设平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，

则.

立体几何的动态问题之三

———最值、范围问题

1、（2006年xx·理14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.

2、（2008年xx·理10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线

3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为

4、（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM与直线MP所成角为45°，则点P形成的轨迹为（）

A．椭圆的一部分B．抛物线的一部分

C．双曲线的一部分D.圆的一部分

5（2014·xx卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的xxθ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．（xxθ为直线AP与平面ABC所成角）

6（2015·xx卷8）如图1110，斜线xxAB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是（　　）

A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支

式题

（1）如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点C满足∠BAC＝，若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________．

（2）在正四面体ABCDxx，M是AB的xx点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是________．

7、（2014年7月xx学考第25题）在棱长为1的正方体

中，E、F分别是棱的中

点，Ｎ为线段的中点，若Ｐ、M分别为的动

点，则PM+PN的最小值为

8、（16届xx一模·文15）边长为1的正方体

将其对角线与平面垂直，则正方体在平面上的投影面积为．

9、（16届高考模拟卷·理）正方体ABCD﹣A1B1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是．

10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（）

A．B．C．D．

11、（16届xx一模·理14）在xx，，将直线绕旋转得到，直线绕旋转得到，则在所有旋转过程xx，直线与直线所成角的取值范围为____．

12、（16届金华十校一模·理14）在四面体ABCDxx，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且，则V四面体ABCD的最大值为

A.6B.C.D.8

13、（15年xx高考题改编）在四面体中，已知，，

，则最大值的取值范围是

A.B.C.D.

【答案】B.

【解析】

试题分析：

设，设，则由题意，在空间图形中，设，

在xx，，

在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，

过作，连结，∴，

则就是二面角的平面角，∴，

在xx，，，

同理，，，故，

显然面，故，

在xx，，

在xx，