理 阶段质量检测七立体几何doc.docx
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理阶段质量检测七立体几何doc
阶段质量检测（七） 立体几何
（时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（2010·浙大附中模拟）已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（ ）
A. B.C.D.
解析：
根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD垂直于等腰直角三角形ABC所在平面，于是，易得S＝S△ABC＋S△ACD＋S△CBD
＝＋＋＋＋.
答案：
D
2．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中为假命题的是（ ）
A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交
解析：
若α，β相交，则a，b既可以是相交直线也可以是异面直线．
答案：
D
3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的
是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
解析：
A中α与γ可以平行，C中可能有m⊂β，D中m与n可以平行．
答案：
B
4．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（ ）
A．l1∥α且l2∥α B．l1⊥α且l2⊥α
C．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α
解析：
根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知B为l1∥l2的一个充分条件．
答案：
B
5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（ ）
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
解析：
根据面面垂直的性质定理，有选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．
答案：
D
6.用一些棱长是1cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是（ ）
A．6cm3B．7cm3
C．8cm3D．9cm3
解析：
由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7cm3.
答案：
B
7．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A．4条B．6条C．12条D．8条
解析：
如图，P、E、F、H分别为AD、AB、A1B1、
A1D1的中点，则平面PEFH∥平面DBB1D1，所以
四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1，
共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条．
答案：
C
8．（2010·皖中模拟）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是（ ）
A．81πB．36πC.D．144π
解析：
补成长方体易求4R2＝81，
∴S＝4πR2＝81π.
答案：
A
9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
解析：
如图，取C1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E⊥平面CAA1C1，
过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH为所求的
DH=B1E=
，DA=
，所以sin∠DAH=
答案：
A
10．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：
（1）一条直线；
（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（ ）
A．
（1）
（2）（3）B．
（1）（4）C．
（1）
（2）（4）D．
（2）（4）
解析：
如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.
答案：
C
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题．请把正确答案填在题中横线上）
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于________．
解析：
过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF，则∠BC1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角．设正方体的棱长为1，由P为棱DC的中点，则易得BC1＝，
C1F＝＝，
BF＝＝.
在△BC1F中，cos∠BC1F＝
＝.
答案：
12．（2009·辽宁高考）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）．
则该几何体的体积为 m3.
解析：
由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，
故所求三棱锥的体积为V=
×2×
×3×4=4m3，
答案：
4
13.如图，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，则二面角
C－AB－D的大小为__________．
解析：
取BD的中点E，连结CE，则CE⊥面ABD，作EF⊥AB，
∴CF⊥AB得∠CFE为所求．
又CE=
a，CF=
，
∴sin∠CFE=
答案：
60°
14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为________．
解析：
圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，于是设底面圆的半径为r，
则有2πr＝π，所以r＝，
于是圆锥的高为h＝＝，
故圆锥的体积为V＝π.
答案：
π
15．（2009·江南测试）棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．
解析：
因为正方体内接于球，所以2R=
，R=
，
过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR
于点P，所以，在△QPO中，QR=2QP=2
答案：
三、解答题（本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2010·泉州模拟）如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明：
BD∥平面PEC；
（3）若G为BC上的动点，求证：
AE⊥PG.
解：
（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，
∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝.
（2）证明：
连结AC交BD于O点，
取PC中点F，连结OF，
∵EB∥PA，且EB＝PA，
又OF∥PA，且OF＝PA，
∴EB∥OF，且EB＝OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，
∴EF∥BD.
又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.
（3）连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，
∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，
∴PB⊥AE.
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.
17.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.
（1）求证：
BC⊥平面CDE；
（2）求证：
FG∥平面BCD；
（3）求四棱锥D－ABCE的体积.
解：
（1）证明：
由已知得：
DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.
∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，
∴BC⊥平面DCE.
（2）证明：
取AB中点H，连结GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.
又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴FG∥平面BCD（由线线平行证明亦可）.
（3）V＝×1×2×＝.
18.（2010·徐州模拟）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点.
（1）求证：
AF∥平面PCE；
（2）求证：
平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积.
解：
（1）证明：
设G为PC的中点，连结FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG
CD，AE
CD
∴FG
AE，∴AF∥GE
∵GE⊂平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（2）证明：
∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE⊂平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（3）由
（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为四面体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG＝AF＝，GF＝CD＝，
S△PCF＝PD·GF＝2.
得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.
19.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC＝AB＝1，M为PC的中点，N点在AB上且AN＝NB.
（1）证明：
MN∥平面PAD；
（2）求直线MN与平面PCB所成的角.
解：
（1）证明：
过M作ME∥CD交PD于E，
连接AE.
∵AN＝NB，
∴AN＝AB＝DC＝EM.
又EM∥DC∥AB，∴EM
AN，
∴AEMN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，
连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH.
易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，
∴BC⊥平面QNF，
∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，
∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角.
通过计算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，
∴NH＝＝＝，
∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°.
∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.
20.（2009·西安八校联考）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点.
（1）求证：
AC1∥平面B1CD；
（2）求二面角B－B1C－D的正弦值.
解：
（1）证明：
如图，连接BC1交B1C于点E，
则E为BC1的中点.
∵D为AB的中点，∴在△ABC1中，AC1∥DE
又AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD
（2）∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1.
∴平面B1CD⊥平面B1BD，
过点B作BH⊥B1D，垂足为H，则BH⊥平面B1CD，
连接EH，
∵B1C⊥BE，B1C⊥EH，
∴∠BEH为二面角B－B1C－D的平面角.
在Rt△BHE中，BE＝，BH＝＝，
则sin∠BEH＝＝.
即二面角B－B1C－D的正弦值为.
21.（2009·东北四市模拟）如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且CE＝λCC1.
（1）λ为何值时，A1C⊥平面BED；
（2）若A1C⊥平面BED，求二面角A1－BD－E的余弦值.
解：
法一：
（1）连接B1C交BE于点F，连接AC交BD于点G，
∴AC⊥BD，由垂直关系得，A1C⊥BD，
若A1C⊥平面BED，则A1C⊥BE，
由垂直关系可得B1C⊥BE，
∴△BCE∽△B1BC，∴＝＝，
∴CE＝1，∴λ＝＝.
（2）连接A1G，连接EG交A1C于H，则A1G⊥BD.
∵A1C⊥平面BED，
∴∠A1GE是二面角A1－BD－E的平面角.
∵A1G＝3，EG＝，A1E＝，
∴cos∠A1GE＝＝，
法二：
（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz.
依题设，D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），A1（2,0,4），
∵CE＝λCC1＝4λ，∴E（0,2,4λ），
∴
＝（2,2,0），
＝（2,0,4），
＝（－2,2，－4），
＝（0,2,4λ），
∵
·
＝2×（－2）＋2×2＋0×（－4）＝0，
∴
⊥
，∴DB⊥A1C.
若A1C⊥平面BED，则A1C⊥DE，∴
⊥
，
∴
·
＝（－2）×0＋2×2＋（－4）×4λ＝4－16λ＝0，
∴λ＝.
（2）设向量n＝（x，y，z）是平面DA1B的一个法向量，
则n⊥
，n⊥
，∴2x＋2y＝0,2x＋4z＝0，
令z＝1，则x＝－2，y＝2，∴n＝（－2,2,1）
由
（1）知平面BDE的一个法向量为
＝（－2,2，－4）
∴cos〈n，
〉＝
＝.
即二面角A1－BD－E的余弦值为.
.
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