切线长定理.docx

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切线长定理

“切线长定理”

一.内容和内容解析

1．教材地位

切线长定理是人教版数学九年级上册第二十四章《圆》，第二节《点和圆、直线和圆的位置关系》，第二小节《直线和圆的位置关系》第4课时的学习内容，上一课时已经学习了切线的性质,本节课是切线性质的延伸,也为下一课时三角形的内切圆提供了理论依据.

2．教学内容

切线长定理的学习是以学生已掌握的相关知识，如平行线、全等三角形、圆的相关性质等为基础的，这既是对前面所学知识的再次巩固，又是让学生再次体会几何定理形成的过程：

直观感知→逻辑推理→得出定理，图形语言→文字语言→符号语言，为学生今后进一步研究平面几何奠定基础，同时渗透转化的数学思想，培养学生的创新意识.

3．教学重点

切线长定理及其应用.

二.目标和目标解析

知识与技能目标：

1．了解切线长的概念.让学生体验数学定义的严谨性.

2．掌握切线长定理.通过自主探究切线长定理，让学生经历一个定理从直观感知到逻辑推理的过程,体验获得结论的快乐，培养创新意识；通过学生自主描述，让学生体验定理文字语言的准确性和简洁性.

3.能够运用切线长定理解决相关问题.

过程与方法目标：

1.让学生与老师一起画图，在一个切线长定理的几何模型上，通过增加条件，改变条件，由浅入深，由易到难，让学生的自主探索、大胆猜想、小心求证贯穿始终，重点培养学生独立思考能力，逻辑推理能力；

2.让学生展示自己的方法，培养表达能力的同时，增强自信；

3.通过诱发一题多解，培养学生的发散性思维和创造性思维.

4.通过与同学交流，分享自己的学习心得和体会，让学生共同进步，共同感受收获的喜悦.

三.教学问题诊断分析

圆是学生学习的第一个曲线形，由直线形到曲线形，在认识上是一个飞跃，于是，学生无法将圆和直线形联系起来，无法将新旧知识联系起来，不知道该如何进行知识的迁移，化未知为已知，所以本节课的：

教学难点:

灵活运用切线长定理解决圆中的问题，渗透转化的数学思想.

四.教学支持条件分析

心理学研究表明，初中学生接受知识方面，视听结合效果最佳，所以为了能有效地实现教学目标，突破教学难点，在教学中：

1.利用实物投影仪展示学生的多种解法，以拓宽学生的解题思路，进一步培养学生的发散思维能力.

2.利用几何画板，让图形动起来,学生便轻松地发现图形的内在联系和规律，从而进行更有效的数学思维.

五.教学过程设计

1．情境引入

教师利用篮球摆出造型：

如果将我的手臂看作是一条直线，我的身体也成一条线，你能画出

我这个造型的截面图吗？

请试试看.

【设计意图】以生活中常见的一个造型创设情境，激发学生的学习

兴趣，通过学生自己动手操作画出截面图，从而引出切线长定理的基本

几何模型.

接着教师和学生一起描述刚刚得到截面图：

经过圆外一点的圆的切线上.，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

【设计意图】为了研究切线的一些特性，需要定义切线长.这个环节就是为了

引出切线长的定义，同时特别强调切线长是用线段的长度来定义的，即切线长是圆

外一点与切点之间的距离，最后揭示课题.

2．自主探索

为了更好的研究这个基本几何模型，要求学生和老师一起画图：

作直线PO，仔细观察这个图形，图中有相等的线段吗？

有相等的角吗？

你能想办法证明吗？

【设计意图】通过学生动手操作，先让学生大胆猜想，然后小心求证，目

的是让学生经历一个定理从直观感知→逻辑推理这一过程，以培养学生严谨的

数学思维和一定的推理论证能力.

接着教师引导学生用文字、符号语言描述结论：

谁能试着用文字语言描述一下大家刚刚得出的两个结论？

谁能试着用符号语言描述一下切线长定理？

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B

∴PA=PB,∠APO=∠BPO

OPAB

【设计意图】通过学生自主描述，引出切线长定理，让学生经历一个定理从逻辑推理→得出结论，即图形语言→文字语言→符号语言这一过程，加强学生归纳概括的能力，并让学生体会切线长定理的文字、符号语言的准确性和简洁性.

3.1应用延伸——简单应用

教师在黑板上已预设好的图形上连接AB，并出示例题的第

（1）问：

如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.

（1）连接AB，若∠APO=30°，PA=2，求AB的长.

【设计意图】第

（1）问是切线长定理的直接应用，教师和学生一起在黑板上给

出规范的解答过程，以巩固新知.

3.2应用延伸——综合应用

教师在黑板上已预设好的图形上画图：

延长BO，交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA的延长线于点Q，

请问图中有几个切线长定理的基本几何模型？

【设计意图】进一步巩固切线长定理，强化切线长定理的几何模型.

接着，教师在黑板上已预设好的图形上连接QO，并让学生大胆猜想QO

与OP，QO与AB的位置关系，并出示例题的第

（2）问：

（2）延长BO，交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA的延长线于点Q，

连接QO，猜想：

①QO与OP的位置关系，并证明；

②QO与AB的位置关系，并证明

【设计意图】较第

（1）题，第

（2）题的第①问的难度有所增加.此问要求

学生上讲台写出解答过程，通过师生共同纠正解答过程，达到进一步巩固切线长

定理和规范答题过程的目的；

第②问较①问难度又有所增加.此问借助实物投影仪，让学生上台讲解自己的方法，以达到培养学生的表达能力，帮助学生建立自信的目的；

通过让学生尝试多种方法证明OQ平分∠COA、QO⊥OP,QO//OP,即一题多解是为了训练学生的思维,拓宽学生的解题思路，最终达到提高解题能力的目的.

另外，例题中设置了两问，有部分学生将第一问的条件（30°）应用到了第二问，所以要提醒学生注意.

3.3应用延伸——思维拓展教师改变例题第

（2）问的条件，并利用几何画板，使⊙O上的C

点不在BO

的延长线上，并让A点在弧BC上动起来，接着出示思考：

如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、B、C，当点A在弧BC上

运动时，∠QOP的度数会发生变化吗？

请说明理由.PQO

BCA

PQOBCA

设计意图】通过几何画板，让图形动起来，使学生轻松地发现图形的内在联系和规律，从而进行更有效的数学思维，进一步巩固切线长定理，突破教学难点.

整个例题的设计从第

（1）问到第

（2）问再到思维拓展，都以切线长定理的基本几何模型为主线，通过增加和改变条件，层层铺垫，由易到难，由浅入深，目的就是让学生加强圆和直线形的联系，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移，化未知为已知，渗透转化的数学思想，从而突破教学难点.

4.自主小结

教师让大家以与同学交流、分享的形式，进行小结：

（1）这节课你学到了什么知识？

（2）在解题的过程中你有什么解题的心得？

（3）在和同学交流的过程中，你有什么体会？

【设计意图】通过与同学交流，分享自己的学习心得和体会，最终又再次内化成自己的所得、所知、所想，在进一步巩固本节课所学的知识的同时，让学生共同进步，共同感受收获的喜悦.

六.目标检测设计

为了检测本节课的教学目标是否达成，教学难点是否突破，我设计了如下习题：

必做题：

1.教材101页第6题;2.第102页第11题

选做题：

1.在教材101页第6题的图中，连接OB、OP，图中有哪些角与∠OAB、∠AOP相等？

2.如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、B、C，CQ、BP的延长

线交于点M，当点A在弧BC上运动时，△MQP的周长会发生变化吗？

请

说明理由.

【设计意图】必做题的第1题是切线长定理的简单运用，第2题是切线

长定理的灵活运用，其目的是巩固本节课所学的知识，以检测教学目标是否

达成，教学难点是否突破.

选做题设置了两道，都是切线长定理的综合运用，目的是使学有余力的学生有所提高.

整个教学设计，每个环节我都以学生为中心，从学生的亲身体验出发，在注重几何规律发现过程的同时，强调逻辑推理证明；在注重授之以鱼的同时，强调授之以渔，努力做一个成功的“先行引导者”.