微积分习题答案.docx

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微积分习题答案

习题答案

习题1-1

１．　

（1）［－３，３］；（２）　（－

∞，０）∪（２，

＋∞）；

（３）　（－２，１）；（４）　（－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）

２．（１）　［－１，０）∪（０，１）；（２）　（１，２］；

（３）　［－６，１）．

３．　（１）　（－∞，１）∪（１，２］，f（0）=0,f（２）＝１．当a＜０时，f（a）=1a,当0≤a≤1时，f（a）=2a,当１＜a≤2

时，f（a）=1．

（2）（-2，2），f（0）=1,f（（-a）２，当1＜a＜2时，f（a）=a２－１．

４．1．

５．　（１）偶函数；

（2）非奇非偶函数；（3）奇函数

．

８．　

（1）y=13arcsinx2；

（2）y=lo

g２x1-x

（3）f－１（x）=１２（x＋１），　－１

≤x≤1，

2-2-x，1＜x≤2．

９．　（１）　y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２）　y=

sinxln２，（－∞，＋∞）；

（３）　y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．

习题1-2

１．

（1）y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２）　y=u

３，u=sinv,v=lnx;

（３）　y=au,u=tanv,v=x2;（４）　y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3

t=lnx．

２．　（１）　［－１，１］，（２）　［２kπ，（２k＋１）π

］，k∈Z;

（3）［－a，１－a］；（４）　（－∞，－１］．

３．

（1）φ（x）=6+x-x2;

（2）　g（x）=（1+x）2+（1+x）+1;

（3）　f（x）=x2-2．

习题1-3

１．R（x）=4x-12x2．

２．　R（x）≈１３０x，

１１７x＋９１００，　０≤x≤７００，

７００＜x≤１０００．

３．　Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，

＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ

．

习题2-1

略．

习题2-2

２．　f（x）=-1,

１，　x≤０

x＞０，则limx→０f（x）

=1，但limx→０－f（x）=-1，limx

→０＋f（x）=1，故limx→０f（x）不存在．

３．　limx→０（x２＋a）＝a,limx

→０-e１x

＝０，a=0．

习题2-3

２．　，，，，，，，．

３．　

（1）无穷大量．

（2）x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．

（３）　x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．

（4）无穷小量．

（５）无穷小量．

（6）无穷小量．

习题2-4

５．　（１）３/５；（２）　０；（３）　∞；（4）1/3；

（5）4/3

６．　（１）16；

（2）∞；（３）　３；

（４）　－２２；

（５）　３x２．（６）　４３；（７）　n（n＋１）２；（８）　１；

（９）　１；（１０）　－１；（１１）　０．

习题2-5

１．53；2．　２５；

３．　１；４．　２２；

５．　２１２；６．　e－１；

７．　e３；８．　lna；

９．　２lna；　１０．　０；１１．　e－１2；１２．　１；

１３．　１；１４．　１；１５．　e１

e；１６．　e－１．

习题2-6

３．tanx－sinx=O（x３）

４．　

（1）ab；

（2）k２２；（3）2；（4）24；

（5）1；（6）1；（7）49；（8）3．

习题2-7

４．

（1）x=1（可去），定义f

（1）=2;x=2（第二类）；

（2）x=0（可去），定义f（0）=1;x=kπ，k≠0，为整数（第二类）；

（3）x=0（第一类；

（4）x=2（第二类）；x=-2（可去），定义f（-2）=0;

（5）x=0（可去），定义f（0）=0．

６．　f（x）=sgnx，x=0（第一类），f（x）∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］

７．　（１）　１２；（２）　３；（３）　０；（４）　π3；

（5）1．

习题3-1

１．　２９．

２．　－１x２０．

３．　４x-y-4=0,8x-y-16=0

４．　（１）　-f′（x0）;

（2）-f′（x0）;（3）2f′（x0）

５．　（１）　１２x；（２）　

－２３x－５３；

（３）　１６x－５6．

６．　连续但不可导．

８．　（１）　f′

（2）f′12，f′

９．　f′（x）＝cosx，

１，　x＜０，

x≥０．

１０．　a=2,b=-1．

１１．　（１）在x=0处连续，不可导；

（2）在x=0处连续且可导；

（3）在x=1必连续，不可导．

１３．　

（1）-０．７８m/s；

（2）10-gt;（3）10g（s）．

１４．dＱdtt=t0．

１５．　（１）　limΔＴ→０Q（T＋ΔＴ）

－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２）　a＋２bＴ．

习题3-2

１．　

（1）3t；

（2）xx+12xlnx；

（3）2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin

２x．

（4）　1-sinx-cosx（1-cosx）2；（5）　sec

2x；

（６）　xsecxtanx-secxx2-3secx·tanx

；（7）　１x１－２ln

10＋３ln２；

（8）　－1+2x（1+x+x2）2．

２．　（１）　２４１＋π２；（２）　f′（0）=

３２５，f′（２）＝１７１５；

（３）　f′（１）＝５．

３．　略．

４．　

（1）3e3x；

（2）2x1+x4；

（3）12x+1e2x+1；

（4）2xln（x+1+x２）＋１＋x２；

（5）　２x·sin１x２－２x

cos１x２；（6）　－3ax２sin２ax３；

（7）　xx２·x２－１；（8）　２arcsinx２４－x２；

（9）　lnxx·1+ln２x；（10）　nsinn-1x·cos（n+1）x;

（11）　１1-x2+1-x２；（12

）　－１（1+x）２x（1-x）；

（13）　-thx；（１４）　a２-x2．

５．　１３．

６．　2x+3y-3=0;3x-2y+2=0;x=-1;y=0．

７．

（1）2xf′（x2）;

（2）sin2x［f′（sin２x）-f′（cos

2x）］．

８．　（１）　-x2-ayy2-ax；

（2）1-yx（lnx+lny+1）；

（3）-ey+yexxey+ex;（4）

x+yx-y；

（5）　ex+y－yx-ex+y．

９．　（１）　x+2（3-x）4（x+1）512（x+2）－43-x-5x+1；

（2）sinxcosxcos２xsinx-sinxlnsinx；

（3）　e2x（x+3）（x+5）（x-4）2+1x+1-12（x+5）-12（x-4）．

１０．　（１）　sinat+cosbtcosat-sinbt;

（2）　cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．

１１．　３－２．

习题3-3

１．f（n）（x）=（-1）n-1（n-1）!

（1+x）n．

２．y（n）=（-1）n·an·n!

·（ax+b）-（n+1）．

f（n）（x）=（-1）n2·n!

·1（x

-1）n+1-1（x+1）n+1

３．

（1）　0;

（2）　4e,8e;（3）　7200,720．

４．

（1）-b4a2y3;

（2）　e

2y（3-y）（2-y）3;

（3）-2csc2（x+y）cot3（x+y）;（4）　2x2y［3（y2+1）

2+2x4（1-y2）］（y2+1）3．

５．

（1）-1a（1-cost）2;

（2）1f″（t）．

６．

（1）4x２f″（x2）+2f′（x2）;

（2）f″（x

）f（x）-［f′（x）］2f．

习题3-4

１．　

（1）sint;

（2）　－１ωcosωt;

（3）　ln（1+x）;（4）-12e-2x;

（5）　2x;（6）　13tanx;（7）ln2x2;（8）　-1-x2．

２．　（１）　０．２１，０．２，０．０１；（２）　０．０２０１，０

．０２，０．０００１．

３．　（１）　（x+1）exdx;

（2）　1-lnx〖

〗x2dx;

（3）　-12xsinxdx;（4）　2ln5·5ln　tanx·1sin2xdx;

（5）　-12cscx2dx;（6）　8［xx（1+lnx）-12e2x］dx;

（7）121-x2arcsinx

+2arctanx1+x2d

x．

４．　

（1）ey1-xeydx;

（2）

-b2xa2ydx;

（3）22-cosyds;（4）　

1-y21+2y·1-y2dx．

５．　

（1）　２．００８３；（２）　－０．０１；（３）　０．７９５４．

习题3-5

１．　（１）　１．１；（２）　６５０；（３）　６５０－５０

１２９．

２．　（１）　９６．５６；（２）　是，提高2．

３．　（１）　a,axax+b,aax+b;

（2）　abebx,bx,b;

（3）axa-1,a,ax．

４．提高8%；提高16%．

５．　５．９．

习题4-1

１．　ξ＝π２．

２．　（１）　满足，有ξ＝０；（２）　不满足第二个条件，没有；

（3）不满足第一和第三个条件，有ξ＝π２．

３．　有分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根．

４．　ξ＝３３．

习题4-2

１．　（１）　－３５；（２）　

１２；（３）　mnam-n；（

４）　１a

（５）　０；（６）０；（７）　1；（8）32；

（9）e；（１０）　e－２π

；（１１）　１e；（１２）　∞

（１３）　１３；（１４）　e－１２．

２．　m=-4,n=3

４．　f″（x）；

习题4-3

１．xex=x+x2+x32!

+…+xn（n-1）!

+1（n+1）!

（n+1+θx）eθxxn+1（

０＜θ＜１）．

２．　1x=-1-（x+1）-（x+1）2-…-（x+1）n+（-1）n+1（x+1）n+1［-1+θ（x+1）］n+2（０＜θ＜１）．

３．　f（x）=-56+21（x-4）+37（x-4）2+11（x-4）3+（x-4）4．

４．　

（1）１６（提示：

只要将sinx展开成三次多

项式即可）．

（2）12（提示：

令u=１x，再将ln（1+u

）展开成二次多项式）．

习题4-4

１．　（１）　（-∞，-1）和（3，+∞）为增区间，（-1，3）为减区间，f（-1）=

3为极大值，f（3）=-61为极小值．

（2）（1，+∞）为增区间，（0，1）为减区间，f

（1）=1为极小值．

（３）　（－∞，2）为增区间，（2，+∞）为减区间，f

（2）=1为极大值．

（４）　（－∞，０）和（0，2）为增区间，（2，+∞）为减区间，f

（2）=-4为极大值．

５．当a=2时，f（x）在x=π３取极大值3．

习题4-5

１．15元

２．　x=αcPQ１１－α

３．　（１）　Ｑ＝３；（２）　ＭＣ＝＝６

４．　

（1）1000件；

（2）６０００件

５．

（1）４３１．３２５吨

（2）12次（3）３０．４５２天（4）13６６

４３．９元

６．　α＝２３（３－６）π．

７．　t=１４r２．

８．　v=３２００００≈２７．１４（km/h）

习题4-6

１．　（１）　在-∞，１３下凸，１３，＋∞上凸，拐点1

3，227；

（2）在（-∞，－１）上凸，（-1，1）下凸，（1，+∞）上凸，拐点（-1，ln２）及（1，ln

２）；

（３）　在（-∞，－２）上凸，（-2，+∞）下凸，拐点（-2，-2e－２）；

（４）　在（-∞，+∞）下凸，无拐点；

（5）在（-∞，-3）上凸，（-3，6）上凸，（6，+∞）下凸，拐点6，227；

（6）在-∞，12上凸，12，+∞下凸，拐点12，earct

an１２．

３．　a=-32，b=９２．

４．　（１）　垂直渐近线x=0;

（2）水平渐近线y=0;

（3）水平渐近线y=0，垂直渐近线x＝3；

（4）垂直渐近线x=12，斜渐近线y=12x+1〖

〗4．

５．　（１）　定义域（-∞，+∞），极大值f

（1）=12

，极小值f（-1）=-12,拐点3，34，-3，-34，渐近线y=0；

（2）定义域（-∞，+∞），极大值f（-1）=π2-1，极小值f（1

）=1-π２，拐点（0，0），渐近线y=x+π,y=x-π;

（3）定义域（0，+∞），极大值f

（1）=2e，拐点，２，４e2，渐近线y=0．

习题5-1

１．　（１）　２７x７〖

〗２-103x3２

+C；

（2）2x-43x

3２+25x5２+C；

（3）3xex１＋ln３＋Ｃ；（４）　x＋sinx２＋Ｃ；

（５）　２x－５２３

xln２－ln３＋C；（６）　－（cotx＋tanx

）＋C．

２．　（１）　y＝x2-2x+1;

（2）cosx+C;

（3）　x-sinx;（4）　Q=1000１３Ｐ

习题5-2

１．　

（1）1a；

（2）17；（3）

110；（4）-12；

（5）112；（6）12；（7）-2；（

8）15；

（9）-1；（10）-1；（11）13；（12）1

2；

（13）-1；（14）32．

２．　（１）　１５e５t＋Ｃ；（２）　－１８（３－２x）４＋Ｃ；

（３）　－１２ln１－２

x＋Ｃ；（４）　

－１２（２－３x）２３＋Ｃ；

（５）　－２cost＋Ｃ；（６）　ln

lnlnx＋Ｃ；

（７）　１１１tan１１x＋Ｃ；（８）　

－１２e-x２＋Ｃ；

（９）　lntanx＋Ｃ；（１０）　

－lncos１＋x２＋Ｃ；

（１１）　arctanex＋Ｃ；（１２）　－１３

（２－３x２）１２＋Ｃ；

（１３）　－３４ln１－

x４＋Ｃ；（１

４）　１２cos２x＋Ｃ；

（１５）　１２arcsin２x３＋

１４９－４x２＋Ｃ；（１

６）　x２２－９２ln（x２

＋９）＋Ｃ；

（１７）　１２２ln2x-12x+1+C；（18）13lnx-2x+1+C；

（19）t2+14ωsin２（ωt＋φ）＋Ｃ；（２０）　－１３ωcos３（ωt＋φ）＋Ｃ；

（２１）　１２cosx－１１０

cos５x＋Ｃ；（２２）　１３sin

３x２＋sinx２＋Ｃ；

（２３）　１４sin２x－１２４

sin１２x＋Ｃ；（２４）　１３sec３x－

secx＋Ｃ；

（２５）　（arctanx）２＋Ｃ；（２６）　－１arcsinx＋Ｃ；

（２７）　１２（lntanx）２＋Ｃ；（２８）

　－1xlnx＋Ｃ；

（２９）　a２２（arcsinxa

－xa２a２－x２）＋Ｃ；（３０）　x１＋x２＋Ｃ；

（３１）　x９－９－３arccos３

x＋Ｃ；（３２）　１２（arcsinx＋ln

x＋１－x２）＋Ｃ；

（３３）　arcsinx－x１＋１-x２＋Ｃ；（３４）　arcsinxa－a

２－x２＋Ｃ；

（３５）　－４－x２x－arcsinx２＋Ｃ；

（３６）　ln１＋x＋x２＋２x－２xx

２＋２x＋Ｃ；

（３７）　－１１＋tanx+Ｃ；（３８）　x＋

lnx１＋xex＋Ｃ．

习题5-3

１．　（１）　-xcosx+sinx+C;

（2）-（x+1）e－x

+C;

（3）xarcsinx+１－x２+C;（4）sin

x-cosx2e-x+C;

（5）　-217e-2xx

2＋4sinx2+C;（6）-12x2+xtanx+lncos

x+C;

（7）-t2+14

e－2t+C;

（8）　x（arcsinx）2+21-x2

arcsinx-2x+C;

（9）12-15sin2x-110cos2x）ex+C;

（10）3e3x（３x2-23x+2+C;

（11）　x2（coslnx+sinlnx）+C;

（12）-12x2-32cos2x+x2sin2x+C;

（13）12（x２-1）ln（x-1）-14x2-12x+C;

（14）x36+12x2sinx+xcosx-sinx+C;

（15）-1x（ln3x+3ln2x+6lnx+6）+C;

（16）-14xcos2x+18sin2x

+C;

（17）-12xcot2x-12x-12cotx+C;（18）12x2e

x2+C;

（19）　xlnlnx+C;（20）（1+ex）ln（1+ex）-ex+C;

（21）12tanxsecx-12ln

secx+tanx+C;

（22）-ln（x+1+x22（1+x2）+x22+x2

+C;

（23）ex1+x+C;（24）x-121+x2earctanx+C．

习题5-4

（1）lnx+1x2-x+1+3arctan2x-13+C;

（2）x3３+x２2+x+8lnx-3lnx-1-4lnx+1+C；

（３）　x-tanx+secx+C；

（４）　14lntanx2-18tan2x2+C．

习题6-1

１．　１３（b3-a3）+b-a．

２．　（１）　１；（２）　14πa2．

３．　

（1）　∫10x2dx较大；

（2）∫10exdx较大．

４．　

（1）　6≤∫41（x2+1）dx≤51;

（2）　

π9≤∫3１

3xarctanxdx≤23π；

（3）　2ae－a2＜∫a-ae-x2dx＜2a；（4）

　-2e2≤∫02ex2-xdx≤-2e-1〖

〗4．

习题6-2

１．　（１）　２x１+x4;

（2）　x5e

-3x;

（3）　（sinx-cosx）cos（πsin2x）;（4）sinx-

xcosxx2．

2．　

（1）　-12;

（2）6;（3）2．

３．　cosxsinx-1．

4．　当x=0时．

5．　

（1）　23（8-33）;

（2）16;（3）1+π8；（4）203．

６．　－３２．

习题6-3

１．　（１）　０；（２）　５１５１２；（

３）　１６；（４）　１４

；

（５）π６-３８

；（６）　２（３－１）；（７）　２－２３３；

（８）　π２；

（９）　１２ln３２；

（１０）　ln２－１３ln５；（１１）　７

ln２－６ln（６２＋１）；

（１２）　４３．

２．　（１）０；（２）　０；（３）　３２π．

习题6-4

２．　（１）　１－２e;

（2）　14（e２+1）;

（3）4（2ln2-1）;（4）14-

133π+12ln32;

（5）　15（eπ-2）;（6）　2-34

ln2；

（7）π3６－π4；（8）12（esin1-ecos1+1）;

（9）ln2-12;（10）　12-38ln3．

３．　０．

习题6-5

１．　（１）１；（２）　２；（３）　４

３；（４）　７６；

（５）　１２＋ln２；（６）　１

６；（７）　e＋１e-２；（

８）　b-a．

２．　（１）　Vy=2π;

（2）Vx=1287

π,Vy=12．8π;

（3）Vy=310π;（4）Vx=pa2π;（5）

Vy=4π2．

３．　（１）a=1e，（x0,y0）=（e2,1）;

（2）　S=16e2-12．

4．12ln2提示：

f（x）=0,

x1+x2,　x≥０

x＜０．

5．a=-4,b=6,c=0．

６．50;100．

7．

（1）Q=2．5,L=6．25;

（2）0．25．

８．９６．７３

习题6-6

１．　（１）　１３；（２）　发散；（3）１a；（４）　发散；

（5）发散；（6）π；（７）　８３；（８）　１；

（９）　π２；（１０）　－１；（１１

）　发散；（12）1．

２．　当k＞１时收敛于1（k-1）（ln2）12-1；

当k≤1时发散；当k＝１－１lnln２时取得最小值．

３．　n!

．

４．　（１）　π4；

（2）π2

５．　In=-（2n）!

!

（2n+1）!

!

=22n（n!

）2〖

〗（2n+1）!

（n=0,1,2,…）．

６．　（１）　1nΓ1n;

（2）Γ（α+1）;

（3）　1nΓm+1n;（4）　12Γn+1

2．

习题7-1

１．　略．

２．　

（1）（a,b,-c）,（-a,b,c）,（a,-b,c）;

（2）（a,-b,-c）,（-a,b,-c）,（-a,-b,c）;

（3）（-a,-b,-c）．

３．　坐标面：

（x0,y0,0）,（0,y0,z0）,（x0,0,z0）；

坐标轴：

（x0,0,0）,（0,y0,0）,（0,0,z0）．

４．x轴：

34，y轴：

41，z轴：

5．

５．　（０，１，－２）．

６．　略．

习题7-2

１．　ＭＡ→＝－１２

（a+b）;MB→＝１２（a-b）;MC→=12（a+b）;MD

→=12（b-a）．

２．　略．

３．　（２，１，１）．

４．　（１６，０，－２０）．

５．　Ｍ１Ｍ２→＝（

１，－２，－２），Ｍ１Ｍ２→＝３．

１３，－２３，－２３或－１３

，２３，２３．

习题7-3

１．　（１）１；（２）　４；（３）　２８．

２．　（１）　３，５i+j+7k;

（2）-18，10i+2j+14k；

（3）-10i－２j－１４k．

３．　－３２．

４．　±（６２，８２，０）．

５．　１４．

６．　略．

７．　４５j－３５

k或－４５j＋

３５k．

８．　∠Ａ＝７６°２２′，∠Ｂ＝７９°２′，∠Ｃ＝２４°３６′．

习题7-4

１．　３x-2y+5z-22=0．

２．　2x+9y-6z=121．

３．　略．

４．　x+z-1=0．

５．　x+y+z-2=0．

６．　2x+3y+z-6=0．

７．　

（1）　x=2；

（2）　x+3y=0；（3）　x-y=0．

８．　１３，２３，－２

３．

９．　（１）互相垂直；

（2）互相平行；

（3）斜交（相交但不垂直）．

习题7-5

1．　（１）　x-23=y-31

=z-11；

（2）　x-31=y-4２=z+4-1；

（3）　x-21＝y-20=z+1〖

〗0；（4）　x2=y-31=z+23．

２．　x+3-5=y=z-25，　[JB（｛〗x=-3-5t，

y=t，

z=2+5t．

３．　x-2＝y-23=z-4〖

〗1．

４．　x-21=y+22=z3

．

５．　x-10=y+37=z+2〖

〗16．

６．　４６１，６６１，－３６１．

７．　Ｂ＝１，Ｄ＝－９．

８．　x-3-1=y-31=z

1．

９．　φ＝arcsin1310．

１０．　４x-y-2z-1=0．

１１．　y-z+3=0，

x-y-z+1=0．

１２．　５．

１３．　（１）垂直，

（2）平行，（3）重合．

习题7-6

１．　（x+1）2+（y+3）2+（z-2）2=32．

２．　以点（1，-2，-1）为球心，半径等于6的球面．

３．　

（1）x23+y24+z24=1;　x23+y2

4+z23＝１；

（2）　x2-y2-z2=1;　x2+y2-z2=1．

４．　（１）　母线平行于z轴的椭圆柱面；

（2）母线平行于x轴的抛物

柱面；

（3）椭圆锥面；（4）旋转椭球面；

（5）双叶双曲面；（6）圆锥面．

５．　3y2-z2=16,　3x2+2z2=16

６．　x2+y2+（1-